Funkcja kwadratowa
Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można wyrazić wzorem f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, a dalej a ≠ 0. Tak jak funkcja liniowa jest zawsze opisana linią, tak funkcja kwadratowa jest z kolei zawsze opisana parabolą.
Przykład funkcji kwadratowej
Przykładem prostej funkcji kwadratowej może być f(x) = x2 + 3x − 7. Wykres tej funkcji wyglądałby następująco:
Funkcję kwadratową można zapisać schematycznie jako ax2 + bx + c. Termin ax2 nazywany jest terminem kwadratowym i każda funkcja kwadratowa musi mieć ten termin. Następny człon bx nazywany jest członem liniowym i nie musi występować w funkcji kwadratowej - może być równy zero. Na przykład funkcja f(x) = 5x2 + 7 jest nadal funkcją kwadratową. Ostatni człon funkcji c jest nazywany członem bezwzględnym i również jest opcjonalny. Zatem dla funkcji f(x) = x2 + 3x − 7 prawdziwe byłoby następujące stwierdzenie
$$ a = 1, b = 3, c = -7 $$
Dlaczego a jest równe jeden? Ponieważ notacja x2 w rzeczywistości oznacza 1 · x2, stąd a = 1.
Właściwości funkcji kwadratowej
Zaczynając od dziedziny definicyjnej: dziedziną definicyjną funkcji kwadratowej jest ℝ, zbiór liczb rzeczywistych, zakres wartości zależy od konkretnej funkcji, ale zawsze zmierza do (plus lub minus) nieskończoności. Co więcej, funkcja kwadratowa jest zawsze rosnąca w połowie przedziału i malejąca w drugiej połowie. Jeśli człon liniowy wynosi zero (b = 0), funkcja kwadratowa jest parzysta. Funkcja kwadratowa nigdy nie jest funkcją prostą.
Ograniczenia z góry lub z dołu
Funkcja kwadratowa jest zawsze ograniczona z góry lub z dołu. Zależy to tylko od parametru a. Dzieje się tak, ponieważ jeśli parametr a jest dodatni, wykres funkcji "rośnie w górę", wykres wygląda jak litera "U", a wykres jest ograniczony od dołu. Przykładem jest funkcja f(x) = 2x2 z wykresem:
Widzimy, że wszystkie wartości funkcji (wszystkie czerwone punkty) są powyżej −1, więc funkcja jest ograniczona od dołu. Gdybyśmy mieli funkcję f(x) = −2x2:
to ponownie wszystkie wartości funkcji byłyby poniżej liczby 1, więc funkcja byłaby ograniczona od góry.
Wypukłość i wklęsłość
Wypukłość i wklęsłość ponownie zależą od parametru a. Funkcja kwadratowa jest wypukła, jeśli ma kształt litery "U" i jest wklęsła, jeśli ma kształt odwróconej litery "U". Jeśli więc a > 0, wykres jest wypukły, a jeśli a < 0, wykres jest wklęsły.
Parametr a wpływa również na to, czy wykres jest wąski czy szeroki. Im wartość jest bliższa zeru, tym wykres jest szerszy i odwrotnie.
Przecięcia z osiami x i y
Jeśli chcemy obliczyć przecięcia funkcji z osią x lub y, wystarczy ułożyć proste równanie, a następnie je rozwiązać. Musimy tylko pamiętać, że możemy zapisać funkcję w postaci y = ax2 + bx + c, co oznacza, że możemy znaleźć y-współrzędną w punkcie x = 2 dodając dwa po wszystkich x.
Na przykład dla funkcji y = x2 − 4x + 3 otrzymalibyśmy y-współrzędną 22 − 4 · 2 + 3 = −1 w punkcie x = 2. Zatem wykres funkcji z pewnością przechodzi przez punkt [2, −1]. Jeśli chcemy obliczyć przecięcia z osią x, to tak naprawdę interesuje nas x-wartość w punkcie y = 0. Przecięcie z osią x zawsze ma y-współrzędną 0. Spójrz na poniższy wykres, a stanie się to jasne.
