Właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa

Sinus i cosinus to podstawowe funkcje goniometryczne.

Sinus

Sinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości przeciwległej gałęzi do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

$$\sin(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość przeciwległego wieszaka }}{\mbox{ Delka prepona }}$$

Wykresem funkcji sinus jest krzywa zwana sinusem. Wykres można zobaczyć na poniższym rysunku:

Sinus jest funkcją okresową o najmniejszym okresie 2π. Inne własności:

• Dziedziną definiującą jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Zakres wartości to przedział <−1,1>.
• Sinus ma maksimum w nieskończenie wielu punktach. Dokładniej, ma swoje "pierwsze" maksimum w punkcie $x=\frac{\pi}{2}$, a ponieważ jest funkcją okresową, ma również maksimum w każdym punkcie $\frac{\pi}{2}+2k\pi$, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wartość maksimum wynosi wtedy 1.
• Podobnie dla minimum: sinus ma minimum w punktach $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, gdzie k jest liczbą całkowitą, a jego wartość wynosi −1.
• Sinus jest funkcją nieparzystą i ograniczoną.

Cosinus

Cosinus kąta alfa jest równy stosunkowi długości sąsiedniej gałęzi do długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Jeśli więc obliczymy cosinus kąta alfa na kalkulatorze, otrzymamy wartość stosunku

$$\cos(\alpha)=\frac{\mbox{ długość sąsiedniego wieszaka }}{\mbox{ długość przedrostka }}.$$

Wykresem funkcji cosinus jest krzywa zwana cosinusem. Wykres można zobaczyć na poniższym rysunku:

Cosinus jest funkcją okresową o najmniejszym okresie 2π. Inne właściwości:

• Dziedziną definiującą jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Zakres wartości to przedział <−1,1>.
• Cosinus ma maksimum w nieskończenie wielu punktach. Dokładniej, ma swoje "pierwsze" maksimum w punkcie x = 0, a ponieważ jest funkcją okresową, ma również maksimum w każdym punkcie 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wartość maksimum wynosi wtedy 1.
• Podobnie w przypadku minimum: cosinus ma minimum w punktach π + 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, a jego wartość wynosi −1.
• Cosinus jest funkcją parzystą i ograniczoną.

Styczna

Tangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości przeciwległej gałęzi do długości sąsiedniej gałęzi w trójkącie prostokątnym. Styczną oznaczamy zwykle jako tg lub tan.

$$\tan(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość przeciwległego wieszaka }}{\mbox{ Długość sąsiedniego wieszaka }}$$

Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana styczną:

Styczna różni się od poprzednich funkcji głównie okresem, który nie jest już 2π, ale tylko jednym π. Inne własności:

• Dziedzinądefiniującą jest zbiór

$$D(tan)=\mathbb{R}-\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Dziedzinąwartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Styczna nie ma maksimum ani minimum i nie jest ograniczona.
• Styczna jest funkcją nieparzystą.

Cotangent

Cotangens kąta alfa jest równy stosunkowi długości sąsiedniej gałęzi do długości przeciwległej gałęzi. Zazwyczaj cotangens oznaczamy jako cot lub cotan.

$$\cot(\alpha)=\frac{\mbox{ Długość sąsiedniego wieszaka }}{\mbox{ Długość przeciwległego wieszaka }}$$

Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana cotangensem:

Inne własności:

• Okres jest również π, jak dla stycznych.
• Dziedzinądefiniującą jest zbiór

$$D(cot)=\mathbb{R}-\left\{k\pi\right\};\quad k\in\mathbb{Z}$$

• Dziedzinąwartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
• Cotangens nie ma maksimum ani minimum i nie jest ograniczony.
• Cotangens jest funkcją nieparzystą.

Związek między sinusem i cosinusem

Funkcje goniometryczne mają między sobą ścisły związek. Jeśli spojrzymy na wykres funkcji sinus i cosinus w tym samym czasie, zobaczymy, że nie różnią się one zbytnio od siebie, a jedna jest tylko nieznacznie przesunięta względem drugiej.

Jeśli więc zawsze dodamy π/2 do argumentu funkcji, otrzymamy funkcję cosinus:

I odwrotnie, jeśli odejmiemy π/2 od cosinusa, otrzymamy sinus.

Możemy więc zapisać te formuły:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)&=&\cos(x-\frac{\pi}{2})\\ \cos(x)&=&\sin(x+\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$$

Jak wyrazić tangens i cotangens?

Możemy łatwo wyrazić funkcję stycznej w postaci sinusa i cosinusa. Wystarczy pamiętać, czym jest tangens: stosunkiem długości przeciwległej gałęzi do długości sąsiedniej gałęzi. Weźmy ten trójkąt, aby nam pomóc:

Ile wynosi tangens kąta beta?

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}.$$

Jak możemy wyrazić licznik lub mianownik? Jaka jest długość boku b i długość boku c? Wiemy, że sinus kąta beta jest równy:

$$\sin(\beta)=\frac{|b|}{|a|}$$

Z tego wzoru wyodrębniamy |b|:

$$|b|=\sin(\beta)\cdot|a|$$

Cosinus kąta beta jest równy:

$$\cos(\beta)=\frac{|c|}{|a|}$$

Wyodrębniamy |c|:

$$|c|=\cos(\beta)\cdot|a|$$

W tym momencie mamy długości boków b i c wyrażone za pomocą funkcji sinus cosinus. Podłączamy więc te pośrednie wyniki do oryginalnego równania ze styczną:

$$\tan(\beta)=\frac{|b|}{|c|}=\frac{\sin(\beta)\cdot|a|}{\cos(\beta)\cdot|a|}$$

Możemy obciąć |a| z licznika i mianownika, aby uzyskać ostateczny wzór:

$$\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$$

W ten sposób możemy rozbić tangens jako iloraz sinusa i cosinusa. Już bez wyprowadzania możemy zapisać cotangens jako ułamek odwrotny, tj. iloraz cosinusa podzielony przez sinus.

$$\begin{eqnarray} \tan(\alpha)&=&\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\\ \cot(\alpha)&=&\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \end{eqnarray}$$

Związek między tangensem i cotangensem

Podobnie jak funkcje sinus i cosinus są do siebie podobne, tak samo jest z funkcjami tangens i cotangens. Spójrz na oba wykresy na jednym rysunku:

Jak sprawić, by krzywa opisująca styczną stała się krzywą opisującą cotangens? Styczna jest przesunięta o π/2, więc zaczynamy od niej:

Zbliżyliśmy się do stycznej, ale nadal mamy krzywe w złym kierunku, styczna maleje w wybranych odstępach czasu, podczas gdy ta przesunięta krzywa rośnie. Możemy temu zaradzić, zmieniając znak zmiennej x:

Możemy napisać:

$$\cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})$$

Wartości tabelaryczne

Sinus, cosinus, tangens i cotangens mają ładne wartości wynikowe dla niektórych ładnych kątów. Oto ich podstawowy przegląd:

$$ \LARGE \begin{matrix} &\sin&\cos&\tan&\cot\\ 0^\circ&0&1&0&\times\\ 30^\circ&\frac12&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\sqrt{3}\\ 45^\circ&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&1&1\\ 60^\circ&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac12&\sqrt{3}&\frac{\sqrt{3}}{3}\\ 90^\circ&1&0&\times&0 \end{matrix} $$