Równoważne modyfikacje równań

Modyfikując równania stosujemy modyfikacje równoważne, które charakteryzują się tym, że nie zmieniają poprawności równania. Celem równoważnych modyfikacji jest doprowadzenie równania do jakiejś prostszej postaci, z której możemy już obliczyć wynik równania.

Czym jest równanie

Najpierw krótkie omówienie tego, czym jest równanie i jak będziemy je zapisywać. Jeśli mamy dwie funkcje f(x) i g(x), to możemy umieścić je w równaniu i otrzymać równanie:

$$f(x)=g(x)$$

W tym przypadku nazywamy f(x) lewą stroną równania, a g(x) prawą stroną. Możemy myśleć o abstrakcyjnych funkcjach f(x) i g(x) jako o konkretnych funkcjach, na przykład f(x) = 3x i g(x) = x + 2. Wtedy równanie wyglądałoby następująco:

$$3x=x+2$$

Rozwiązaniem równania jest wtedy zbiór (na przykład) S, gdzie dla każdego x w zbiorze S, dane równanie nadal obowiązuje po podstawieniu do równania. Rozwiązaniem przykładowego równania byłby więc zbiór

$$S=\left\{1\right\}.$$

Po podstawieniu do równania otrzymujemy

$$3\cdot1=1+2$$

Równoważna modyfikacja równania jest modyfikacją, która nie zmienia ważności równania. Tak więc równoważną modyfikacją byłaby modyfikacja, w której otrzymalibyśmy funkcję f₁(x) z funkcji f(x) i ta sama modyfikacja otrzymałaby g₁(x) z funkcji g(x), a mimo to równość nadal byłaby zachowana.

$$f_1(x)=g_1(x).$$

Pierwszą i najprostszą równoważną modyfikacją równań (nie nierówności!) jest zamiana lewej i prawej strony. Jest chyba oczywiste, że jeśli

$$f(x)=g(x),$$

to ich zamiana również będzie poprawna

$$g(x)=f(x).$$

Więcej o równaniach piszę w artykule Co to jest równanie.

Dodawanie

Najprostszym przykładem jest dodanie jakiegoś wyrażenia do obu stron równania. Zawsze stosujemy równoważne traktowanie do obu stron równania. Przyjrzyjmy się więc temu równaniu:

$$x-3=1.$$

Możemy rozwiązać to równanie dodając liczbę trzy do obu stron. Dostosowując równania, zwykle zapisujemy dostosowanie po ukośniku w wierszu, w którym rozpoczęliśmy dostosowanie, w następujący sposób

$$\begin{eqnarray} x-3&=&1\quad /+3\\ 3+x-3&=&1+3\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$

Ogólnie rzecz biorąc, możemy zapisać, że jeśli ponownie mamy dwie funkcje f(x) i g(x), możemy dodać do nich trzecią funkcję h(x) i nie zmienimy ważności równania.

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&g(x)\quad/+h(x)\\ f(x)+h(x)&=&g(x)+h(x) \end{eqnarray}$$

Jak widać, nie musimy dodawać tylko liczby, możemy również dodać funkcję:

$$x=2x+6$$

Z przyzwyczajenia chcemy mieć zmienne po lewej stronie, co osiągamy dodając −2x, lub odejmując 2x do równania.

$$\begin{eqnarray} x&=&2x+6\quad/-2x\\ x-2x&=&2x-2x+6\\ -x&=&6\\ x&=&-6 \end{eqnarray}$$

Oczywiście możemy również dodawać ułamki, jeśli jest to wygodne.

$$x-\frac12=471$$

Dodajemy połowę i otrzymujemy wynik:

$$\begin{eqnarray} x-\frac12&=&471\quad/+\frac12\\ x-\frac12+\frac12&=&471+\frac12\\ x&=&471{,}5 \end{eqnarray}$$

Dodawanie do równania jest klasycznie używane, gdy chcemy "przerzucić" wyrażenie z jednej strony równania na drugą. Jeśli masz równanie

$$3=2x+17,$$

to jak uzyskać wyrażenie ze zmienną, tj. 2x, po lewej stronie równania? Wystarczy dodać −2x do całego równania. W ten sposób po prawej stronie równania otrzymamy zero zamiast 2x, ponieważ 2x − 2x = 0. A po drugiej stronie otrzymamy −2x:

$$\begin{eqnarray} 3&=&2x+17\quad/-2x\\ 3-2x&=&2x-2x+17\\ 3-2x&=&17 \end{eqnarray}$$

Mnożenie

Możemy również pomnożyć równanie przez jakąś funkcję. Jedynym warunkiem jest to, że funkcja nie może być równa zero. Nie możemy pomnożyć równania przez zero, ani nie możemy pomnożyć go przez funkcję, którą można zmodyfikować do zera, taką jak f(x) = x − x. Jeśli więc mamy równanie

$$3x=7,$$

możemy pomnożyć przez dwa:

$$\begin{eqnarray} 3x&=&7\quad/\cdot2\\ 2\cdot3x&=&2\cdot7\\ 6x&=&14 \end{eqnarray}$$

