Funkcje parzyste i nieparzyste

Dla funkcji możemy określić ich parzystość, to znaczy możemy określić, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta. W skrajnym przypadku może być jednocześnie parzysta i nieparzysta, ale w większości przypadków nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Parzystość

Funkcja jest parzysta, jeśli spełnia prostą zasadę - jeśli do funkcji wstawimy pierwiastek x, a następnie odwrotność −x, to funkcja musi zwrócić tę samą wartość wynikową. Typową funkcją parzystą jest funkcja f(x) = x². Jeśli wywołasz ją z argumentami 6 i −6, otrzymasz: f(6) = 36 i f(−6) = 36. Argumenty różnią się tylko znakiem, więc wynik jest taki sam.

Formalna definicja może wyglądać następująco. Jeśli funkcja f jest parzysta, to musi spełniać warunek

$$\forall x\in D(f): f(x)=f(-x)$$

Dla wszystkich x z zakresu definicji funkcji musi obowiązywać, że nawet jeśli wywołamy funkcję z argumentem odwrotnym, tj. −x, wartości funkcji muszą być równe.

W jaki sposób funkcja parzysta pojawia się na wykresie? Jeśli umieścimy x i −x, to otrzymamy w funkcji to samo y. Jeśli więc się nad tym zastanowimy: x i −x są w równej odległości od początku na osi x i mają tę samą współrzędną y. Oznacza to, że wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzdłuż osi y. Dla ilustracji, wykres funkcji x²:

Wśród klasycznych funkcji, funkcje parzyste to: funkcje cosinus, funkcje postaci f(x) = x^a, gdzie a jest liczbą parzystą. Wartość bezwzględna, na przykład f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|, sprawi, że z pierwotnej funkcji nieparzystej otrzymamy funkcję parzystą.

Funkcja nieparzysta

Funkcja nieparzysta musi spełniać podobne zasady jak funkcja parzysta. Zatem funkcja f jest nieparzysta, jeśli spełnia tę regułę:

$$\forall x\in D(f): f(-x)=-f(x)$$

W praktyce oznacza to, że jeśli funkcja nieparzysta należy do punktu [a, b], to musi również należeć do punktu o współrzędnych odwrotnych, czyli [−a, −b]. Przykładem funkcji nieparzystej jest funkcja f(x) = x³. Jeśli po x wstawimy 2, to otrzymamy:

$$f(-x)=f(-2)=(-2)^3=-8$$

W drugim wyrażeniu otrzymalibyśmy

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Jak to wygląda na wykresie? Jeśli funkcja musi należeć do punktu [a, b] i jednocześnie [−a, −b]? Jeśli to wykreślimy, to okaże się, że taki wykres będzie symetryczny względem początku układu współrzędnych, czyli punktu [0, 0]. Wykres funkcji f(x) = x³ pokazano na poniższym rysunku.

Wśród funkcji klasycznych następujące są funkcjami nieparzystymi: f(x) = x^a, gdzie a jest nieparzysta, f(x) = ax, gdzie a jest dowolną liczbą rzeczywistą (jest to więc funkcja liniowa bez członu bezwzględnego). Następnie jest f(x) = a/x lub sinus.

Sprawdzanie parzystości

Jak sprawdzić, czy funkcja jest parzysta? Musimy to zrobić z definicji. Na przykład dobrze znaną funkcję f(x) = x². Sprawdzamy z definicji. Mówi nam ona, że f(x) = f(−x). Jeśli funkcja jest parzysta, musi spełniać warunek:

$$x^2=(-x)^2$$

Minus x do kwadratu, możemy rozbić to tak, zgodnie z zasadami liczenia z potęgami:

$$x^2=(-1)^2\cdot x^2$$

Minus jeden do kwadratu to jeden, więc otrzymujemy z powrotem tylko x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Czy poniższa funkcja jest parzysta?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Dodajmy do definicji:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Możemy zmienić kolejność tych ułamków, przenosząc wartość bezwzględną do licznika i mianownika zamiast do całego ułamka.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Modyfikujemy mianownik drugiego ułamka, ponieważ z pewnością |x| = |−x|, z definicji wartości bezwzględnej, ma zastosowanie.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Teraz otrzymujemy równość.

Sprawdzanie nieparzystości

Jak sprawdzić, czy funkcja jest nieparzysta? Musimy ponownie skorzystać z definicji. Mówi ona, że funkcja f jest nieparzysta, jeśli

$$f(-x)=-f(x)$$

Zacznijmy od funkcji f(x) = x³. Wprowadźmy ją do definicji:

$$(-x)^3=-x^3$$

Możemy rozbić lewą stronę jak w poprzednim przykładzie:

$$(-1)^3\cdot x^3=-x^3$$

Minus jeden do trzech to minus jeden:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Mamy więc równość:

$$-x^3=-x^3$$

Funkcja jest nieparzysta.

Czy funkcja jest nieparzysta?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Dodajmy do definicji:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Nie ma tu wiele do modyfikowania, po prostu umieszczamy znak minus w pierwszym ułamku przed całym ułamkiem, więc otrzymujemy równość:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Funkcja jest nieparzysta.

Ani parzysta, ani nieparzysta

Funkcja nie musi być parzysta ani nieparzysta. Prawdopodobnie istnieje większość takich funkcji. Przykładem jest funkcja liniowa f(x) = x + 1. Spróbujmy dopasować ją do definicji parzystości:

$$x+1=-x+1$$

Wyodrębnijmy x:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&-x+1\\ 2x+1&=&1\\ 2x&=&0 \end{eqnarray}$$

równość nie zachodzi dla wszystkich x, ale tylko dla niektórych, więc funkcja nie jest parzysta. Teraz nieparzystość:

$$\begin{eqnarray} -x+1&=&-(x+1)\\ -x+1&=&-x-1\\ 0x&=&-2 \end{eqnarray}$$

To równanie nigdy nie ma rozwiązania, więc funkcja nie jest nieparzysta.

Parzyste i nieparzyste

Czy istnieje funkcja, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta? Czy istnieje wykres funkcji, który byłby jednocześnie symetryczny względem osi y i początku? Odpowiedź brzmi: tak Istnieje dokładnie jedna funkcja, która jest jednocześnie parzysta i nieparzysta, i jest to funkcja stała f(x) = 0. Wykres funkcji dokładnie pokrywa się z osią x.

Zauważ, że w rzeczywistości istnieje nieskończenie wiele takich funkcji, ponieważ możemy zdefiniować funkcję g(x), która będzie miała ten sam opis, tylko zdefiniowany w innej dziedzinie definicyjnej. Na przykład możemy mieć funkcję g(x) = 0, która będzie miała zakres definicji obejmujący tylko liczby naturalne. Funkcja ta różni się od funkcji f(x), która jest zdefiniowana na liczbach rzeczywistych. Jednak przepis zawsze będzie taki sam.

Funkcje złożone

Interesująca sytuacja występuje, gdy mamy dwie funkcje, które są nieparzyste lub parzyste i próbujemy je dodać, pomnożyć itp. Na przykład dodanie dwóch funkcji parzystych da w wyniku funkcję parzystą. Istnieje wiele reguł i kombinacji, możesz zobaczyć tabelę podsumowującą w książce mojego kolegi (rozdział Funkcje złożone).