Funkcje goniometryczne
Kapitoly: Podstawowe funkcje goniometryczne, Okrąg jednostkowy, Cyklometryczne funkcje Arcusa, Sinus, cosinus, tangens i cotangens, Wzory na funkcje goniometryczne, Wykresy funkcji goniometrycznych, Twierdzenie sinusów i cosinusów
W tym artykule omówię funkcje goniometryczne, czasami nazywane również funkcjami trygonometrycznymi. Słowo goniometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie kątów, a trigon tłumaczy się jako trójkąt. Istnieją cztery podstawowe funkcje goniometryczne - sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Podstawowe pojęcia trójkąta
Funkcje goniometryczne działają z kątami w trójkącie, więc w tej sekcji dokonamy przeglądu pojęć związanych z trójkątem.
Rysunek przedstawia trójkąt utworzony przez wierzchołki A, B i C; jest to zatem trójkąt ABC. Znajdują się tutaj trzy boki: AB, BC, AC. Należy również zauważyć, że boki te są dodatkowo nazwane małymi literami. Nazewnictwo to ma swoją regułę - naprzeciwko wierzchołka A mamy bok a. Naprzeciwko wierzchołka B znajduje się strona b, a naprzeciwko wierzchołka C znajduje się strona c. Tak więc przeciwległy bok jest zawsze nazwany po wierzchołku; bok nie utworzony przez wierzchołek.
Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne, które zwykle oznaczamy greckimi literami alfa α, beta β i gamma γ. Suma wszystkich trzech kątów wewnętrznych musi zawsze dawać 180 stopni. Zazwyczaj mamy kąt alfa w wierzchołku A, kąt beta w B i kąt gamma w C.
Chociaż możemy używać funkcji goniometrycznych w pewien sposób dla dowolnego trójkąta, często pracujemy tylko z trójkątami prostokątnymi. Trójkąt prostokątny to trójkąt, który ma jeden kąt prosty, tj. 90 stopni. Na przykład, wygląda to tak:
Trójkąt prostokątny ma specjalnie nazwane boki. Najdłuższy bok znajduje się naprzeciwko kąta prostego i nazywany jest przeciwprostokątną (niebieski bok na rysunku). Dwa krótsze boki nazywane są gałęziami (czerwone boki). Jest to trójkąt, który będzie nas najbardziej interesował w tym artykule.
Oznaczanie rozgałęzień w trójkącie
Przejdźmy teraz do pierwszej funkcji goniometrycznej - funkcji sinus. Wszystkie funkcje goniometryczne pokazują nam związek między pewnym kątem w trójkącie a stosunkiem długości dwóch boków. Zazwyczaj nie jest to kąt prosty, ale dwa pozostałe. Wartością wejściową funkcji goniometrycznej jest zatem wielkość kąta. Wynikiem jest stosunek długości dwóch boków. Różne funkcje różnią się w zależności od tego, z którymi bokami pracują.
Funkcja sinus działa z odwrotnością zwisu i przeciwprostokątnej. Co to jest przyległa i przeciwległa gałąź względem danego kąta, pokazano na poniższym rysunku.
Na rysunku pracujemy z kątem beta, kątem w wierzchołku B. Czarny bok to przeciwprostokątna, nic się na nim nie zmienia. Bok podświetlony na czerwono c jest przyległym zwisem, ponieważ przylega do kąta beta. Strona podświetlona na niebiesko b to przeciwległa strona zwisu, ponieważ znajduje się naprzeciw kąta beta. Co ważne, terminy te zawsze odnoszą się do kąta. Jeśli spojrzymy na rysunek z perspektywy kąta gamma, otrzymamy następujący wynik:
Funkcja sinus
Sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przeciwległej gałęzi do długości przeciwprostokątnej. Co to oznacza? Jeśli obliczymy (na przykład na kalkulatorze) sinus kąta alfa, otrzymamy wartość tego stosunku
$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość przeciwległej gałęzi }}{\mbox{ Długość przeciwprostokątnej }}$$
Wypróbujmy to na tym trójkącie i kącie beta:
To ładny trójkąt, długości boków wynoszą: |a| = 5, |b| = 3 i |c| = 4. Przeciwległą gałęzią do kąta beta jest bok b, przeciwprostokątna to bok a. Oblicz iloraz b/a, a więc 3/5, który wynosi 0,6. Sinus kąta beta jest wtedy równy 0,6. Kąt beta to $36^\circ 52^\prime$, jeśli podłączysz ten kąt do kalkulatora i obliczysz sinus, otrzymasz właśnie 0,6 (po niewielkim zaokrągleniu). Możesz sprawdzić wynik w kalkulatorze do obliczania wartości funkcji sinus.
Do czego to służy
Jest to dobre rozwiązanie, jeśli znasz jeden kąt i długość jednego boku i musisz obliczyć pozostałe boki.
Pierwszą rzeczą do zrobienia jest zapisanie tego, co faktycznie wiemy. Znamy kąt alfa. Wiemy, że sinus tego kąta jest równy stosunkowi przeciwległego boku (który jest bokiem a) do przeciwprostokątnej (bok b). Zapis matematyczny:
$$\sin(\alpha)=\frac{|a|}{|b|}$$
Znamy lub możemy obliczyć sinus kąta; znamy długość boku a. Jedyną rzeczą, której nie znamy, jest długość boku b. Spróbujemy więc wyodrębnić tę zmienną. Najpierw mnożymy równanie przez długość boku b. Otrzymujemy
$$|b|\cdot\sin(\alpha)=|a|$$
i teraz dzielimy równanie przez sin(α), aby otrzymać pożądany kształt z długością boku b po lewej stronie:
$$|b|=\frac{|a|}{\sin(\alpha)}.$$
Znamy długość boku a, jest ona równa trzy. Sinus trzydziestu stopni jest równy połowie. Dodajemy:
$$|b|=\frac{3}{0{,}5}=6$$
Bok b ma długość sześć.
