Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów to twierdzenie, które - w przeciwieństwie do zwykłych funkcji goniometrycznych - działa w trójkącie prostokątnym. Daje nam ono związek między długościami boków i kątów. Twierdzenie cosinusów również zachodzi w ogólnym trójkącie, a jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów mówi nam, że stosunek wszystkich długości boków i sinusów ich przeciwległych kątów jest stały w danym ogólnym (!) trójkącie. Zapisujemy je następująco:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2r,$$

gdzie r jest promieniem opisanego okręgu, a a, b i c są długościami boków trójkąta. Możemy również przepisać poprzednią równość w postaci:

$$\frac{a}{b}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}, \frac{b}{c}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}, \frac{c}{a}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}$$

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów, podobnie jak twierdzenie sinusów, obowiązuje również w przypadku trójkąta prostokątnego. Twierdzenie cosinusa brzmi następująco:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ b^2 &=& c^2 + a^2 - 2 c a \cdot \cos \beta\\ c^2 &=& a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray}$$

Zauważ, że jeśli jeden z kątów jest prosty, tj. ma miarę 90 stopni, to ostatnia część wzoru znika i otrzymujemy postać Twierdzenia Pitagorasa. Ponieważ jeśli $\alpha=90^{\circ}$, to cos(α) = 0 i tak otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha\\ a^2 &=& b^2 + c^2 - 2 b c \cdot 0\\ a^2 &=& b^2 + c^2 \end{eqnarray}$$

Uzasadnienie

Rozważmy trójkąt ABC o boku c długości |c| = 9. Wielkości kątów wynoszą: $\alpha=40^{\circ}, \beta=80^{\circ}, \gamma=60^{\circ}$ Pytanie brzmi: jaka jest długość pozostałych dwóch boków? W tym momencie nie możemy skorzystać ze zwykłych funkcji goniometrycznych, ponieważ działają one w trójkącie prostokątnym, którym ten trójkąt zdecydowanie nie jest. Rysunek:

W tym momencie będziemy musieli skorzystać z innych sposobów. Jedną z nich jest właśnie twierdzenie sinusów. Którego sposobu użyjemy? Twierdzenie sinusów mówi nam, że:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Znamy wszystkie kąty i długość boku c. Obliczamy więc bok b z równania

$$\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Tutaj musimy wyodrębnić długość boku b. Wykonujemy równoważne dopasowanie równań i mnożymy równanie przez sinus kąta beta. Otrzymujemy:

$$|b|=\frac{|c|\cdot\sin\beta}{\sin\gamma}$$

Znamy lub możemy obliczyć wszystkie wyrażenia po pierwszej stronie. Dodajemy więc:

$$|b|=\frac{9\cdot0{,}985}{0{,}866}=10{,}23.$$

Dokładnie w ten sam sposób obliczamy pozostałą stronę a:

$$\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|c|}{\sin\gamma}$$

Wyodrębniamy |a| mnożąc równanie przez sinus kąta alfa.

$$|a|=\frac{|c|\cdot\sin\alpha}{\sin\gamma}$$

Obliczmy wynik:

$$|a|=\frac{9\cdot0{,}642}{0{,}866}=6{,}672$$

Wyprowadzenie twierdzenia sinusów

Dlaczego zachodzi równość sinusów? Rozważmy zwykły trójkąt ABC, w którym nadal wyznaczamy wysokość względem boku c.

Pytanie brzmi, jaka jest długość boku CP_c. Mając wysokość, mamy trójkąt ABC podzielony na dwa trójkąty prostokątne, które możemy wykorzystać do wyrażenia długości wysokości. Spróbujmy więc wyrazić długość boku CP_c za pomocą dwóch trójkątów. Prawdą jest, że sinus kąta alfa jest równy:

$$\sin(\alpha)=\frac{|CP_c|}{|AC|}$$

Stąd wyrażamy |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot|AC|=\sin(\alpha)\cdot |b|.$$

Teraz wyrażamy długość boku CP_c za pomocą drugiego trójkąta, używając kąta beta:

$$\sin(\beta)=\frac{|CP_c|}{|BC|}$$

Stąd ponownie wyodrębniamy |CP_c|:

$$|CP_c|=\sin(\beta)\cdot|BC|=\sin(\beta)\cdot |a|$$

W tym momencie mamy długość wysokości wyrażoną dwoma wzorami:

$$|CP_c|=\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|,$$

więc otrzymujemy równość

$$\sin(\alpha)\cdot |b|=\sin(\beta)\cdot |a|.$$

Jest to nieco bliższe temu, co mówi nam twierdzenie sinusów. Dzielimy całe równanie przez sinus alfa razy sinus beta:

$$\begin{eqnarray} \sin(\alpha)\cdot |b|&=&\sin(\beta)\cdot |a|\qquad/:\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)\\ \frac{\sin(\alpha)\cdot |b|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}&=&\frac{\sin(\beta)\cdot |a|}{\sin(\alpha)\cdot\sin(\beta)}\qquad/\mbox{ skrócić siny }\\ \frac{|b|}{\sin(\beta)}&=&\frac{|a|}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

W poprzedniej procedurze udowodniliśmy część twierdzenia sinusów, jednak dowód dla innych kombinacji boków jest identyczny.