Właściwości funkcji

Funkcja jest przepisem, który przypisuje każdej liczbie x w dziedzinie definicji M tylko jedną y z dziedziny wartości N. Zwykle zapisujemy funkcję w postaci y = f(x) lub możemy wyrazić ją jawnie f:y = x gdzie zmienna x jest argumentem funkcji.

Zakres definicji i zakres wartości

Dla każdej funkcji musimy również określić jej zakres definicyjny, który jest zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości argumentu x, tj. wszystkich wartości, jakie może przyjąć zmienna x. Zakres definicyjny funkcji f oznaczamy przez D(f).

Prosty przykład: f:y = x tutaj dziedzina definicji jest równa całkowitemu zbiorowi liczb rzeczywistych D(f) = ℝ. Inny przykład: $f:y = \frac{1}{x}$ w tym przypadku dziedziną definiowania jest zbiór liczb rzeczywistych, ale tym razem z wyłączeniem zera, ponieważ nie można dzielić przez zero, wyrażenie nie miałoby wtedy sensu D(f) = R ∖ {0}.

Dziedziną wartości jest zatem, przez analogię, zbiór wszystkich dopuszczalnych y, czyli zbiór wszystkich elementów, na które może wskazywać funkcja f. Ponownie, prosty przykład: rozważmy funkcję f:y = x. Tutaj dziedziną wartości jest zbiór ℝ, ponieważ y może przyjąć dowolną wartość z tego zbioru. Rozważmy jednak inną funkcję f:y = |x| (wartość bezwzględna). Tutaj zakres wartości będzie już równy przedziałowi <0, +∞), ponieważ nigdy nie może się zdarzyć, że y równa się na przykład minus pięć, ponieważ nie jest to możliwe z definicji wartości bezwzględnej.

Jeśli będziemy trzymać się pojęcia mapowania ze zbioru A do zbioru B, to wiedzmy, że zbiór A jest dziedziną definicyjną, a zbiór B nazywany jest zakresem wartości.

Monotoniczność funkcji

Monotoniczność funkcji to właściwość, która określa, czy funkcja jest rosnąca, malejąca, nierosnąca, niemalejąca, stała lub żadna z powyższych w danym przedziale.

Najlepszym sposobem na odczytanie tej właściwości jest wykres, jeśli czujesz, że wykres maleje, jest to funkcja malejąca, jeśli jest to funkcja rosnąca, jest to funkcja rosnąca. Jakie to proste :-). Definicje wyglądałyby następująco: mamy funkcję f i niech x₁, x₂ ∈ D(f). Wtedy mówimy, że

• funkcja f jest rosnąca, jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂).
• funkcja f jest malejąca, jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂). (Definicja wygląda tak samo, ale w pierwszym przypadku wartości funkcji to <, a w drugim >).

Zobacz wykres funkcji rosnącej f(x) = ln(x):

Widzimy, że jeśli wybierzemy x₁, x₂, taką, że x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂) również zachodzi. Spójrzmy teraz na inny wykres, tym razem funkcji $f(x)=\frac{1}{x}$, która jest malejąca w przedziale (0, ∞), na przykład:

Widzimy tutaj, że gdy x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂), z kolei, zachodzi dla ich wartości funkcyjnych. Nawet jeśli x₁ jest mniejsza niż x₂, to "produkuje" większą wartość funkcyjną.

Wymienimy jeszcze pozostałe definicje:

• Funkcja f jest niemalejąca, jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) ≤ f(x₂). (Definicja jest podobna do definicji funkcji rosnącej, tylko dopuszczamy, by funkcja miała stałą wartość na pewnym odcinku).
• Funkcja f jest niemalejąca, jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funkcja f jest stała, jeśli dziedziną wartości jest zbiór jednopunktowy lub jeśli dla dowolnych dwóch x₁, x₂ zachodzi, że f(x₁) = f(x₂).

Przykładem funkcji nierosnącej jest funkcja f(x) = |x|−x:

Zauważmy, że w przedziale (−∞, 0) funkcja jest malejąca, ale w pozostałym przedziale funkcja ma stałą wartość funkcyjną (zero). Zatem w całym przedziale definicyjnym jest to funkcja nierosnąca.

Funkcje parzyste i nieparzyste

Niektóre funkcje mogą być parzyste lub nieparzyste pod pewnymi warunkami. Najłatwiej jest poznać wykres funkcji, to właśnie tam najszybciej można się tego dowiedzieć. Funkcja parzysta jest symetryczna wzdłuż osi y, natomiast funkcja nieparzysta jest symetryczna wzdłuż początku [0, 0]. Przykładem funkcji parzystej może być y = x², a nieparzystej y = 2x. Definicje wyglądałyby następująco - funkcja f jest parzysta, jeśli dla wszystkich zachodzi warunek

• parzysta, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi f(x) = f(−x),
• jestnieparzysta, jeśli dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi −f(x) = f(−x).