Funkcja cosinus
Funkcja cosinus jest bardzo podobna do funkcji sinus. Terminologia dotycząca funkcji cosinus jest taka sama jak w poprzedniej sekcji, więc przejdźmy do definicji:
Cosinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości sąsiedniej gałęzi do długości przeciwprostokątnej. Jeśli więc obliczymy cosinus kąta alfa na kalkulatorze, otrzymamy stosunek długości przyległej gałęzi do długości przeciwprostokątnej.
$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{ długość sąsiedniej gałęzi }}{\mbox{ długość przeciwprostokątnej }}.$$
Różnica między sinusem i cosinusem jest wyraźnie pokazana na poniższym rysunku:
Obie funkcje działają na przeciwprostokątnej trójkąta, która pozostaje czarna. Sinus działa następnie z przeciwległymi przesunięciami, które - względem kąta alfa - stanowią czerwony bok BC. Cosinus działa z sąsiednimi przesunięciami, które stanowią niebieski bok AB.
Wróćmy do przykładu opisanego w poprzednim rozdziale. Musieliśmy obliczyć długość przeciwprostokątnej, jeśli znaliśmy długość boku a. Spróbujmy teraz obliczyć długość boku c, jeśli znamy kąt alfa i długość przeciwprostokątnej, którą właśnie obliczyliśmy w poprzednim przykładzie: b = 6.
Co wiemy? Kąt alfa wynosi 30 stopni, długość boku b jest równa sześć, a cosinus daje nam stosunek sąsiedniego zwisu do przeciwprostokątnej. Sąsiedni okap to bok c, czyli bok, którego długość chcemy znaleźć. Piszemy:
$$\cos(\alpha)=\frac{|c|}{|b|}$$
Musimy oddzielić |c| od równania. Robimy to, mnożąc równanie przez długość boku b, co pozostawia nam tylko długość boku c po prawej stronie:
$$|b|\cdot\cos(\alpha)=|c|$$
Po prostu odwracamy boki:
$$|c|=|b|\cdot\cos(\alpha)$$
Po prawej stronie mamy wyrażenia, które znamy lub możemy obliczyć. Cosinus trzydziestu stopni wynosi około 0,866(zobacz kalkulator do obliczania funkcji cosinus). Dodaj do równania:
$$|c|=6\cdot0{,}866=5{,}196$$
Jest to długość boku c. Jak zobaczymy poniżej, cosinus trzydziestu stopni jest wartością tablicową, która jest równa
$$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0{,}866025\ldots),$$
więc możemy udoskonalić poprzednią długość do:
$$|c|=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$
Tangens i cotangens (cotangent)
Istnieją jeszcze dwie inne funkcje goniometryczne, tangens i cotangens. Główną różnicą w stosunku do poprzednich funkcji goniometrycznych jest to, że tangens i cotangens działają tylko z gałęziami, nie działają z przeciwprostokątną.
Tangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przeciwległego okapu do długości sąsiedniego okapu. Zazwyczaj oznaczamy tangens przez tg lub tan.
$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość przeciwległej gałęzi }}{\mbox{ Długość sąsiedniego okapu }}$$
Cotangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości sąsiedniego okapu do długości przeciwległego okapu. Zazwyczaj oznaczamy cotangens przez cot lub cotan.
$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość sąsiedniego okapu }}{\mbox{ Długość przeciwległej gałęzi }}$$
Ponownie, terminologia jest taka sama jak w poprzednich sekcjach, a inna praca z funkcjami jest taka sama. Wróćmy do poprzedniego przykładu i spróbujmy obliczyć długość boku c na podstawie znajomości wielkości kąta alfa i długości boku a, która wynosi a = 3.
Styczna jest stosunkiem przeciwległej gałęzi do sąsiedniej gałęzi, więc matematycznie będzie to wyglądać następująco:
$$\tan(\alpha)=\frac{|a|}{|c|}$$
Musimy obliczyć długość boku c, więc musimy wyodrębnić wyrażenie |c| z tego równania. Mnożymy przez |c| i dzielimy przez $\tan(\alpha)$, podobnie jak w poprzednich przykładach.
$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{|a|}{|c|}\quad/\cdot |c|\\ |c|\cdot\tan(\alpha)&=&|a|\quad/:\tan(\alpha)\\ |c|&=&\frac{|a|}{\tan(\alpha)} \end{eqnarray}$$
Dodajemy do prawej strony, gdzie tangens trzydziestu stopni jest w przybliżeniu równy 0,5773(zobacz kalkulator do obliczania wartości funkcji tangens).
$$|c|=\frac{3}{0{,}5773}=5{,}196.$$
Istnieje wartość tablicowa dla tangensa trzydziestu stopni, to prawda:
$$\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3},$$
więc możemy dokładnie obliczyć poprzednie obliczenie:
$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$
Wartości tabelaryczne
Sinus, cosinus, tangens i cotangens mają ładne wartości wynikowe dla niektórych ładnych kątów. Oto ich podstawowy przegląd:
$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$
Linki
Powiązane pojęcia w sieci:
Więcej informacji na innych stronach: