Co to jest funkcja

Funkcja to absolutnie podstawowe pojęcie w matematyce, które powinieneś w pełni zrozumieć. Matematyka jest pełna funkcji, a każdy symbol, który znasz ze szkoły podstawowej, jest w rzeczywistości funkcją.

Analogia funkcji

Czy widziałeś kiedyś ekspres do kawy? Co jest typowe dla takiej maszyny? Wrzucasz do maszyny kilka monet, a ona wypluwa kawę. Jeśli wrzucisz do ekspresu więcej monet, ekspres odpowie lepszą kawą.

Funkcja jest jak matematyczny ekspres do kawy. Wprowadzasz do funkcji dane wejściowe (monety), a funkcja zwraca dane wyjściowe (kawę). Na tym polega podstawowa zasada działania funkcji.

Zadaniem funkcji jest pobranie danych wejściowych, jakiejś liczby, zrobienie czegoś z tą liczbą wewnętrznie, zmienienie jej, a następnie zwrócenie tej nowej liczby na wyjściu.

Podstawowe pojęcia

Każda funkcja ma nazwę, która ją identyfikuje. Najpopularniejszą nazwą funkcji jest litera "f". Dla funkcji potrzebujemy reguły, która określa, jak funkcja powinna działać - jak ekspres powinien parzyć kawę. Na początek możemy myśleć o funkcji jako o tabeli z dwiema kolumnami. Pierwsza kolumna będzie zawierać nasze dane wejściowe (w ekspresie byłaby to wartość monet), a druga będzie zawierać dane wyjściowe funkcji (kawa).

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{ Dostęp }&\mbox{ Wyjście }\\ \hline 1&2\\ 2&4\\ 3&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Widzimy, że wartość wyjściowa jest zawsze dwa razy większa niż wartość wejściowa, ale nie musi to być regułą. Możemy również mieć taką tabelę:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{ Dostęp }&\mbox{ Wyjście }\\ \hline 0&22\\ 122&74\\ -3&1\\ 42&-45\\ 8&84\\ \hline \end{array}$$

Jednak na początek wystarczy pierwsza, zwykła tabela. Możemy powiedzieć, że ta tabela definiuje funkcję f. Co robi ta funkcja? Wprowadzamy jakieś dane wejściowe do funkcji, funkcja wyszukuje te dane wejściowe w pierwszej kolumnie tabeli i zwraca dane wyjściowe w tym samym wierszu. Gdybyśmy szukali wyjścia funkcji dla liczby trzy, napisalibyśmy to w ten sposób:

$$ f(3) = 6 $$

Znaleźliśmy wiersz, w którym wartość wejściowa była równa trzy, a w tym samym wierszu wartość wyjściowa była równa sześć. Ponadto zastosowanie miałyby f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 i f(5) = 10. Zapisywanie wszystkich funkcji za pomocą tabel może wydawać się proste dla kilku liczb, ale jeśli pracujemy z wieloma liczbami, jest to niezwykle niepraktyczne. Dlatego potrzebujemy innej formy zapisu. Możemy ją określić za pomocą reguły funkcji. W naszej tabeli wartość wyjściowa jest dwa razy większa od wartości wejściowej. Moglibyśmy to zapisać za pomocą reguły funkcyjnej w następujący sposób:

$$ f(x) = 2 \cdot x $$

Jest to prosta funkcja liniowa, ale na razie nie ma to znaczenia. Co mówi nam to wyrażenie? Litera f oznacza nazwę funkcji, to już wiemy. Wyrażenie w nawiasie, litera x, oznacza parametr funkcji. W analogii do automatu do gry reprezentowałoby to pojęcie "wartość rzutu monetą". Parametr funkcji to zmienna, w której przechowywana jest przekazywana przez nas wartość. Gdybyśmy wrzucili dwadzieścia koron do automatu (funkcji), funkcja powiedziałaby x = 20. A następnie automat lub funkcja zrobiłaby swoje z tą wartością.

Następnie znajduje się równanie, a po równaniu sama reguła, która mówi nam, co zrobić z wartością x. Widzimy, że funkcja pomnoży przekazaną wartość x przez dwa. To wszystko.

Więcej przykładów funkcji

Prawa strona może być praktycznie dowolnym wyrażeniem matematycznym. Mogą istnieć inne funkcje, mogą istnieć warunki, które uściślają definicję. Na przykład, możemy werbalnie zdefiniować funkcję w następujący sposób: "jeśli wejście jest liczbą parzystą, zwróć zero, jeśli wejście jest liczbą nieparzystą, zwróć jeden". Będzie to funkcja, która zwróci tylko jeden i zero, ale będzie to funkcja.

Ważną rzeczą do zrozumienia jest to, że funkcję można zdefiniować w niemal dowolny sposób. Oczywiście, nawet funkcja ma swoje reguły, ale nie są one w tej chwili tak ważne - dodatkowo jedna z reguł jest wspomniana w następnym rozdziale. Definicja funkcji nie musi mieć żadnego sensu na pierwszy rzut oka, nie musi mieć żadnego porządku. Funkcja może zawsze zwracać wartość podwójną, z wyjątkiem sytuacji, gdy wejściem jest siódemka. Wtedy zwróci wartość dziewięć. Prawdopodobnie jest to dość bezsensowne, ale to też jest funkcja.

Dużą część operacji wykonywanych poza matematyką możemy nazwać funkcjami. Na przykład, jeśli obliczysz długość słowa "mamut", możemy powiedzieć, że wywołałeś funkcję o nazwie "długość słowa" i przekazałeś jej słowo "mamut" jako argument. Funkcja policzyła litery w słowie i zwróciła na wyjściu liczbę pięć.

Potrzebujesz obliczyć, jakie odsetki składane zapłacisz od pożyczki lub kredytu hipotecznego? Funkcja również może to zrobić. Wystarczy zdefiniować funkcję obliczającą kwotę odsetek po, powiedzmy, dziesięciu latach. Chcesz dowiedzieć się, ile kilometrów przejedzie samochód na określonej liczbie litrów benzyny? Zdefiniuj funkcję! Jeśli samochód przejeżdża średnio 11 kilometrów na litrze benzyny, to możemy zdefiniować funkcję, która obliczy, ile kilometrów więcej przejedziemy w następujący sposób:

$$ ujedeme(x) = 11 \cdot x $$

Jeśli pozostało nam tylko 17 litrów benzyny, obliczamy odległość, wywołując funkcję w następujący sposób:

$$ ujedeme(17) = 11 \cdot 17 = 187 $$

Krótko mówiąc, funkcja to wszystko, co zwraca liczbę jako dane wejściowe. Zwraca odległość lotniczą z Opawy do jakiegoś miasta, zwraca długość najdłuższego utworu na danym albumie, zwraca liczbę włosów na głowie danej osoby, zwraca liczbę nóg danego zwierzęcia itp.

Podstawowa cecha funkcji

Niezwykle ważnym warunkiem funkcji, jeśli wrócimy do tabeli, jest to, aby żadna wartość w pierwszej kolumnie z danymi wejściowymi nie powtórzyła się dwa razy. Gdyby tabela wyglądała tak:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{ Dostęp }&\mbox{ Wyjście }\\ \hline 1&2\\ 1&4\\ 1&6\\ 4&8\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

nie bylibyśmy w stanie stwierdzić, co funkcja powinna zwrócić, gdybyśmy wstawili do niej jedynkę:

$$ f(1) = ? $$

Funkcja musi być jasno zdefiniowana; nie może zwracać dwóch różnych wyników dla tego samego wejścia. To po prostu niemożliwe. Wymagamy, aby funkcja zawsze zwracała ten sam wynik dla tego samego wejścia. Należy zauważyć, że wymóg ten nie dotyczy drugiej kolumny, czyli danych wyjściowych. Wyjścia mogą być takie same, nie przeszkadza nam to. Ta tabela byłaby poprawna:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \mbox{ Dostęp }&\mbox{ Wyjście }\\ \hline 1&2\\ 2&2\\ 3&2\\ 4&2\\ 5&10\\ \hline \end{array}$$

Evaluate function

Wiemy już, jak nazywa się każda część funkcji i jak z grubsza zdefiniować funkcję. Teraz wyjaśnimy krok po kroku, jak odbywa się ewaluacja funkcji. Mamy więc funkcję f(x) = 2x. Co się stanie, jeśli wrzucimy do funkcji liczbę 3? Jeśli chcemy wrzucić trójkę do funkcji, oznacza to, że musimy umieścić trójkę po parametrze funkcji. Parametrem funkcji jest trójka, więc wstawiamy trójkę po wszystkich x:

$$ f(3) = 2 \cdot 3 $$

Widzimy już, że funkcja wypluwa szóstkę, podobnie jak przed chwilą tabela. Jednak tamta była ograniczona tylko do pięciu liczb, nasza nowa definicja może odbierać również inne liczby:

$$\begin{eqnarray} f(10)&=& 2\cdot10=20\\ f(54)&=& 2\cdot54=108\\ f(-7)&=& -14 \end{eqnarray}$$

Ten proces umieszczania określonych wartości po zmiennej x nazywamy ewaluacją funkcji, wywołaniem funkcji lub zastosowaniem funkcji. Tak więc, jeśli powiemy "wywołaj funkcję f z argumentem 5", chcemy obliczyć wartość f(5), która w naszym przypadku byłaby f(5) = 2 · 5 = 10.

