Funkcje liniowe

Funkcja liniowa to dowolna funkcja określona przez y = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Szczególnym przypadkiem funkcji liniowej jest funkcja a = 0, ponieważ poprzedni zapis można skrócić do y = b, która jest funkcją stałą (niektóre źródła nie zaliczają funkcji stałych do funkcji liniowych).

Rodzaje funkcji liniowych

Funkcje liniowe mają dość ładne wykresy, ponieważ zawsze są opisane prostą, na przykład wspomniana już funkcja stała ma wykres w postaci prostej równoległej do osi x, przecinającej oś y w punkcie b. Jeśli b = 0, prosta zawsze przechodzi przez punkt początkowy [0, 0]. Funkcja ta jest również określana jako proporcjonalność liniowa.

Inne właściwości funkcji liniowej wynikają z tego, co a. Jeśli a > 0, jest to wykres funkcji rosnącej, ale jeśli a < 0, wykres jest funkcją malejącą. Wykres funkcji y = ax będzie osiowosymetryczny wzdłuż osi y z funkcją y = −ax.

Właściwości funkcji liniowych

Dziedziną definiującą funkcje liniowe jest zbiór liczb rzeczywistych, podobnie jak w przypadku dziedziny wartości. Funkcja jest malejąca lub rosnąca w zależności od stałej a. Jest to prosta funkcja, ponieważ nie możemy znaleźć poziomej linii, która przecina wykres funkcji liniowej w więcej niż jednym punkcie (co nie jest prawdą w przypadku funkcji stałej). Co więcej, nie jest okresowa, jest ciągła w całej swojej definiowanej dziedzinie, nie ma maksimum ani minimum. Funkcja liniowa nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, tylko jeśli b = 0, jest funkcją nieparzystą.

Przykład

Narysuj wykres funkcji y = −3x +1.

Wykres tej funkcji jest łatwy do narysowania. Wiemy, że wykresem dowolnej funkcji liniowej jest linia (teoretycznie może to być również odcinek linii, jeśli wykres funkcji liniowej ma być wykreślony tylko na pewnym przedziale). To nam w zupełności wystarczy. Aby wykreślić prostą, musimy znać współrzędne tylko dwóch punktów. Obliczmy je. Najpierw otrzymamy najprostszą liczbę, zero, po x. Otrzymamy f(0) = 1. Pierwszym punktem, przez który będzie przechodzić linia, będzie [0, 1]. Jako drugi punkt możemy wpisać na przykład jeden. Otrzymamy to: f(1) = −3 + 1 = −2 Drugi punkt będzie miał współrzędne [1, −2]. Mamy teraz dwa punkty potrzebne do wykreślenia wykresu tej funkcji: