Funkcje wykładnicze

Funkcja wykładnicza to taka, która zamiast wykładnika ma niewiadomą.

Definicja

Funkcja wykładnicza f ma postać

$$f(x)=a^x,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Symbol a jest liczbą dowolną, nie jest wyrażeniem złożonym; nazywany jest podstawą. Wyrażenie x jest nazywane wykładnikiem. Podstawą może być na przykład liczba całkowita 3, liczba wymierna $\frac12$ lub stała π.

Dlaczego określamy warunki dla podstawy a? Gdyby a była równa jeden, otrzymalibyśmy funkcję stałą, ponieważ "jeden za wszystko" to zawsze jeden. Prawdą jest, że 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. A ponieważ nie klasyfikujemy funkcji stałej jako wykładniczej, a musi być różna od jeden, więc a≠1. Z tego samego powodu a≠0 musi być prawdziwe.

A dlaczego a>0 musi być prawdziwe? Ponieważ sama potęga jest zdefiniowana tylko dla liczb dodatnich. Na przykład, jeśli wybierzemy jedną połówkę dla x, to jeśli obliczymy $a^{\frac12}$, będzie to tożsame z obliczeniem pierwiastka kwadratowego z a. Możemy jednak pierwiastkować tylko liczby nieujemne.

Jeśli spełnimy poprzednie warunki, funkcja wykładnicza f(x) = a^x ma definiującą dziedzinę liczb rzeczywistych.

Funkcja kwadratowa a wykładnicza

Funkcję wykładniczą można łatwo pomylić z funkcją kwadratową. Prawdą jest, że funkcja kwadratowa ma niewiadomą jako podstawę i liczbę jako wykładnik, podczas gdy funkcja wykładnicza ma liczbę jako podstawę i niewiadomą w wykładniku. Na przykład funkcje kwadratowe to następujące funkcje: x², x² + 4 lub x² − x + 1. Funkcje wykładnicze to funkcje: 2^x, 4^x lub π^x.

Ważne funkcje wykładnicze

Ważną funkcją wykładniczą jest "naturalna funkcja wykładnicza". Jest to funkcja o stałej bazowej e, tj. liczbie Eulera. Liczba Eulera jest liczbą niewymierną, tj. liczbą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym, nie można jej dokładnie określić. Jej przybliżona wartość to e = 2,718 281 828… Funkcja ta jest często oznaczana jako exp.

Inną ważną funkcją wykładniczą jest "dekadowa funkcja wykładnicza", której podstawa wynosi dziesięć: a = 10.

Postać funkcji jako funkcji wartości a

Funkcja ma dwie podstawowe formy, różniące się w zależności od wartości podstawy. Istnieją dwa przedziały: (0,1) i (1, ∞). Jeśli a należy do pierwszego przedziału, tzn. jest mniejsza niż jeden, to funkcja jest malejąca. Jeśli pochodzi z drugiego przedziału, to jest rosnąca. Ma to oczywiście sens. Jako przykład rozważmy $a=\frac12$, czyli funkcję $f(x)=\frac12^x$. Co się stanie, jeśli po x dodamy kolejno dwójkę, trójkę i czwórkę? Wartość funkcji będzie stopniowo maleć, ponieważ otrzymamy: $f(2)=\frac12^2 = \frac12 \cdot \frac12=\frac14$, a następnie $f(x)=\frac12^3= \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12$, która jest równa $\frac18$. Dla f(4) otrzymamy połowę jednej ósmej, czyli $\frac{1}{16}$. Otrzymujemy coraz mniejsze liczby, ponieważ podstawa jest mniejsza niż jeden. Jeśli pomnożymy liczby o podstawie mniejszej niż jeden, zawsze otrzymamy mniejszą liczbę.

I odwrotnie, jeśli a>1, wynikiem mnożenia będzie większa liczba. Jeśli mamy funkcję wykładniczą f(x) = 3^x, otrzymamy cztery wyniki dla wartości dwa, trzy: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Dla trzech: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Wtedy f(4) = 81. Zatem funkcja jest rosnąca. Zwróć uwagę, że nawet jeśli podstawa jest dowolną inną liczbą, która jest większa niż jeden, funkcja nadal będzie rosnąca.

W związku z tym musimy również rozróżnić dwa rodzaje wykresów w zależności od wartości podstawy a.

Wykresy funkcji wykładniczych

Z poprzedniego rozdziału wiemy, że wykres musi mieć dwie podstawowe formy w zależności od wartości podstawy a. Najpierw pokażemy wykres dla wartości a przedziału (0, 1).

Widzimy, że funkcja jest malejąca i przechodzi przez punkt [0, 1]. To nie przypadek - z własności potęg wiemy, że wszystko, co jest do zera, jest jedynką. Tak więc $\frac12^0=1, 5^0=1, 33^0=1$ itd. Dlatego każda krzywa równania wykładniczego musi również przechodzić przez ten punkt. Nawet krzywa, która będzie pasować do funkcji wykładniczej w punkcie a>1, jak widać na poniższym rysunku:

Własności funkcji wykładniczych

• Dziedzinądefiniującą jest zbiór wszystkich [liczb rzeczywistych] (liczb rzeczywistych).
• Zakres wartości jest przedziałem (0, ∞)
• Jest ograniczona od dołu, a^x>0. Nieograniczona od góry.
• Nie ma ani maksimum, ani minimum.

Monotoniczność funkcji zależy więc od wartości a. Jeśli a należy do przedziału (0, 1), to funkcja jest malejąca. Jeśli pochodzi z przedziału (1, ∞), to jest rosnąca.

Wzrost wykładniczy

Termin "wzrost wykładniczy" jest dość często używany w mowie potocznej. Zazwyczaj oznacza to, że coś rośnie bardzo szybko. Klasycznym przykładem jest podział bakterii, który znamy z serialu Once Upon a Time. Pewnego razu pojawiła się tam zła bakteria, która zaczęła mnożyć się tak, że zawsze się dzieliła. Możemy opisać tę metodę mnożenia za pomocą funkcji wykładniczej f(x) = 2^x. Wartość funkcji da nam liczbę bakterii po x rundach dzielenia.

Przykład: na początku (zerowa liczba podziałów, x = 0) mamy jedną bakterię, czyli 2⁰ = 1. Po pierwszej rundzie mnożenia mamy 2¹ = 2, czyli dwie bakterie. To pasuje, jedna bakteria podzieli się na dwie. Teraz obie bakterie podzielą się, czyli mamy 2² = 4 cztery bakterie. Ponownie, każda z nich dzieli się, więc po trzeciej rundzie mamy 2³ = 8 bakterie. I tak dalej.

To rozmnażanie, choć na to nie wygląda, jest bardzo szybkie. Ile bakterii mamy po dziesiątej rundzie? 2¹⁰ = 1024 To ładna liczba. Po 20 rundach mamy: 2²⁰ = 1 048 576 Po trzydziestu rundach mamy ponad miliard.

Szybkość ta jest znacznie wyższa niż w przypadku zwykłego równania kwadratowego. Jeśli porównamy szybkość funkcji wykładniczej f(x) = 2^x i funkcji kwadratowej g(x) = x², funkcja wykładnicza wyraźnie wygrywa. Znamy już wartość funkcji f w punkcie x = 20, podczas gdy wartość funkcji kwadratowej g w punkcie x = 20 jest równa: g(20) = 20² = 400 To wielokrotnie mniej niż 1 048 576.