Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma jeden wewnętrzny kąt prosty, tj. 90 stopni. Trójkąt ten ma kilka interesujących właściwości, które zostaną omówione w tym artykule.

Podstawowy opis

Trójkąt prostokątny został już częściowo opisany w głównym artykule na temat trójkątów. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt wewnętrzny o mierze 90 stopni. Oba pozostałe kąty wewnętrzne muszą być koniecznie mniejsze niż 90 stopni, w przeciwnym razie suma kątów wewnętrznych nie byłaby równa 180 stopni. Prawdą jest nawet, że suma dwóch pozostałych kątów wynosi dokładnie 90 stopni.

Trójkąt prostokątny ma oczywiście trzy boki, z których dwa nazywane są przeciwprostokątną (czerwony bok) - są to mniejsze boki - a trzeci bok nazywany jest przeciwprostokątną (niebieski bok) - jest to najdłuższy bok. Przeciwprostokątna zawsze znajduje się naprzeciwko punktu, w którym znajduje się kąt prosty.

Twierdzenie Pitagorasa

Prawdopodobnie najsłynniejsze twierdzenie matematyczne w historii, Twierdzenie Pitagorasa, dotyczy trójkąta prostokątnego. Twierdzenie Pitagorasa dotyczy wielkości boków trójkąta. Twierdzenie to mówi, że "zawartość kwadratu nad przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego jest równa sumie zawartości kwadratów nad jego gałęziami". Zapis matematyczny:

$$c^2=a^2+b^2$$

Twierdzenie Pitagorasa na rysunku: Twierdzenie zostało omówione w osobnym artykule.

Zawartość trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym bardzo łatwo jest obliczyć zawartość, ponieważ wysokości są przystające do gałęzi. Wyobraźmy sobie trójkąt prostokątny na pierwszym rysunku. Jak moglibyśmy obliczyć jego zawartość, nie znając żadnych wysokości? Możemy uzupełnić trójkąt, aby utworzyć prostokąt. Boki prostokąta będą gałęziami trójkąta, a pozostałe dwa boki zostaną dodane, aby utworzyć prostokąt: Możemy już obliczyć zawartość prostokąta, jest to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków, w tym przypadku iloczyn czerwonych boków AC i AB. To daje nam zawartość prostokąta. Jednak przeciwprostokątna BC tworzy przekątną prostokąta, która przecina prostokąt na pół, więc jeśli podzielimy zawartość prostokąta przez dwa, otrzymamy zawartość trójkąta prostokątnego. Formuła wyglądałaby więc następująco:

$$S_\triangle=\frac{b\cdot c}{2},$$

gdzie b i c są długościami gałęzi.

Funkcje goniometryczne sinus i cosinus

W trójkącie prostokątnym obowiązują podstawowe funkcje goniometryczne i ich zależności. Funkcje goniometryczne takie jak sinus, cosinus (czasami także cosinus), tangens i cotangens wyrażają stosunek długości boków w trójkącie prostokątnym. Rozważmy ponownie pierwszy trójkąt, tym razem z zaznaczonymi kątami.

Aby znaleźć stosunek długości dwóch boków, bierzemy dwie długości i dzielimy je w podanej kolejności. Na przykład, stosunek długości boków b:c (czytaj "bé to cé") uzyskuje się dzieląc 3/5 (bok b wynosi 3, bok c wynosi 5).

Funkcja sinus działa następnie ze stosunkiem dwóch boków i jednego kąta. Biorąc pod uwagę nasz rysunek, jeśli weźmiemy stosunek boków b:a, otrzymamy wartość funkcji sinus zastosowanej do kąta β. Cosinus działa podobnie, ale dla stosunku b:a i tego samego kąta β. Zatem:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ \cos(\beta)&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Funkcje sinus i cosinus zawsze działają tylko dla tych kątów w trójkącie prostokątnym, które są mniejsze niż 90 stopni. W tym przypadku są to kąty β i γ. W tym zakresie funkcje sinus i cosinus zawsze zwracają liczbę z przedziału (0, 1), co pomaga zapamiętać zasadę, że zawsze dzielimy krótszy bok przez dłuższy - aby uzyskać liczbę tylko z przedziału (0, 1).

Obie funkcje działają z jedną gałęzią i przeciwprostokątną w tym samym czasie, nigdy z dwiema gałęziami jednocześnie. Ponieważ zawsze dzielisz krótszy bok przez dłuższy, przeciwprostokątna zawsze będzie w mianowniku ułamka. Jeśli spojrzysz na wzory powyżej akapitu, mianownikiem jest zawsze a, czyli przeciwprostokątna trójkąta.