Dlatego w zapisie y = x2 − 4x + 3 po prostu wstawiamy zero po y i rozwiązujemy równanie. Otrzymane pierwiastki są x-współrzędnymi punktów przecięcia.
$$ x^2-4x+3 = 0 $$
Jest to równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać za pomocą standardowych procedur. Na przykład, możemy rozłożyć to równanie na postać iloczynową (x − 1) · (x − 3), z której wynika, że pierwiastkami są x1 = 1 i x2 = 3.
Jeśli chcemy uzyskać punkty przecięcia z osią y, postępujemy zgodnie z tą samą procedurą. Przyjmiemy notację y = x2 − 4x + 3 i tym razem wstawimy zero po x. Zasadniczo pytamy, jaka jest wartość funkcyjna funkcji w punkcie x = 0:
$$ 0^2-4\cdot0+3=3 $$
Zatem przecięcia z osią x to [1, 0] i [3, 0], a z osią y to [0, 3].
Jak obliczyć współrzędne wierzchołka
W przypadku funkcji kwadratowej bardzo ważne jest również określenie jej wierzchołka i aby uniknąć konieczności zapamiętywania dość skomplikowanego wzoru, pokażemy inny sposób, który wykorzystuje metodę uzupełniania kwadratu. Wierzchołek funkcji kwadratowej to punkt, w którym funkcja ma minimum lub maksimum. Funkcja f(x) = x2 − 4x + 3, której wykres wygląda następująco:
ma wierzchołek w punkcie [2, −1].
Standardowy zapis funkcji kwadratowej wygląda następująco: f(x) = ax2 + bx + c Przekształcimy tę funkcję do postaci g(x) = (x + m)2 + n, gdzie [−m, n] jest wierzchołkiem funkcji kwadratowej. Dla naszej funkcji chcemy więc uzyskać postać (x − 2)2 − 1. Jak uzyskać taką postać?
Po pierwsze, zapisujemy nawias: (x + m) i umieszczamy połowę wartości parametru b z funkcji kwadratowej po m. Parametr b jest równy minus cztery, więc połowa jest równa minus dwa, więc otrzymujemy następujący zapis: (x − 2)2.
Teraz nadszedł czas na drugi krok, musimy odjąć nadmiarowe wpisy. Gdybyśmy pomnożyli ten nawias, nie otrzymalibyśmy poprawnego wyniku, nie otrzymalibyśmy oryginalnej funkcji. Nadal musimy odjąć pierwiastek kwadratowy z m od nawiasu i dodać parametr c z oryginalnej funkcji.
Odejmujemy więc (−2)2 od nawiasu i dodajemy trzy (parametr c):
$$ (x - 2)^2 − 4 + 3 $$
Po dostosowaniu otrzymujemy
$$ (x - 2)^2 − 1, $$
co jest wynikiem końcowym. Ponieważ funkcja ma postać (x + m)2 + n, gdzie m = −2, n = −1, wiemy, że wierzchołek ma współrzędne [−m, n], więc [2, −1].
Powinniśmy jeszcze sprawdzić, czy obliczenia zostały wykonane poprawnie. Właśnie przekształciliśmy funkcję kwadratową x2 − 4x + 3 do postaci (x − 2)2 − 1. Ale ten nowy kształt powinien opisywać tę samą funkcję, więc jeśli pomnożymy nawiasy, powinniśmy otrzymać oryginalny kształt funkcji. Spróbujmy więc pomnożyć (x − 2)2 − 1.
$$\begin{eqnarray} (x - 2)^2 − 1 &=& (x-2) \cdot (x-2)-1\\ &=& x^2-4x+4-1\\ &=& x^2-4x+3 \end{eqnarray}$$
Widzimy, że otrzymaliśmy tę samą funkcję, poprawnie wprowadziliśmy poprawki.