Funkcje parzyste i nieparzyste zostały omówione w osobnym artykule, Funkcje parzyste i nieparzyste.

Funkcje proste

Funkcję prostą poznajemy po tym, że wszystkie jej wartości są niepowtarzalne, żadna wartość funkcji się nie powtarza. Definicja:

Funkcja f jest prosta, jeśli dla wszystkich x₁, x₂ ∈ D(f) zachodzi, że

$$ x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2) $$

Jeśli wybierzemy dwie różne x z dziedziny definicji funkcji, to ich wartości funkcyjne muszą być zawsze różne.

Graficznie jest to dość łatwe do zaobserwowania. Jeśli przez wykres poprowadzimy prostą równoległą do osi x, to musi ona przecinać wykres w co najwyżej jednym punkcie. Przykładem prostej funkcji jest funkcja liniowa y = 3x. Niezależnie od tego, jaką linię poprowadzimy, zawsze będzie ona przecinać wykres w dokładnie jednym punkcie. Przeciwieństwem jest funkcja taka jak funkcja sinus, której wykres składa się z fal, więc jeśli umieścisz linię równoległą do osi x przecinającą oś y w punkcie $\frac12$, znajdziesz nieskończenie wiele przecięć z wykresem, więc nie jest to funkcja prosta.

Funkcja ograniczona

Funkcje mogą być ograniczone i mogą być ograniczone od góry, od dołu lub zarówno od góry, jak i od dołu - taką funkcję nazywamy po prostu funkcją ograniczoną. Funkcja f jest górnie ograniczona, jeśli znajdziemy liczbę rzeczywistą A, która jest większa niż wszystkie wartości funkcji f. Podobnie jest w przypadku funkcji ograniczonej z dołu. Zatem definicja:

• Funkcja f jest górnie ograniczona, jeśli istnieje A ∈ ℝ taka, że dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi A > f(x).
• Funkcja f jest ograniczona dolnie, jeśli istnieje A ∈ ℝ taka, że dla wszystkich x ∈ D(f) zachodzi A < f(x).

Graficznie możemy to sobie wyobrazić, szukając linii równoległej do osi x (tj. linii poziomej), która znajduje się powyżej lub poniżej całego wykresu funkcji.

Na rysunku mamy wykres funkcji f(x) = x⁴, który jest ograniczony od dołu. Zauważ, że nie musimy znaleźć takiej A, która jest "najbliżej" wykresu, wystarczy umieścić linię arbitralnie poniżej wykresu.

Minimum i maksimum

Funkcja f ma maksimum w punkcie M dziedziny definiującej, jeśli M jest największą wartością funkcji spośród wszystkich wartości funkcji, które funkcja ma w tym punkcie. Podobnie jest w przypadku minimum. Definicja:

• Funkcja f ma globalne maksimum w punkcie M ∈ D(f), jeśli f(x) ≤ f(M) zachodzi dla wszystkich x ∈ D(f) - w skrócie, wartość funkcyjna jest najwyższa w M. Jeśli istnieje pojedyncze maksimum, nazywamy je ostrym maksimum.
• Funkcja f ma globalne minimum w punkcie m ∈ D(f), jeśli x ∈ D(f) zachodzi dla wszystkich f(x) ≥ f(M) - wartość funkcji jest najmniejsza w punkcie m.

Prawdopodobnie można dość łatwo znaleźć maksimum i minimum funkcji na wykresie, wystarczy spojrzeć, gdzie funkcja jest najniższa lub najwyższa. Oczywiście funkcja może nie mieć ani minimum, ani maksimum, albo może mieć tylko minimum lub tylko maksimum, podobnie jak funkcja może mieć tylko ekstrema lokalne, ale nie ekstrema w całej dziedzinie definicyjnej.

Jeśli chcesz znaleźć minima i maksima, użyj pochodnych; dokładna procedura jest opisana w artykule progresja funkcji.

Przykład

Określ właściwości funkcji, korzystając z poniższego wykresu:

• Dziedzinądefiniującą tej funkcji jest przedział <−4, 4>.
• Zakres wartości to przedział <−2, 4>.
• Chociaż funkcja wygląda tak, jakby mogła być rosnąca, funkcja ma stałą wartość w przedziale <0, 2>, więc nie może być rosnąca. Funkcja nie jest jednak malejąca w żadnym przedziale, więc jest funkcją niemalejącą.
• Wykres funkcji nie jest symetryczny względem osi y lub początku układu współrzędnych, więc funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
• Czy funkcja jest prosta? Zostało już powiedziane, że w sekcji <0, 2> funkcja ma stałą wartość, więc funkcja nie może być prosta. Dla różnych x ma ona tę samą y.
• Funkcja jest ograniczona zarówno od góry, jak i od dołu. Jesteśmy w stanie znaleźć poziomą linię, która będzie powyżej całego wykresu i poniżej całego wykresu.
• Podana funkcja ma również minimum i maksimum. Ma minimum na m = −4 i maksimum na M = 4.