Funkcje odwrotne

Funkcja odwrotna to taka, która przypisuje elementy "w odwrotny sposób" niż funkcja oryginalna.

Przykład wprowadzający

Na początek rozważmy prostą funkcję liniową f(x) = 2x. Jak będą wyglądać wartości tej funkcji? Na przykład dla kilku pierwszych liczb naturalnych wartości funkcji będą wyglądać następująco:

$$\begin{eqnarray} f(1)&=&2\\ f(2)&=&4\\ f(3)&=&6\\ f(4)&=&8\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Widzimy, że jeśli w funkcji umieścimy dwójkę, to zwróci ona czwórkę. Co powinna robić funkcja odwrotna do tej funkcji? Powinna działać odwrotnie - powinniśmy wstawić do niej czwórkę, a funkcja powinna zwrócić dwójkę. Funkcja odwrotna, oznaczona jako f⁻¹, powinna wyświetlać elementy w odwrotnej kolejności, tj. w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(2)&=&1\\ f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(6)&=&3\\ f^{-1}(8)&=&4\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Jak to zrobić? Jeśli oryginalna funkcja zwróciła dwukrotność parametru x, to funkcja odwrotna powinna z kolei zwrócić połowę parametru x. Jeśli włożymy trójkę, to po podwojeniu otrzymamy szóstkę. Jeśli odejmiemy połowę szóstki, otrzymamy z powrotem trójkę. Funkcja odwrotna miałaby wówczas następującą notację:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definicja

Zdefiniujmy teraz poprawnie funkcję odwrotną. Miejmy więc funkcję f z zakresem definicji D(f) i zakresem wartości H(f). Z definicji funkcji wynika, że dla wszystkich elementów x zakresu definicji D(f), mamy jakiś element y zakresu wartości H(f), dla którego zachodzi f(x) = y.

Funkcja odwrotna f⁻¹ jest zatem funkcją, dla której zachodzi:

$$f(x)=y\Leftrightarrow f^{-1}(y)=x.$$

Co mówi nam ta definicja? Jeśli wywołamy funkcję f z argumentem x i otrzymamy wartość y, to funkcja odwrotna musi zostać wywołana z argumentem y i musi zwrócić wartość x.

Pokażemy to wszystko na rysunkach. Pierwszy rysunek przedstawia oryginalną funkcję f, która zwraca dwukrotność przekazanej wartości. Lewy okrąg reprezentuje zakres definicji, zbiór, z którego wybieramy wartości dla x. Prawy okrąg reprezentuje zakres wartości, zbiór wartości, które może przyjąć wartość funkcji. Strzałki wskazują następnie, które wejście jest wyświetlane na którym wyjściu. Oczywiście strzałek powinno być nieskończenie wiele, to tylko niewielka część funkcji.

Poniżej znajduje się obraz odwrotności funkcji. Funkcja odwrotna będzie wyglądać bardzo podobnie, w szczególności zmieni się kierunek strzałek oraz zakres definicji i zakres wartości. Są one również zamienione.

Widzimy, że oryginalna funkcja wyświetlała od D(f) do H(f), ale funkcja odwrotna wyświetla odwrotnie, od H(f) do D(f). Zatem domena definicyjna funkcji oryginalnej jest równa domenie wartości funkcji odwrotnej, a domena wartości funkcji oryginalnej jest równa domenie definicyjnej funkcji odwrotnej.

Istnienie funkcji odwrotnej

Po pierwsze, funkcja odwrotna może nie zawsze istnieć z powodu fundamentalnej własności funkcji. Jeśli weźmiemy dwa identyczne elementy dziedziny definicyjnej a = b, to funkcja musi zawsze zwracać ten sam wynik f(a) = f(b). Jeśli wrócimy do funkcji, która zwróciła dwa razy, to zawsze musi być prawdą, że f(5) = 10. Nie może być tak, że funkcja zwraca np. trzynaście: f(5) = 13 - to nie może się zdarzyć dla funkcji z definicji.