Jeszcze dwa pojęcia do zapamiętania. To, z czym wywołujemy funkcję (co umieszczamy po x), nazywane jest argumentem funkcji. Może się to wydawać nieco zagmatwane, ale jeśli mamy funkcję f(x) i wywołujemy ją z wartością trzy f(3), to x jest parametrem funkcji, a 3 jest argumentem funkcji. Argument jest rzeczywistą wartością, z którą wywołujemy funkcję. Parametr jest oryginalną zmienną, z którą funkcja jest zdefiniowana. To raczej kwestia techniczna.

Drugi termin to wartość funkcji, która jest wartością zwracaną przez funkcję na wyjściu. Poprzednia funkcja zwróciła liczbę sześć, gdy została wywołana z liczbą trzy. Zatem liczba sześć jest w tym przypadku wartością funkcji. W pełnym zdaniu powiedzielibyśmy "funkcja f ma wartość funkcjonalną sześć w punkcie trzy". Termin "punkt" w tym kontekście zwykle odnosi się do argumentu funkcji.

Funkcje w zwykłej matematyce

Istnieje kilka funkcji w zwykłej matematyce, które mają bardzo szczególny sposób zapisu, tak że nawet nie wyglądają jak funkcje. Na przykład wspomniana wcześniej wartość bezwzględna jest niczym innym jak funkcją. Przyjmuje ona liczbę jako dane wejściowe i zwraca tę samą liczbę lub liczbę o przeciwnym znaku jako dane wyjściowe.

Jestem pewien, że rozpoznajesz symbol pierwiastka kwadratowego: $\sqrt{}$ To znowu jest funkcja. Przyjmuje pewien argument jako dane wejściowe i zwraca pierwiastek kwadratowy jako dane wyjściowe. Podobnie, pierwiastek kwadratowy x² jest funkcją. Przyjmuje liczbę jako dane wejściowe i zwraca kwadrat tej liczby jako dane wyjściowe.

Warto zauważyć, że większość takich magicznych symboli to tak naprawdę nic bardziej skomplikowanego niż zwykła funkcja. Nie patrz na symbol $\sqrt{}$ jak na dziwną zakrzywioną łatkę, patrz na symbol jak na funkcję.

Ponieważ, szczególnie dla początkujących, może być mylące zobaczyć wyrażenie, które zawiera kilka symboli matematycznych, z którymi biedny początkujący nie wie, jak sobie poradzić, a mimo to jest po prostu kilkoma funkcjami złożonymi. Rozważmy ten przykład:

$$ \sqrt{|x^2|}! $$

Laik matematyczny patrząc na to podrapie się po głowie i nie będzie miał pojęcia, co z tym zrobić. W tym wyrażeniu występują jednak cztery dość proste funkcje, które są kolejno stosowane do zmiennej x. Można to rozbić za pomocą nazwanych i zagnieżdżonych funkcji w następujący sposób:

$$ \mbox{ Factorial }(\mbox{ pierwiastek kwadratowy }(\mbox{abs}(\mbox{na2}(x)))) $$

Notacja jest dłuższa, ale prawdopodobnie bardziej przejrzysta dla kogoś, kto nie jest zaznajomiony z symbolami. Jednocześnie kolejność wywoływania funkcji jest bardzo przejrzysta.

Podsumowanie notacji funkcji

Funkcja ma nazwę, która może być w zasadzie dowolna. Najczęstszą nazwą funkcji generycznej jest f. Każda funkcja ma określoną liczbę parametrów, które zapisujemy w nawiasach okrągłych po nazwie. Gdyby nasza funkcja f miała dwa parametry, zapisalibyśmy ją w następujący sposób: f(x, y) lub f(a, b). Nazewnictwo parametrów zazwyczaj nie ma znaczenia.

Niektóre często używane funkcje mają swój własny symbol, na przykład pierwiastek kwadratowy ma symbol $\sqrt{}$. Ponadto sin lub sin(x) to funkcja sinus, |x| to funkcja wartości bezwzględnej, a x! to funkcja factorial.

Jeśli funkcja ma jeden parametr, czasami pomijamy nawiasy, co czasami może sprawić, że notacja będzie bardziej przejrzysta, a czasami nie. Tak więc sin(x) i sin x są poprawnymi zapisami funkcji sinus.

Kiedy mówimy o parametrze funkcji, mówimy o x w notacji f(x). Argument jest wtedy wartością, z którą wywołujemy funkcję, którą wstawiamy po x. Często te dwa pojęcia łączą się. Wartość funkcji to wartość, którą otrzymujemy po wywołaniu funkcji. Zapisujemy ją po prostu jako nazwę funkcji, nawiasy i argument. Jeśli mamy funkcję f(x) = 2x i zastępujemy argument x = 4 po parametrze x, to mówimy, że wywołaliśmy funkcję z argumentem x = 4 i wynikowa wartość funkcji f(4) jest równa osiem.