Dziedzina definicyjna funkcji

Zakres definicyjny funkcji to wszystkie dopuszczalne wartości, które możemy umieścić po argumencie x w funkcji f(x), aby funkcja miała sens.

Co to jest zakres definicyjny funkcji?

Prostym przykładem jest funkcja f(x) = 1/x. Dziedziną definicyjną jest zbiór wszystkich dopuszczalnych wartości, które po podstawieniu do funkcji 1/x dają prawidłowe wyrażenie.

Aby wiedzieć, czym jest "poprawne wyrażenie", musimy znać właściwości funkcji i operacji. W naszej funkcji dzielimy zmienną x, a zmienna x znajduje się w mianowniku ułamka. Przez jakie wartości możemy dzielić? Wszystkie oprócz zera. Nie możemy dzielić przez zero, ani zero nie może być w mianowniku ułamka. Nie ma żadnych innych ograniczeń dotyczących dzielenia.

Dlatego po x możemy umieścić dowolną liczbę rzeczywistą z wyjątkiem zera. Dziedzina definiowalna jest zatem równa: D(f) = ℝ ∖ {0} Zwykle zapisujemy dziedzinę definiującą za pomocą litery D i zapisujemy funkcję, której dziedzinę definiującą obliczamy w nawiasach.

W tym momencie obliczyliśmy największą dziedzinę definiowalną. Ponieważ jednak zdefiniowaliśmy zakres definiujący jako zbiór wartości, które możemy umieścić po x, każdy podzbiór zakresu definiującego będzie z kolei zakresem definiującym. Czasami możemy uznać za przydatne ograniczenie funkcji tylko do niektórych x. Na przykład w sekwencjach ograniczamy się do liczb naturalnych, w goniometrii często liczymy tylko przedział <0, 2π>.

Jeśli jednak podano nam przykład, w którym należy obliczyć zakres definiujący funkcji, zwykle oczekuje się obliczenia największego możliwego zakresu definiującego.

Możemy również odczytać zakres definiujący z wykresu funkcji. Przykładem może być wykres poprzedniej funkcji f(x) = 1/x.

Po rzutowaniu wykresu na oś x otrzymamy dziedzinę definiowalną. Jeśli punkt x nie jest elementem dziedziny definiującej, to jeśli w tym punkcie utworzymy pionową prostopadłą do osi x, linia ta nie przetnie żadnego punktu na wykresie. Widzimy, że tylko zero spełnia ten warunek - nie ma punktu "powyżej lub poniżej" żadnego punktu na wykresie funkcji. Wszystkie pozostałe punkty spełniają ten warunek.

Obliczanie dziedziny definiującej

Aby obliczyć dziedzinę definiującą funkcji złożonej, należy znać dziedziny definiujące wszystkich funkcji, które składają się na funkcję złożoną. W przeciwnym razie nie będzie to możliwe. Gdybym poprosił Cię o obliczenie zakresu definicyjnego funkcji f(x) = raz(x) + dva(x), nie udałoby Ci się, ponieważ nie wiesz, jak zdefiniowane są funkcje raz i dva. Pokażmy zakresy definicyjne niektórych funkcji elementarnych:

• Logarytm ma D(f) = (0, ∞).
• Pierwiastek kwadratowy ma D(f) = <0, ∞).
• Tangens ma D(f) = ℝ ∖ {π/2 + Kπ}; K ∈ ℤ.
• Kotangens ma D(f) = ℝ ∖ {Kπ}; K ∈ ℤ.
• Funkcja wykładnicza ma D(f) = ℝ.
• Funkcje liniowe i kwadratowe mają D(f) = ℝ.

Jeśli masz tylko jedną funkcję, jest to bardzo proste. Wystarczy dowiedzieć się, jaką dziedzinę definicyjną ma funkcja, spojrzeć na argument, a następnie odpowiednio podłączyć go do równania. Przykład - określ dziedzinę definicyjną funkcji $\log (3x + 2)$. Argument logarytmu musi być dodatni, więc 3x + 2 > 0 musi zachodzić. Jest to nierówność liniowa, którą możemy łatwo obliczyć:

$$\begin{eqnarray} 3x + 2 &>& 0\\ 3x&>&-2\\ x&>&-\frac23 \end{eqnarray}$$

Dziedziną definiującą są wszystkie x spełniające tę nierówność, więc D(f) = (−2/3, ∞).

Oblicz dziedzinę definiującą $\sqrt{2x + 8}$.

Poniżej pierwiastka kwadratowego nie może być liczby ujemnej, więc rozwiązujemy nierówność 2x + 8 ≥ 0, otrzymując wynik:

$$\begin{eqnarray} 2x+8 &\ge& 0\\ 2x&\ge&-8\\ x&\ge&-4 \end{eqnarray}$$

Zatem D(f) = <−4, ∞).

