Zorientowany kąt

Ramiona kąta dzielą naszą płaszczyznę na dwa niezorientowane kąty, jeden większy i jeden mniejszy (jeśli nie są równe). Aby wiedzieć, o jakim kącie mówimy, wprowadzamy pojęcie kąta zorientowanego.

Dlaczego warto wprowadzić kąt zorientowany?

Spójrz na poniższy rysunek, na którym kąt jest oznaczony jako AVB.

Pytanie brzmi, o który kąt nam chodzi. Intuicyjnie prawdopodobnie założyłeś, że mam na myśli mniejszy kąt, jednak z łatwością mogłem mówić o większym kącie. Dwa różne kąty utworzone z dwóch równych linii półrównoległych pokazano na poniższym rysunku:

Bez dodatkowych informacji nie jesteśmy w stanie określić, czy pod pojęciem kąta AVB rozumiemy kąt alfa czy beta. Aby uzgodnić, o jakim kącie faktycznie mówimy, ukuto termin kąt zorientowany.

Kierunek dodatni i ujemny

Kąt zorientowany pomaga nam określić, który kąt mamy na myśli. Aby to zrobić, musimy zdefiniować dwie rzeczy. Musimy określić ramiona kąta we właściwej kolejności. W ten sposób rozumiemy różnicę między kątami AVB i BVA, nawet jeśli ramiona kątów są takie same - półczłon VA i VB. Jeśli mamy kąt AVB, półczłon VA nazywany jest początkowym ramieniem kąta zorientowanego, a półczłon VB nazywany jest końcowym ramieniem kąta zorientowanego. Punkt wspólny V nazywany jest wierzchołkiem kąta zorientowanego.

Ok, wiemy już, że zależy to od kolejności ramion kąta. Wciąż jednak nie wiemy, w którym kierunku należy podążać, aby otrzymać kąt AVB. W rzeczywistości kąt AVB mógł zostać utworzony w dwóch kierunkach, jak pokazuje poniższy rysunek:

Ramieniem początkowym kąta jest półprosta AB. Stąd możemy poprowadzić kąt w dwóch kierunkach, pokazanych na rysunku zieloną strzałką i czerwonymi strzałkami. Kierunki można nazwać klasycznie zgodnie z ruchem wskazówek zegara: zielony kierunek jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, a czerwony kierunek jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

W matematyce używamy jednak innych oznaczeń dla tych kierunków, są to kierunki dodatnie i ujemne. Kierunek dodatni odpowiada zielonej strzałce, kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Kierunek ujemny odpowiada czerwonej strzałce, czyli jest zgodny z ruchem wskazówek zegara.

Jest to wyraźnie pokazane na poniższym rysunku:

Co to jest kąt zorientowany?

Jako taki, kąt zorientowany jest uporządkowaną parą pół-równoległych linii o wspólnym początku. Możemy więc zapisać kąt zorientowany jako parę półprostych, na przykład w następujący sposób:

$$\left<\overrightarrow{VA}, \overrightarrow{VB}\right>,$$

Krótszy zapis jest oczywiście taki: $\widehat{AVB}$ Ponadto, jeśli półproste główne VA i VB są różne, to kąty $\widehat{AVB}$ i $\widehat{BVA}$ są różne.

Zdefiniujemy teraz podstawową wielkość kąta zorientowanego. Podstawowa wielkość zorientowanego kąta $\widehat{AVB}$ jest równa wielkości niezorientowanego kąta, który wynika z obrócenia początkowego ramienia VA do pozycji końcowego ramienia VB w kierunku dodatnim, tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Wielkość kąta początkowego jest zawsze z przedziału $\left<0^\circ, 360^\circ\right)$. Należy pamiętać, że przedział jest otwarty od prawej strony. Kąt bazowy nie może być równy 360 stopni. Dzieje się tak, ponieważ kąt ten łączy się z kątem o rozmiarze zero stopni, więc zamiast 360 stopni piszemy zero stopni. Jeśli poruszamy się w mierze łukowej, to kąt pochodzi z przedziału <0,2π).

Oprócz rozmiaru bazowego mamy również tylko rozmiar kąta zorientowanego. Jest on zdefiniowany w ten sam sposób, tylko ten rozmiar może być większy niż rozmiar bazowy. Ponieważ jeśli utworzymy kąt i obrócimy go o pełne koło, a następnie będziemy kontynuować przesuwanie początkowego ramienia, możemy utworzyć kąt o rozmiarze większym niż 360 stopni. Jeśli obrócimy półtora okręgu, otrzymamy kąt o rozmiarze 360 + 180 = 540 stopni. Jest to prawidłowy rozmiar dla kąta zorientowanego. Kąt ten jest jednak identyczny z kątem o rozmiarze 180 stopni.

Możemy łatwo przekonwertować każdy taki zorientowany kąt na rozmiar bazowy, dzieląc rozmiar całkowity przez 360 i przyjmując resztę po podzieleniu jako rozmiar bazowy. Spróbujmy więc przekonwertować te 540 stopni na rozmiar podstawowy:

$$540 : 360 = 1\quad (\mbox{ Przeczytaj resztę na stronie } 180)$$

Podobnie dla innych rozmiarów. Na przykład dla kątów o rozmiarach 750, 1080 i 2000 stopni otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 750 : 360 = 2&\quad& (\mbox{ Przeczytaj resztę na stronie } 30)\\ 1080 : 360 = 3&\quad& (\mbox{ Przeczytaj resztę na stronie } 0)\\ 2000 : 360 = 5&\quad& (\mbox{ Przeczytaj resztę na stronie } 200) \end{eqnarray}$$

Kąty mają rozmiary bazowe 30, 0 i 200 stopni. Przy obliczeniach w radianach należy podzielić przez wyrażenie 2π.