Miara łukowa kąta

Radian jest - podobnie jak stopień - jednostką służącą do pomiaru wielkości kątów. Jest on zdefiniowany na okręgu jednostkowym, a jego wielkość odpowiada kątowi środkowemu łuku, którego długość jest równa promieniowi tego łuku.

Definicja

Aby zdefiniować miarę łuku, będziemy potrzebować okręgu jednostkowego. Na tym okręgu wykreślamy dwa punkty A i B tak, aby łuk, który tworzą, miał długość jeden, tj. długość łuku jest taka sama jak promień tego okręgu. Jeśli zaznaczymy środek okręgu w punkcie S, to kąt ASB ma miarę jednego radiana.

Linia AS reprezentuje promień okręgu i ma kolor czerwony. Druga czerwona linia, łuk AB, musi być tej samej długości. Ważne jest to, że nie interesuje nas odległość między punktami A i B bezpośrednio, tj. nie interesuje nas linia AB, ale długość tego łuku.

Jaka jest wartość radianów w stopniach? W przybliżeniu $57^\circ 17^{\prime} 45^{\prime\prime}$. Nie możemy określić dokładnej wartości. Pytanie brzmi więc, do czego taka jednostka jest dobra.

Praktyczne obliczenia z użyciem radianów

Pierwszym pytaniem, na które należy odpowiedzieć, jest to, ile radianów odpowiada całemu okręgowi, tj. ile radianów odpowiada 360 stopniom. Wiemy, że długość łuku radiana jest równa promieniowi okręgu. Ile takich łuków możemy zmieścić na całym okręgu? Cały okrąg ma długość (tj. obwód) równą tylko

$$o=2\pi r.$$

Nasz łuk ma długość r, więc aby dowiedzieć się, ile razy łuk zmieści się na okręgu, musimy podzielić obvod / polomer, co daje nam:

$$\frac{2\pi r}{r}=2\pi.$$

Stąd odpowiedź, że jesteśmy w stanie zmieścić takich łuków na całym okręgu 2π. To całkiem niezła liczba. Możemy więc napisać, że

$$360^\circ=2\pi \mbox{ rad}\quad\mbox{ a }\quad180^\circ=\pi\mbox{ rad}.$$

Często pomijamy również samą jednostkę rad i piszemy po prostu kąt o rozmiarze, na przykład 2π.

Poniższy rysunek przedstawia trzy kąty o mierze jednego radiana, są to kąty alfa, beta i gamma. Widać, że suma wielkości ich kątów wynosi prawie 180 stopni. Ale ponieważ potrzebowalibyśmy π radianów, aby uzyskać 180 stopni, a π ma przybliżoną wartość 3,1415…, wciąż brakuje nam trochę.

Konwersja ze stopni na radiany i odwrotnie

Większość przyrządów i programów obliczających funkcje goniometryczne pracuje domyślnie w radianach. Stanowi to pewien problem, jeśli kąt został określony w stopniach. Masz dwie możliwości: jeśli możesz, przełącz przyrząd na liczenie w stopniach lub konwertuj stopnie na radiany.

Na przykład wyszukiwarka internetowa Google ma wbudowany kalkulator, więc można w niej obliczyć wartość funkcji sinus. Jednak domyślnie działa ona tylko w radianach, więc gdy spróbujemy obliczyć sin(30), nie otrzymamy poprawnego wyniku 0,5, ponieważ Google nie rozumie tego jako trzydzieści stopni, ale trzydzieści radianów. Jeśli jednak dodamy słowo "degrees" (co po angielsku oznacza "stopień") po liczbie, wynik będzie już poprawny: sin(30 stopni). Większość kalkulatorów ma wtedy tylko dwa tryby, jeden działający w stopniach, a drugi w radianach. Zazwyczaj znajduje się on pod przyciskiem z napisami rad i deg. Rad to skrót od radianów, deg to po prostu stopnie.

Jeśli nie ma reszty, musisz przekonwertować stopnie na radiany lub odwrotnie. Zacznijmy od pierwszego: konwersji ze stopni na radiany. Wiemy już, że równanie ma postać $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Chcemy wiedzieć, jaka część radiana odpowiada jednemu stopniowi, więc dzielimy równanie przez 180:

$$1^\circ=\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}$$

Wiemy już, ile radianów odpowiada jednemu stopniowi. Jeśli chcemy obliczyć na przykład trzydzieści stopni, mnożymy ten ułamek przez trzydzieści:

$$30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}\mbox{ rad}=\frac{\pi}{6}\mbox{ rad}.$$

Podobnie dla innych stopni.

Teraz odwrotny przypadek, konwersja z radianów na stopnie. Ponownie zaczynamy od równania $180^\circ=\pi\mbox{ rad}$. Jeśli mamy 2π radianów, otrzymamy dwa razy więcej stopni, czyli 360. I odwrotnie, jeśli mamy tylko połowę π radianów, otrzymamy połowę liczby stopni - 90. Tak więc najpierw dzielimy naszą wartość w radianach przez π, aby dowiedzieć się, jaką wielokrotność 180 stopni reprezentuje kąt. Następnie mnożymy wartość przez 180 i otrzymujemy kąt w stopniach. Jeśli więc mamy kąt o wielkości 3π/2 radianów, po podzieleniu otrzymamy:

$$\frac{3\pi}{2}:\pi=\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{\pi}=\frac32$$

Pomnóż ten wynik przez 180 i otrzymamy kąt w stopniach: 3/2 · 180 = 270. Jeśli mamy dwa radiany, otrzymamy:

$$2\mbox{ rad} = \frac{2}{\pi}\cdot180=\left(\frac{360}{\pi}\right)^\circ = 114{,}59\ldots^\circ$$

Podstawową zależność między wartością w radianach i wartością w stopniach pokazuje ten wzór (rad to wartość w radianach, deg to wartość w stopniach):

$$deg=rad\cdot\frac{180^\circ}{\pi}.$$

Historia

Koncepcja radiana została prawdopodobnie po raz pierwszy opracowana przez Rogera Cotesa w 1714 roku. W tym czasie jego jednostka nie była jeszcze nazywana "radianem", ale pozostałe definicje i właściwości były identyczne. Termin "radian" po raz pierwszy pojawił się na papierze 5 czerwca 1873 roku w artykule Jamesona Thomsona. Jednostka nadal mogła być nazywana "radial" lub po prostu "rad". (Źródło: wiki)

Tabela podstawowych relacji konwersji

Niektóre kąty są używane dość często, więc poniższa tabela podaje wartości w stopniach i ich odpowiedniki w radianach:

$$ \LARGE \begin{matrix} \mbox{deg: }&0&30&45&60&90&180&270&360\\ \mbox{rad: }&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&\frac{3\pi}{2}&2\pi \end{matrix} $$