Oblicz dziedzinę definiującą 1/x².

W mianowniku nie może być zera, więc rozwiązujemy równanie x² ≠ 0. Jest to przypadek, gdy x ≠ 0, więc D(f) = ℝ ∖ {0}.

Rozkład funkcji zespolonych

W przypadku funkcji złożonych sytuacja jest nieco bardziej skomplikowana, ponieważ musimy wziąć pod uwagę wiele funkcji, które oddziałują na siebie i stopniowo zmniejszają swoją domenę definicyjną. Weźmy ten przykład:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Tutaj muszą być spełnione dwa warunki. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym musi być większe lub równe zero i nie może być ujemne. Dlatego x ≥ 0. Ale pierwiastek kwadratowy znajduje się w mianowniku ułamka, więc musi być prawdą, że pierwiastek kwadratowy nie może wyjść na zero, wtedy znowu ułamek byłby bez znaczenia. Wzmacniamy więc poprzednie twierdzenie na stronie x > 0.

Podobnie postąpimy z pozostałymi przykładami. Ważną rzeczą jest jednak określenie kolejności zagnieżdżonych funkcji - musimy dowiedzieć się, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna. W poprzednim przykładzie było to oczywiste - funkcją wewnętrzną był pierwiastek kwadratowy, a funkcją zewnętrzną ułamek. Gdybyśmy chcieli obliczyć wyrażenie ręcznie, najpierw podnieślibyśmy argument x do kwadratu, a następnie obliczylibyśmy ułamek. To całkiem dobra wskazówka - najbardziej wewnętrzna funkcja to ta, od której byśmy zaczęli, gdybyśmy obliczali ją ręcznie. Inny przykład:

$$f(x) = \sqrt[5]{(\ln(\mbox{tan}(x)))^3}$$

Możemy teraz przyjąć odwrotne podejście. Poszukamy funkcji zewnętrznej. Funkcja zewnętrzna "otacza" funkcję wewnętrzną. Tutaj, oczywiście, piąty pierwiastek obejmuje wszystkie pozostałe funkcje. Następnie trzecia potęga obejmuje wynik logarytmu, logarytm obejmuje tangens, a zmienna x obejmuje tangens. Proste. Starszą metodę można przyjąć w następujący sposób: znając wartość x, najpierw stosujemy ją do stycznej. Jest to więc najbardziej wewnętrzna funkcja. Stosujemy ten wynik do logarytmu - więc jest to druga najbardziej wewnętrzna funkcja. Ponownie stosujemy ten wynik do potęgi, a na końcu podnosimy go do kwadratu.

Dekompozycja funkcji złożonej:

$$f(x) = \sin \frac{42}{\ln(10^{2x+3})}$$

Zaczynamy od funkcji zewnętrznej. Jest to sinus. Następna w kolejności jest funkcja ułamkowa, potem logarytm, następnie funkcja wykładnicza (wyobraź sobie to podstawienie: 10^a), a na końcu funkcja liniowa 2x + 3.

Rozłóż funkcję złożoną:

$$\Large f(x) = 2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Funkcją zewnętrzną jest funkcja wykładnicza 2^a. Dalej jest ułamek, następnie w mianowniku ułamka jest pierwiastek kwadratowy, a na końcu funkcja liniowa 3x.

Domena definicyjna funkcji złożonych

Jeśli wiesz, jak rozłożyć funkcje na funkcje zewnętrzne i wewnętrzne, określenie dziedziny definicyjnej nie może stanowić problemu. Zademonstrujmy to od razu na przykładzie:

$$f(x) = \frac{47}{\sin(x)-1}$$

Zacznijmy od ułamka. W przypadku tego ułamka mianownik musi być różny od zera. Zapiszmy to:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)-1 &\ne& 0\\ \sin(x) &\ne&+1 \end{eqnarray}$$

Z własności funkcji sinus wiemy, że osiąga ona wartość 1 w punkcie x = π/2. Ponieważ jest to funkcja okresowa, otrzymujemy zbiór K = {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ. Jest to zbiór wartości, dla których mianownik jest równy zero. Nie możemy podłączyć tego x do naszej funkcji.

Ale to nie wszystko, nadal musimy spojrzeć na dziedzinę definicyjną funkcji sinus. Na szczęście jest ona równa ℝ, więc nie ogranicza nas w żaden sposób. Ograniczenie wynika jedynie z mianownika ułamka. Tak więc D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2Kπ}; K ∈ ℤ.

Więcej rozwiązanych przykładów można znaleźć w kategorii MatWiki's Definitional Scopes of Functions.