Spróbujmy teraz przeanalizować sytuację, w której mamy na przykład funkcję kwadratową f(x) = x². Co zwróci funkcja, jeśli wywołamy ją z argumentami x₁ = 2 i x₂ = −2? W obu przypadkach funkcja zwróci wartość 4:

$$\begin{eqnarray} f(2)&=&4\\ f(-2)&=&4 \end{eqnarray}$$

OK. Ale jak wyglądałaby funkcja odwrotna? Jeśli mielibyśmy skonstruować funkcję odwrotną do tej funkcji kwadratowej, musiałaby ona również zachowywać się:

$$\begin{eqnarray} f^{-1}(4)&=&2\\ f^{-1}(4)&=&-2 \end{eqnarray}$$

A wiemy, że nie jest to możliwe. Funkcja nie może zwracać różnych wyników dla tych samych argumentów. Kiedy więc istnieje funkcja odwrotna? Jeśli dla żadnych dwóch argumentów wejściowych funkcja nie zwraca tej samej wartości. Jest to dokładnie definicja funkcji prostej:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Funkcja odwrotna do funkcji f istnieje właśnie wtedy, gdy funkcja f jest prosta. Użyjmy rysunków, aby wyjaśnić, dlaczego naprawdę nie może istnieć funkcja odwrotna do funkcji, która nie jest prosta. Użyjmy strzałek, aby pokazać część funkcji kwadratowej f(x) = x²:

Gdybyśmy spróbowali odwrócić strzałki, otrzymalibyśmy taki obrazek:

Otrzymamy obraz, na którym dwie strzałki prowadzą z jednego punktu do różnych liczb w drugim zbiorze. Nie spełnia to definicji funkcji, więc funkcja odwrotna nie może istnieć.

Znaczenie graficzne

Jeśli weźmiemy wykres funkcji, to jeśli istnieje funkcja odwrotna, to wykresy te będą osiowosymetryczne z pierwszą i trzecią ćwiartką - co również reprezentuje wykres funkcji f(x) = x.

Obliczanie funkcji odwrotnej

Jeśli dana jest funkcja, a zadanie polega na obliczeniu jej funkcji odwrotnej, procedura polega na wbudowaniu funkcji w równanie i wyodrębnieniu jej z równania x. Modyfikujemy więc pierwszą funkcję liniową f(x) = 2x w następujący sposób:

$$y=2x$$

Tak zaczynamy. Celem jest wyrażenie x względem y. Tutaj idzie to dość szybko, wystarczy podzielić równanie przez dwa

$$\frac{y}{2}=x$$

i mamy odwrotność x wyrażoną jako $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Inny przykład:

$$f(x)=4x-7$$

Wstaw x do równania i wyodrębnij :

$$\begin{eqnarray} y&=&4x-7\quad/+7\\ y+7&=&4x\quad/:4\\ \frac{y+7}{4}&=&x \end{eqnarray}$$

Funkcja odwrotna będzie wyglądać następująco:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Możemy to wypróbować. Obliczamy wartość funkcyjną oryginalnej funkcji z wartością trzy:

$$f(3)=4\cdot3-7=12-7=5$$

Jeśli poprawnie obliczyliśmy funkcję odwrotną, powinniśmy otrzymać trzy po wywołaniu z wartością 5:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Inny przykład:

$$f(x)=x^2+1$$

Wyodrębnijmy x:

$$\begin{eqnarray} y&=&x^2+1\quad/-1\\ y-1&=&x^2\quad /\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}&=&\sqrt{x^2} \end{eqnarray}$$

Teraz jesteśmy w niezręcznej sytuacji. x² ponieważ nie możemy po prostu pierwiastkować x, musimy dodać wartość bezwzględną, tj:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Jeśli dodamy to do poprzedniego równania:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Ale to daje nam dwa wyniki, jeden dodatni i jeden ujemny:

$$\begin{eqnarray} x_1&=&\sqrt{y-1}\\ x_2&=&-\sqrt{y-1} \end{eqnarray}$$

W rezultacie dla jednego x mamy dwa różne y, z wyjątkiem sytuacji, gdy pierwiastek kwadratowy będzie równy zero. Możemy jednak znaleźć funkcję odwrotną w pewnym przedziale. Jeśli spojrzymy na wykres funkcji:

znajdziemy, że funkcja odwrotna może istnieć na przedziale <0,∞). Możemy więc po prostu przyjąć izolinię dla x₁. W tym momencie otrzymujemy funkcję, której wykres widzimy na rysunku:

Możemy więc powiedzieć, że funkcja odwrotna istnieje na przedziale

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$