Ostatnia zasada mówi, że sinus działa z przeciwległym odciętym, podczas gdy cosinus działa z sąsiednim odciętym. Co to oznacza? Jeśli mamy kąt β, to przyległa gałąź jest gałęzią, która wychodzi z punktu B, gałęzią c. Przeciwna gałąź jest drugą gałęzią, gałęzią b. Dlatego we wzorze bok b jest bokiem sinusa, a bok c jest bokiem cosinusa.

Podsumowując: sinus zwraca stosunek przeciwległego okapu do przeciwprostokątnej, a cosinus stosunek sąsiedniego okapu do przeciwprostokątnej. Jak możemy to wykorzystać? Jeśli znamy kąty w trójkącie i długość przeciwprostokątnej lub okapu, możemy obliczyć długości pozostałych boków. Przykład:

Dla poprzedniego trójkąta:

$$|AC|=b=3,\quad|AB|=c=5,\quad\beta=30{,}96^\circ$$

Jaka jest długość boku a? Wiemy, że:

$$\sin(\beta)=\frac{b}{a}$$

znamy wartość sinusa, znamy również długość boku b, znajdujemy długość boku a. Wyodrębniamy a używając równoważnych modyfikacji:

$$\begin{eqnarray} \sin(\beta)&=&\frac{b}{a}\\ a\cdot\sin(\beta)&=&b\\ a&=&\frac{b}{\sin(\beta)} \end{eqnarray}$$

(Najpierw pomnożyliśmy a przez równanie, a następnie podzieliliśmy równanie przez sinus.) Po prawej stronie mamy już wszystkie znane wartości, więc dodajemy. Obliczamy wartość sinusa na kalkulatorze.

$$a=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{3}{0{,}514}=5{,}83.$$

Strona a ma długość 5,83. Jeśli obliczasz sinus na kalkulatorze, upewnij się, że masz włączony tryb stopni. Wynika to z faktu, że często problemem jest obliczanie w radianach, które są inną miarą kątową. Zależność konwersji ma jednak zastosowanie:

$$rad=\frac{\pi}{180}\cdot deg,$$

gdzie deg jest wartością w stopniach.

Funkcje goniometryczne tangens i cotangens

Te dwie funkcje można łatwo wykorzystać w trójkącie prostokątnym. Ponownie, zawsze należy pracować z kątami mniejszymi niż 90 stopni. Jednakże, w przeciwieństwie do sinusa i cosinusa, funkcje te nie działają z przeciwprostokątną trójkąta, ale tylko z gałęziami. Zatem tangens kąta jest równy stosunkowi gałęzi przeciwległej do gałęzi sąsiedniej, a cotangens jest równy stosunkowi gałęzi sąsiedniej do gałęzi przeciwległej.

Biorąc pod uwagę poprzedni trójkąt, jest to prawda:

$$\begin{eqnarray} \tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ \mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b} \end{eqnarray}$$

Spróbujmy obliczyć długość boku AC (bok b) w poprzednim trójkącie, używając kąta β. Znamy jego wielkość z poprzedniego przykładu. Wiemy, że:

$$\tan(\beta)=\frac{b}{c}$$

Wyodrębnijmy bok b:

$$\begin{eqnarray} \tan(\beta)&=&\frac{b}{c}\\ c\cdot\tan(\beta)&=&b\\ b&=&c\cdot\tan(\beta) \end{eqnarray}$$

(Po prostu pomnożyliśmy równanie przez c i zamieniliśmy boki.) Teraz wiemy wszystko, czego potrzebujemy, aby obliczyć długość boku b. Dodajemy:

$$b=c\cdot\tan(\beta)=5\cdot\tan(30{,}96)=5\cdot0{,}6=3$$

Z rysunku widzimy już, że otrzymaliśmy prawidłowe rozwiązanie. Należy tylko pamiętać, że tangens we wzorze jest wartością w stopniach, podczas gdy kalkulator może wymagać kąta w radianach.

Aby to zilustrować, możemy obliczyć ten sam bok za pomocą cotangensa:

$$\begin{eqnarray} \mbox{cotan}(\beta)&=&\frac{c}{b}\\ b\cdot\mbox{cotan}(\beta)&=&c\\ b&=&\frac{c}{\mbox{cotan}(\beta)} \end{eqnarray}$$

Dodaj wartości:

$$b=\frac{5}{\mbox{cotan}(30{,}96)}=\frac{5}{1{,}666\ldots}=3$$

Ponownie otrzymujemy poprawny wynik.