Funkcje logarytmiczne

Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej.

Co to jest logarytm

Funkcję logarytmiczną zapisujemy słowem $\log$, a jeśli jest to logarytm naturalny (patrz poniżej), oznaczamy go jako ln. Podstawowy zapis funkcji logarytmicznej wygląda następująco:

$$y=\log_ax$$

Zapis ten brzmi: "Logarytm liczby x o podstawie a". Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej f(x) = a^x. Wartość funkcyjna funkcji logarytmicznej nazywana jest logarytmem.

Ponieważ funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej, musi zachodzić następująca równoważność:

$$\Large y=\log_ax\quad\Leftrightarrow\quad a^y=x$$

Zatem, jeśli wartość a^y jest równa x, to logarytm z x o podstawie a jest równy y. Spróbujmy pokazać kilka przykładów. Rozważmy równanie wykładnicze f(x) = 2^x. Jak wyglądałaby funkcja odwrotna (logarytmiczna)? Na przykład tak: $f^{-1}(x)=\log_2x$ Jeśli do funkcji wykładniczej dodamy trójkę, otrzymamy: f(3) = 2³ = 8.

Jaka zależność musi teraz zachodzić? Jeśli w funkcji odwrotnej f⁻¹ wstawimy ósemkę, to funkcja logarytmiczna musi zwrócić trójkę. Ponieważ liczba 3 była argumentem funkcji wykładniczej, a liczba 8 była wynikiem. Funkcja odwrotna zachowuje się odwrotnie, wejściem jest liczba 8, a wyjściem liczba 3. W międzyczasie można sprawdzić w Google, że rzeczywiście tak jest (lg oznacza logarytm o podstawie dwa).

Jeśli więc napiszemy 2³ = 8, to funkcja odwrotności logarytmu daje nam zależność: $\log_28=3$ Czym więc jest logarytm? Logarytm to wykładnik, do którego musimy pomnożyć podstawę, aby uzyskać argument x.

Ważne funkcje logarytmiczne

Niektóre funkcje logarytmiczne są szczególnie ważne. W szczególności "logarytm naturalny", którego podstawą jest liczba Eulera. Oznaczamy ją przez e. Jest to liczba niewymierna, czyli liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym. Jego przybliżona wartość to: e = 2,718 281 828… Logarytm naturalny zapisujemy jako $\log_ex$ lub prościej jako ln x. Litera "n" pochodzi od łacińskiego "logaritmus naturalis", ale do zapamiętania wystarczy angielski, gdzie jest podobnie: "natural" = "naturalny".

Innym ważnym logarytmem jest "logarytm dekadowy", który jest funkcją logarytmiczną o podstawie dziesięć. Zwykle zapisuje się go jako $\log_{10}x$ lub po prostu $\log x$. Jeśli dla logarytmu nie podano podstawy, przyjmuje się, że jego podstawą jest 10.

Właściwości funkcji logarytmicznej

Jak już wiemy, funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej. W rezultacie przejmuje ona również niektóre z jej właściwości i ograniczeń. Wiemy, że funkcja wykładnicza ma postać f(x) = a^x, gdzie a jest liczbą rzeczywistą większą od zera i różną od jeden. To sprawia, że podstawa logarytmu a również musi być większa od zera i różna od jeden. A więc jeszcze raz notacja funkcji logarytmicznej:

$$y=\log_ax,\quad a\in\mathbb{R},\quad a>0,\quad a\ne1$$

Ponieważ jest to funkcja odwrotna, znamy również dziedzinę definiującą i dziedzinę wartości. Dziedzina definicyjna funkcji logarytmicznej jest taka sama jak dziedzina wartości funkcji wykładniczej, więc dziedzina definicyjna funkcji logarytmicznej jest równa (0, ∞). Dziedzina wartości logarytmu jest zatem taka sama jak definicyjna dziedzina funkcji wykładniczej, tj. zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wykresy funkcji logarytmicznych

