Potęgi i pierwiastki kwadratowe

Mnożenie to funkcja matematyczna, która, mówiąc najprościej, służy do zapisywania wielokrotnego mnożenia w skróconej formie.

Wykładnik naturalny

Mnożenie ma postać aⁿ, gdzie wyrażenie n nazywamy wykładnikiem, a wyrażenie a podstawą. Następnie będziemy przede wszystkim zainteresowani kształtem wykładnika. W tej sekcji pokażemy właściwości potęgi o wykładniku naturalnym, to znaczy, gdy wykładnik jest liczbą 1, 2, 3, 4, …

Przykładem takiej potęgi jest 6². Sześć to podstawa, a dwa to wykładnik. Wykładnik mówi nam, ile razy z rzędu należy pomnożyć sześć, aby uzyskać wynik. Tak więc 6² = 6 · 6 = 36. Innym przykładem jest 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Ogólnie można to zapisać w ten sposób:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{ -times }}$$

Podstawą może być cokolwiek - liczba, ale nie krępuj się użyć bardziej złożonego wyrażenia. Następnie, podczas obliczeń, wystarczy pomnożyć dane wyrażenie tyle razy, ile wskazuje wykładnik. Przykłady:

$$\begin{eqnarray} (-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\ x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3) \end{eqnarray}$$

Dla wykładnika, który wynosi zero, wprowadzamy równość a⁰ = 1.

W przypadku wykładnika ujemnego używamy następującego wzoru

W tej sekcji założymy, że wykładnik będzie ujemny. Jaka może być jego interpretacja? Zakładamy, że a⁰ = 1. Jeśli chcemy obliczyć a¹, możemy powiedzieć, że mnożymy a⁰ przez wyrażenie a. Ponieważ a⁰ = 1, otrzymujemy a⁰ · a = a przez iloczyn. Otrzymujemy a. Jeśli chcemy obliczyć a², możemy napisać a² = a⁰ · a · a.

Możemy powiedzieć, że wartość a⁰ = 1 jest naszą wartością domyślną i kiedy obliczamy aⁿ, po prostu n-razy mnożymy wartość a⁰ przez wyrażenie a. Jak postępowalibyśmy, gdyby n było ujemne? Jeśli n jest dodatnia, mnożymy. Jeśli n jest ujemna, dzielimy. Tak więc otrzymalibyśmy a⁻¹, biorąc początkową wartość a⁰ i dzieląc tę wartość przez wyrażenie a. To daje nam równanie:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a$$

Gdybyśmy chcieli poznać a⁻², podzielilibyśmy a⁰ przez wyrażenie a dwa razy. Co otrzymamy? Najpierw zobaczmy, jak możemy inaczej zapisać dzielenie. Jeśli mamy iloraz x/y, możemy równie dobrze zapisać go jako

$$x\cdot\frac1y$$

Jest to jedna z podstawowych własności ułamków. Jeśli więc chcemy podzielić wyrażenie x dwa razy przez wyrażenie y, możemy zapisać je jako

$$x\cdot\frac1y\cdot\frac1y$$

Wróćmy do przykładu a⁻². Powiedzieliśmy, że otrzymujemy to dzieląc wyrażenie a⁰ dwa razy przez a. Dalej modyfikujemy to w następujący sposób:

$$a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

W tym momencie mamy procedurę obliczania potęgi o wykładniku ujemnym. Obliczamy potęgę tak, jakby wykładnik był dodatni, a następnie po prostu odwracamy wartość, dzieląc jeden ukośnik przez wynik wykładnika. Dokładniej:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Tutaj zakładamy, że −n jest liczbą ujemną, więc n jest liczbą dodatnią).

Kilka przykładów:

$$\begin{eqnarray} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\ 5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8} \end{eqnarray}$$

Wykładnik liczby wymiernej

Możemy dalej rozwinąć wykładnik dla wszystkich liczb wymiernych. Liczba wymierna to liczba, którą można wyrazić jako ułamek, iloraz dwóch liczb całkowitych. Mamy więc ułamek postaci m/n, gdzie n jest liczbą dodatnią. Następnie możemy zapisać wzór

$$\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Kreska nad a^m to znak pierwiastka kwadratowego.

Kalkulator

Jeśli potrzebujesz obliczyć potęgę, możesz skorzystać z kalkulatora potęg tutaj 🧮.

Właściwości potęg

• a⁰ = 1Jeśli a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, jeśli n > 0.
• 0⁰ jest wyrażeniem niezdefiniowanym.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, jeśli a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.