Okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy to zwykły okrąg, który jest bezwymiarowy; dokładniej, promień tego okręgu jest równy jeden. Okrąg jednostkowy jest używany do ładnego przedstawienia definicji różnych funkcji goniometrycznych.

Co to jest okrąg jednostkowy

Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu długości jeden, którego środek znajduje się w środku układu współrzędnych, tj. w punkcie [0, 0]. Spójrz na poniższy rysunek:

Okrąg jest dalej podzielony na cztery części, które nazywamy kwadrantami. Pierwszy kwadrant znajduje się w prawym górnym rogu, drugi w lewym górnym rogu, trzeci w lewym dolnym rogu, a czwarty w prawym dolnym rogu. Ponieważ będziemy używać tego okręgu do reprezentowania kątów, stopnie są podświetlone na okręgu. Tam, gdzie jest zero stopni, zwykle zaczyna się ramię kąta i jest skierowane w górę. Dlatego punkt [0, 1] jest oznaczony kątem prostym.

Definicja sinusa i cosinusa na okręgu

Okrąg jednostkowy jest bardzo dobrym sposobem na przedstawienie różnych funkcji goniometrycznych. Najpierw narysujemy kąt na okręgu jednostkowym, a następnie pokażemy, gdzie możemy odczytać wartości każdej funkcji na okręgu jednostkowym.

Wykreślamy kąt ASB (na czerwono) na okręgu jednostkowym. Kąt ten nazwaliśmy alfa. Ramiona kąta przecinają okrąg jednostkowy w dwóch punktach: A i B. Ważnym dla nas punktem będzie B. Jeśli narysujemy linię od B równoległą do osi x (to przerywana pozioma linia na rysunku), linia ta przetnie oś y tylko w jednym punkcie. Oznaczymy ten punkt jako P_s. Długość linii SP_s (zielona linia) jest równa iloczynowi kąta alfa.

Ponieważ poruszamy się po okręgu jednostkowym, którego środkiem jest początek układu współrzędnych, długość linii SP_s (zielona linia) jest równa y-współrzędnej punktu P_s, która jest równa y-współrzędnej punktu B.

Możemy również odczytać cosinus na tym samym okręgu. Rysujemy więc prostą równoległą do osi y przechodzącą przez punkt B. Prosta ta przetnie oś x w punkcie, który oznaczymy P_c. Długość prostej SP_c jest wtedy równa cosinusowi kąta alfa. Ponownie możemy powiedzieć, że wartość ta jest równa x-współrzędnej punktu B i P_c.

Definicja tangensa i cotangensa

Podobnie jak zdefiniowaliśmy sinus i cosinus na okręgu jednostkowym, możemy tutaj zdefiniować tangens i cotangens. Dla jasności pokażemy najpierw, gdzie styczna występuje na okręgu jednostkowym. W tym celu będziemy potrzebować innej linii. Będzie to linia równoległa do osi y i przechodząca przez punkt A lub punkt [1, 0]. Na poniższym rysunku jest to linia niebieska:

Prosta ta przecina półprostą (ramię kąta) SB w jednym punkcie, który oznaczymy jako P_t. Odległość prostej AP_t jest wtedy równa tangensowi kąta alfa. Ponownie, wystarczy wziąć y-współrzędną punktu P_t i również otrzymamy tangens kąta alfa.

Aby przedstawić cotangens na okręgu jednostkowym, będziemy potrzebować jeszcze jednej linii. Tym razem będzie to prosta przechodząca przez punkt [0, 1] i równoległa do osi x. Ponownie jest ona zaznaczona na niebiesko:

Prosta ta przecina półprostą (ramię kąta) SB w jednym punkcie, który oznaczymy jako P_k. Odległość prostej CP_k jest wtedy równa cotangensowi kąta alfa. Jak zawsze, możemy po prostu wziąć x-współrzędną punktu P_k, aby uzyskać cotangens kąta.

Pytanie brzmi, co się stanie, jeśli kąt alfa jest większy niż 90 stopni dla stycznej i większy niż 180 stopni dla cotangensa, ponieważ w tych przypadkach linia nie przecina ramienia kąta, patrz poniższy rysunek:

W tym momencie półlinia SB staje się linią prostą, a linia ta przecina już linię p.

Podobnie postąpimy w przypadku stycznej.

Gdy tangens i cotangens nie są zdefiniowane

Możemy zauważyć jedną interesującą rzecz dotyczącą okręgu jednostkowego. Jeśli kąt alfa jest równy 180 stopni, to linia p i ramię kąta nigdy się nie przetną, ponieważ będą równoległe. Jak rozwiązać ten problem? Nie ma takiej możliwości, kotangens kąta 180 stopni nie jest zdefiniowany. Podobnie styczna 90 stopni nie jest zdefiniowana, ponieważ takie ramię będzie równoległe do osi x, a więc będzie równoległe do linii, z którą powinno się przecinać. Poniższy rysunek pokazuje to, przynajmniej w przypadku cotangensa.