Korzenie

Pierwiastek kwadratowy jest częściową funkcją odwrotną do potęgi. Najczęściej pracujemy z pierwiastkiem kwadratowym, który szuka liczby, która po pomnożeniu przez siebie daje oryginalną liczbę, którą podnosimy do kwadratu.

Pierwiastek kwadratowy

W przypadku pierwiastka kwadratowego używamy znaku $\sqrt{}$, a aby uniknąć konieczności zapisywania argumentu pierwiastka kwadratowego w nawiasach w następujący sposób: $\sqrt{}$(25), tworzymy poziomą linię nad całym argumentem (wyrażeniem, które chcemy pierwiastkować), w następujący sposób: $\sqrt{25}$.

Na początku będziemy zajmować się tylko pierwiastkiem kwadratowym z liczby rzeczywistej. Zdefiniujemy go w następujący sposób:

$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$$

Jeśli pomnożymy pierwiastek kwadratowy z a przez pierwiastek kwadratowy z a, to otrzymamy liczbę a. Tak więc dla liczby 9 pierwiastek kwadratowy wynosiłby 3, ponieważ 3 · 3 = 9 jest poprawna.

Możemy również zapisać poprzednie wyrażenie w następujący sposób:

$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$

Jest to po prostu inna notacja dla poprzedniego mnożenia, a mianowicie przy użyciu potęgi.

Ważnym faktem jest to, że to równanie jest ważne tylko dla tych x, które są z domeny definicyjnej pierwiastka kwadratowego. Dzieje się tak, ponieważ nie możemy podnieść do kwadratu liczby ujemnej. Możemy podnieść do kwadratu dowolną liczbę dodatnią, możemy podnieść do kwadratu zero, ale nie możemy podnieść do kwadratu liczby ujemnej? Dlaczego nie możemy tego zrobić?

Załóżmy, że chcemy obliczyć pierwiastek kwadratowy z −25. Zasadniczo mamy dwie możliwości wyboru liczby. Albo dodatnią, albo ujemną. Jeśli wybierzemy liczbę dodatnią, otrzymamy 5 · 5 = 25. Otrzymamy 25, ale chcemy −25. Spróbujemy więc wybrać −5; tylko po pomnożeniu otrzymamy ponownie 25. Krótko mówiąc, jeśli pomnożymy dwie liczby ujemne, otrzymamy liczbę dodatnią. Podobnie, jeśli pomnożymy dwie liczby dodatnie. Musiałbyś pomnożyć −5 · 5, aby uzyskać −25, a nie możesz tego zrobić, mnożysz dwie różne liczby, nawet jeśli różnią się tylko znakiem. Dlatego nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.

Mnożenie pierwiastków kwadratowych

Podobnie jak możemy pomnożyć wyrażenie do drugiego, do trzeciego, do czwartego, możemy mieć trzeci i czwarty i wreszcie n-ty pierwiastek kwadratowy z liczby rzeczywistej. Zazwyczaj jest to zapisywane nad dziobem, jak poniżej:

$$\sqrt[5]{32}$$

Ta notacja oznacza piąty pierwiastek z liczby trzydzieści dwa. n-ty pierwiastek jest definiowany przy użyciu n-tej potęgi w następujący sposób:

$$\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a;\qquad n\in\mathbb{N}, a,b\ge0$$

Jeśli umieścimy dwa po n, otrzymamy pierwiastek kwadratowy, tak jak zdefiniowaliśmy go przed chwilą. W skrócie, możemy go również zdefiniować w ten sposób:

$$\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a$$

Konwencja jest taka, że nie musimy wpisywać tam dwójki dla pierwiastka kwadratowego, więc te notacje są równoważne:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Na przykład dla czwartego pierwiastka byłoby to:

$$\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}=a$$

I konkretny przykład:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

I odwrotnie 4 · 4 · 4 = 64.

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej

Wiemy już, że nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, ponieważ a², gdzie a jest liczbą rzeczywistą, nigdy nie będzie ujemne. Jednak w przypadku wielokrotnych pierwiastków kwadratowych nie mnożymy już tylko dwa razy, więc mogą istnieć przypadki, w których istnieje n-ty pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Więc jak to jest?

Zaniepokoiło nas to, że po dwukrotnym pomnożeniu liczby ujemnej otrzymujemy liczbę dodatnią. Aby uzyskać wynik −25, potrzebowaliśmy iloczynu −5 · 5. Ale co się dzieje, gdy mnożymy trzy liczby ujemne? Po pomnożeniu pierwszych dwóch liczb ujemnych otrzymujemy liczbę dodatnią. Ale po pomnożeniu przez ostatnią liczbę ujemną otrzymujemy z powrotem liczbę ujemną. Jeśli pomnożymy jeszcze raz (w sumie cztery razy), wrócimy do liczb dodatnich.

Wniosek z tego jest taki, że jeśli n- razy pomnożymy liczbę ujemną, to gdy n jest parzysta, otrzymany iloczyn jest dodatni, a gdy jest nieparzysta, iloczyn jest ujemny. Wnioskujemy, że istnieje n-ty pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, gdy n jest nieparzysta. Przykład:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Konwersja do potęgi

Pierwiastki kwadratowe możemy łatwo zamieniać na potęgi i często to robimy, ponieważ ułatwia to pracę z pierwiastkami kwadratowymi. Zachodzi następująca zależność:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Jeśli mamy n-ten pierwiastek kwadratowy z a, to jest to samo, jakbyśmy pomnożyli a do 1/n. Może się to również przydać, gdy trzeba gdzieś wprowadzić pierwiastek kwadratowy wyższy od drugiego. Często nie można tego zrobić bezpośrednio, ale można wprowadzić ułamek w wykładniku. Aby wykreślić wykres czwartego pierwiastka, należy przygotować wykres funkcji

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Najczęściej używana jest konwersja pierwiastka kwadratowego:

$$\sqrt{x}=x^{\frac12}$$

Wzory na pierwiastki kwadratowe

Ponieważ pierwiastek kwadratowy można łatwo przekształcić w potęgę, wyrażenia z pierwiastkami kwadratowymi dziedziczą wzory na potęgi. Obowiązują więc następujące zależności:

$$\Large \sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\qquad a,b\ge0$$

$$\Large \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\Large \sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}\qquad a>0$$

Jednocześnie obowiązują następujące podstawowe relacje:

$$\Large \sqrt[n]{0}=0$$

$$\Large \sqrt[n]{1}=1$$

$$\Large \sqrt[1]{a}=a$$

Częściowe pierwiastki kwadratowe

Częściowy pierwiastek kwadratowy jest techniką używaną do upraszczania pierwiastków kwadratowych i wykorzystuje jeden z poprzednich wzorów:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\qquad a,b\ge0$$

Mianowicie, możemy rozłożyć niektóre wyrażenia poniżej pierwiastka kwadratowego na iloczyn, następnie rozłożyć ten iloczyn na dwa pierwiastki kwadratowe, a na koniec podnieść do kwadratu jeden z tych pierwiastków kwadratowych. Typowy przykład może wyglądać następująco:

$$\sqrt{4x}$$

Możemy przepisać to wyrażenie zgodnie z poprzednim wzorem w następujący sposób:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{x}=$$

A teraz możemy pierwiastkować czwórkę:

$$=2\cdot\sqrt{x}$$

Podobnie możemy przepisać zwykłą liczbę, jeśli chcemy zachować dokładną postać. Oto przykład:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkulator

Jeśli chcesz obliczyć pierwiastek kwadratowy, możesz użyć kalkulatora pierwiastków kwadratowych tutaj 🧮.