Trójkąt

Trójkąt to figura geometryczna składająca się z trzech wierzchołków połączonych trzema liniami.

Opis

Spójrz na poniższy rysunek: Rysunek przedstawia trójkąt utworzony przez wierzchołki A, B i C; jest to więc trójkąt ABC. Znajdują się tutaj trzy boki: AB, BC, AC. Zauważ również, że boki te są dodatkowo nazwane małymi literami. Nazewnictwo to ma swoją regułę - naprzeciwko wierzchołka A mamy bok a. Naprzeciwko wierzchołka B znajduje się strona b, a naprzeciwko wierzchołka C znajduje się strona c. Tak więc przeciwległy bok jest zawsze nazwany po wierzchołku; bok nie utworzony przez wierzchołek.

Każdy trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne, które zwykle oznaczamy greckimi literami alfa α, beta β i gamma γ. Suma wszystkich trzech kątów wewnętrznych musi zawsze dawać 180 stopni.

Trójkąt nie ma przekątnych, ale ma linie ciężkości i wysokości.

Nierówność trójkąta

Nierówność trójkątów jest ważną zależnością występującą w trójkątach. Mówi ona, że suma długości dowolnych dwóch boków jest zawsze większa niż długość trzeciego, pozostałego boku. Zapisując to:

$$\begin{eqnarray} |a|+|b|&>&|c|\\ |a|+|c|&>&|b|\\ |b|+|c|&>&|a| \end{eqnarray}$$

Co by się stało, gdyby ta nierówność nie zachodziła? To znaczy, gdyby prawdą było, że jeden bok jest dłuższy niż suma długości dwóch pozostałych? Trójkąt nie mógłby powstać, ponieważ dwa boki byłyby zbyt krótkie i nie "dosięgałyby" do siebie.

Gdyby istniała równość, tj. dwa boki byłyby tak samo długie w sumie jak trzeci bok, to podczas próby narysowania trójkąta wszystkie punkty leżałyby na tej samej linii:

Nierówność trójkątów jest również używana w definicjach innych pojęć, często związanych w jakiś sposób z odległością, gdzie zasada ta jest najbardziej naturalna. Jeśli mówimy o odległościach w świecie rzeczywistym, to z pewnością prawdą jest, że bezpośrednia podróż (w linii prostej) z Pragi do Brna jest z pewnością krótsza niż podróż z Pragi do Liberca, a następnie z Liberca do Brna.

Rodzaje trójkątów

Istnieje kilka różnych rodzajów trójkątów, w zależności od długości boków i kątów.

• Trójkątrównoboczny ma wszystkie boki tej samej długości. Jednocześnie wszystkie kąty wewnętrzne mają miarę 60 stopni.
• Trójkątrównoramienny ma dwa boki równej długości, a trzeci bok ma inną długość. Boki o równej długości nazywane są ramionami, a trzeci bok nazywany jest podstawą. Kąt, jaki ramiona trójkąta tworzą z podstawą jest zawsze taki sam.
• Trójkątostrokątny ma każdy kąt wewnętrzny ostry, tj. mniejszy niż 90 stopni.
• Trójkątprostokątny ma tylko jeden kąt prosty, tj. 90 stopni. Trójkąt nie może mieć dwóch kątów prostych, ponieważ suma kątów wewnętrznych jest równa 180 - trzeci kąt musiałby mieć rozmiar zero, co nie jest możliwe. W przypadku trójkąta prostokątnego obowiązuje słynne twierdzenie Pitagorasa. Więcej informacji można znaleźć w osobnym artykule na temat trójkątów prostokątnych.
• Trójkątrozwartokątny ma tylko jeden kąt, którego rozwartość jest większa niż 90 stopni. Należy pamiętać, że trójkąt nie może mieć dwóch kątów większych niż 90 stopni, więc pozostałe dwa kąty muszą być ostre, tj. mniejsze niż 90 stopni.