Podobnie jak w przypadku funkcji wykładniczej, musimy rozróżnić dwa przypadki. Gdy podstawa a jest z przedziału (0, 1) oraz gdy jest z przedziału (1, ∞). W pierwszym przypadku, tj. gdy podstawa a jest z przedziału (0, 1), wykres wygląda następująco:

W przypadku, gdy baza a jest z przedziału (1, ∞), wykres wygląda tak:

Zobacz także wykres funkcji wykładniczej i jej odwrotności funkcji logarytmicznej na jednym wykresie (niebieski to logarytm, czerwony to funkcja wykładnicza):

Dlaczego wykresy przecinają się w punkcie? [1, 0]

Oba wykresy przecinają oś x w punkcie x = 1. Jest to w porządku, ponieważ każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt [0, 1]. Ponieważ logarytm jest funkcją odwrotną, funkcja ta musi zawsze przechodzić przez punkt [1, 0]. Ma to sens. Jeśli wykres przechodzi przez punkt [1, 0], oznacza to, że dla wejścia funkcji x = 1 mamy wyjście f(x) = 0.

W przypadku logarytmów oznacza to, że szukamy wykładnika, przez który po pomnożeniu podstawy otrzymamy jeden. Jaki jest ten wykładnik? Tylko zero. Wszystko do zera jest jedynką, więc niezależnie od podstawy, funkcja logarytmiczna przejdzie przez punkt [1, 0], ponieważ wszystko do zera jest jedynką. (Uwaga: pamiętaj, że podstawa nie może być niczym: a>0 i a≠1).

Twierdzenia o logarytmach (wzory)

Poniżej znajduje się kilka ważnych zależności i wzorów, które możemy powiedzieć o logarytmach:

Załóżmy, że podstawa a jest rzeczywiście podstawą logarytmu, tzn. a>0, a≠1. Dalej, niech x₁ i x₂ będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Wtedy:

$$\begin{eqnarray} \log_a(x_1\cdot x_2)&=&\log_a x_1+\log_a x_2\\ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)&=&\log_a x_1 - \log_a x_2\\ \log_a x^r&=&r\cdot\log_ax\quad\forall r\in\mathbb{R}\\ \log_a\sqrt[n]{x}&=&\frac{1}{n}\log_ax\quad\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$$

Niektóre zależności wynikające bezpośrednio z definicji logarytmu:

$$\begin{eqnarray} \log_a1&=&0\quad(a^0=1)\\ \log_aa&=&1\quad(a^1=a)\\ a^{\log_a x} &=& \log_a{a^x} = x \end{eqnarray}$$

Jak wykorzystać logarytm naturalny do wyrażenia innego logarytmu?

Czasami zdarza się, że na przykład na kalkulatorze nie mamy logarytmu o dowolnej podstawie, ale tylko naturalny i dekadowy. Co zrobić w przypadku konieczności obliczenia logarytmu o innej podstawie? Istnieje wzór, który ci pomoże. Prawdą jest, że:

$$\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}$$

Jeśli wybierzemy liczbę Eulera jako wartość b, daje nam to wzór:

$$\log_ax=\frac{\ln x}{\ln a}$$

W pierwszym rozdziale musieliśmy obliczyć logarytm liczby 8 o podstawie 2. Możemy użyć logarytmu naturalnego, aby obliczyć to w następujący sposób:

$$\log_28=\frac{\ln8}{\ln2}=3$$

Ponownie, możemy sprawdzić obliczenia w Google. Ale nie musisz używać logarytmu naturalnego, możesz użyć logarytmu dekadowego, formuła na to pozwala. Tak czy inaczej:

$$\log_28=\frac{\log8}{\log2}=3$$

(Pamiętaj, że jeśli nie podano podstawy, przyjmuje się podstawę a = 10.) Ponownie, sprawdź w Google.

Kalkulator

Jeśli chcesz obliczyć logarytm, możesz skorzystać z kalkulatora logarytmów tutaj 🧮.