Cyklometryczne funkcje łukowe

Aby podstawowe funkcje goniometryczne miały sens, należy również zdefiniować ich funkcje odwrotne. Nazywane są one po prostu funkcjami łukowymi, a dokładniej sinusem łukowym, cosinusem łukowym, tangensem łukowym i cotangensem łukowym. W skrócie nazywane są również arcsin, arccos, arctan i arccot.

Uzasadnienie

Zacznijmy od przykładu. Oblicz wielkość kąta alfa:

Znamy długości dwóch boków w trójkącie, boku b = 3 i boku a = 6. Musimy obliczyć kąt alfa - bok a jest przeciwprostokątną, a bok b jest przeciwprostokątną przeciwną do kąta alfa. Funkcja sinus działa z przeciwprostokątną, a dokładniej sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnej do długości przeciwprostokątnej. Spróbujmy więc podstawić to do wzoru:

$$\sin(\alpha)=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac12$$

Wiemy już, że sinus kąta alfa jest równy jego połowie. Pytanie brzmi, jak uzyskać kąt, znając tę liczbę. Aby to zrobić, potrzebujemy funkcji odwrotnej do funkcji sinus. Funkcja sinus przyjmuje kąt jako dane wejściowe i zwraca stosunek dwóch stron. Teraz jednak potrzebujemy funkcji, do której możemy wstawić stosunek i uzyskać kąt.

Dokładnie to robi funkcja arcus. Zanim właściwie zdefiniujemy, czym właściwie są funkcje łuku, obliczmy przykład za pomocą Google, który powie nam, że arcsin jednej połowy wynosi 30 stopni. Jeśli chciałbyś obliczyć ten sam przykład na kalkulatorze, arcsine jest często oznaczany jako sin⁻¹.

Funkcja odwrotna do arcsinusa?

Najpierw spójrzmy na wykres funkcji sinus:

Przyjrzyjmy się teraz niektórym właściwościom funkcji. Funkcja f ma funkcję odwrotną, jeśli jest prosta. Co to oznacza? Że jeśli weźmiemy dwa elementy x₁ i x₁ z dziedziny definicji, to musi być prawdą, że ich obrazy f(x₁) i f(x₂) są różne. Musi to być prawdą dla wszystkich możliwych par. Łatwo to zobaczyć na wykresie - jeśli możemy przeciąć wykres linią równoległą do osi x tak, że linia ta przecina wykres funkcji f więcej niż raz, to funkcja nie jest prosta.

Oczywiście dla funkcji sinus jesteśmy w stanie znaleźć taką linię. Na przykład sama oś x przecina wykres funkcji sinus więcej niż jeden raz, a dokładniej, przecina go nieskończenie wiele razy. Dlatego funkcja sinus nie jest prosta i nie ma dla niej funkcji odwrotnej.

Funkcja odwrotna do ograniczenia funkcji sinus

Z ostatniego rozdziału wiemy, że nie istnieje funkcja odwrotna do funkcji sinus. Z pierwszego rozdziału wiemy jednak, że istnieje funkcja arcsin, która zachowuje się dokładnie tak, jak chcemy. Jak to osiągnęliśmy? Wybraliśmy tylko tę część funkcji sinus, która jest prosta, więc możemy zdefiniować funkcję odwrotną do tego ograniczenia funkcji.

Ograniczenie funkcji sinus uzyskujemy poprzez zmniejszenie jej dziedziny definiowania. Jaki podzbiór pierwotnej dziedziny definiowania(liczb rzeczywistych) powinniśmy wybrać? Możemy wybrać kilka podzbiorów, ale najlepszym wyborem jest przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Przedział ten pokazano na poniższym rysunku:

Jesteśmy już w stanie zdefiniować funkcję odwrotną w tej dziedzinie definiowania, ponieważ funkcja sinus jest prosta w tym przedziale. Funkcja odwrotna jest symetryczna wzdłuż osi pierwszego i trzeciego kwadrantu z funkcją oryginalną, więc możemy już wykreślić wykres funkcji, która będzie odwrotnością naszej funkcji ograniczenia sin(x). Zobacz rysunek:

Oryginalny sinus jest zaznaczony na niebiesko. Część funkcji, której odwrotności szukamy, jest zaznaczona na czerwono. Na zielono zaznaczona jest odwrotność funkcji, którą nazywamy arcsin lub po prostu asin.

Dziedzina definicji i dziedzina wartości funkcji arcsin

Możemy użyć tych dwóch funkcji, aby ładnie zilustrować zamianę domeny definicyjnej i domeny wartości. Spójrz na poniższy obrazek, który zawiera te same wykresy, w tych samych kolorach, tylko nieco powiększone i dodano kilka linii i punktów:

Zauważ, że dziedziną definicyjną ograniczenia funkcji sinus (czerwona linia) był przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Przez dziedzinę definicyjną rozumiemy wszystkie x, dla których funkcja jest zdefiniowana. Właśnie zdefiniowaliśmy ją dla tego przedziału, aby uzyskać prostą funkcję. Na wykresie szukamy tych x na osi x.

Teraz zobacz, jak wygląda zakres wartości funkcji arcsin (zielona linia). Zakres wartości to wszystkie y, które funkcja może zwrócić nam na wyjściu, więc szukamy ich na osi y. Zakres wartości funkcji arcsin to ponownie przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Jest to ogólna właściwość funkcji odwrotnej, więc nie powinno to nikogo dziwić. Podobnie jest w przypadku zakresu wartości ograniczenia funkcji sinus i zakresu definicji funkcji arcsin. Zakres wartości funkcji sinus to przedział od minus jeden do jeden. Sinus może zwrócić nam tylko te wartości, sinus żadnego kąta nie jest większy niż jeden ani mniejszy niż jeden. A skoro sinus żadnego kąta nie może być większy niż jeden, to oczywiste jest, że funkcja odwrotna również nie może przyjąć wartości wejściowej większej niż jeden. Dlatego dziedziną definiującą funkcję arcsin jest również przedział <−1,1>.

Wartość funkcji arcsin można obliczyć w kalkulatorze tutaj.

Cosinus łukowy

Teraz krótko o funkcji odwrotnej do cosinusa. Z tego samego powodu, co w przypadku funkcji sinus, nie ma tutaj funkcji odwrotnej, ponieważ funkcja nie jest prosta. Możemy jednak wybrać podzbiór dziedziny definiującej, aby uzyskać prostą funkcję.

Niebieska część to wykres funkcji cosinus, a czerwona część to ograniczenie tej funkcji do dziedziny definicji <0,π>. Zielona linia przedstawia wykres funkcji arccos(x), funkcji odwrotnej do naszego ograniczenia funkcji cosinus.

Arcus tangens

Wykres funkcji tangens wygląda następująco:

Wykres ma inny kształt niż poprzednia funkcja, ale nadal nie jest prosty. Ponownie jednak możemy dokonać ograniczenia tej funkcji i wybrać część, która jest prosta. Wybieramy przedział

$$\left<-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right>$$

Odwrotność funkcji ma następujący kształt:

Arcus cotangens

Wszystko to samo, co w poprzednich akapitach. Wykres funkcji cotangens: Dziedziną definiującą ograniczenie funkcji cotangens będzie <0,π>.