Prawdopodobnie nie ma to większego sensu, mnożenie jest używane na przykład, gdy trzeba pozbyć się ułamków:

$$3=\frac{2}{5x}$$

Jeśli pomnożymy to równanie przez mianownik ułamka po prawej stronie równania, wyrażenie 5x ładnie się skróci ze względu na właściwości ułamków.

$$\begin{eqnarray} 3&=&\frac{2}{5x}\quad/\cdot5x\\ 5x\cdot3&=&5x\cdot\frac{2}{5x}\\ \end{eqnarray}$$

Teraz mnożymy ułamek 5x, który umieszcza 5x w liczniku ułamka, a następnie możemy skrócić wyrażenie 5x, ponieważ mamy je zarówno w mianowniku, jak i liczniku.

$$\begin{eqnarray} 15x&=&\frac{5x\cdot2}{5x}\\ 15x&=&2\\ \end{eqnarray}$$

Na początku tej sekcji powiedziałem, że nie wolno mnożyć przez zero. Teraz pomnożyliśmy przez wyrażenie 5x - z wyjątkiem tego, że to wyrażenie zawiera zmienną, a jeśli dodamy zero do tej zmiennej, cała zmienna również wyniesie zero, a oto już mnożymy przez zero. Co robić?

Sposobem na rozwiązanie tego problemu jest określenie warunków, w których możemy dokonać tej korekty. W tym momencie musimy napisać, że możemy mnożyć 5x tylko pod warunkiem, że x jest różne od zera. Ale teraz spójrzmy jeszcze raz na równanie, przez które mnożyliśmy. Wyrażenie 5x już tam jest i znajduje się w mianowniku ułamka. Co to oznacza? Nie możemy dzielić przez zero, więc sam zakres definicyjny funkcji 5x wyklucza równość x z zerem.

Zatem jeszcze raz - równanie zawiera ułamek z wyrażeniem 5x w mianowniku. Ponieważ nie możemy dzielić przez zero, równanie ma sens tylko przy założeniu, że x jest różne od zera. W związku z tym możemy łatwo pomnożyć całe równanie przez 5x, ponieważ niezbędne warunki są już spełnione przez dziedzinę definicyjną funkcji w mianowniku.

Mnożenie przez bardziej złożone wyrażenia

Teraz ważna uwaga dotycząca faktu, że kiedy mnożymy równanie przez wyrażenie, musimy zawsze pomnożyć całą prawą stronę i całą lewą stronę. Jako przykład weźmy to równanie:

$$x+2=x-4$$

Gdybyśmy chcieli pomnożyć je przez dwa, musielibyśmy pomnożyć całe boki, tak jak poniżej:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot(x+2)&=&2\cdot(x-4)\\ 2x+4&=&2x-8 \end{eqnarray}$$

Błędem byłoby nie umieszczenie nawiasów, ponieważ otrzymalibyśmy nieprawidłowy wynik:

$$\begin{eqnarray} 2\cdot x+2&=&2\cdot x-4\\ 2x+2&=&2x-4 \end{eqnarray}$$

Widać, że wynik jest inny niż w poprzednim przypadku. Podobnie, jeśli mnożymy przez bardziej złożone wyrażenie, musimy pomnożyć całe równanie. Dla przykładu, weźmy równanie

$$2x+1=\frac{2}{x+3}.$$

Mnożymy to równanie przez wyrażenie x + 3, aby pozbyć się zmiennej w mianowniku po prawej stronie.

$$\begin{eqnarray} 2x+1&=&\frac{2}{x+3}\quad /\cdot(x+3)\\ (x+3)(2x+1)&=&(x+3)\frac{2}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3} \end{eqnarray}$$

Mamy ułamek w postaci, w której możemy go ładnie skrócić za pomocą wyrażenia x + 3:

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&\frac{2(x+3)}{x+3}\\ (x+3)(2x+1)&=&2 \end{eqnarray}$$

Teraz możemy nadal mnożyć lewą stronę równania i ostatecznie odjąć dwa, aby "przenieść" dwa na lewą stronę, dając nam zero po prawej stronie.

$$\begin{eqnarray} (x+3)(2x+1)&=&2\\ 2x^2+x+6x+3&=&2\\ 2x^2+7x+3&=&2\quad/-2\\ 2x^2+7x+1&=&0 \end{eqnarray}$$

Dzielenie

Tak jak możemy pomnożyć równanie, możemy je również podzielić. Z takim samym ograniczeniem jak w przypadku mnożenia - nie możemy dzielić przez zero. W rzeczywistości możemy po prostu przekształcić dzielenie w mnożenie. Jeśli chcemy podzielić równanie przez wyrażenie w, będzie to to samo, co gdybyśmy pomnożyli równanie przez ułamek 1/w. Dzielenie jest często używane w przykładach takich jak ten:

$$12x=7$$

Jest to typ równania, z którym nie możemy wiele zrobić, możemy jedynie podzielić całe równanie przez dwanaście, aby uzyskać wartość x.

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/:12\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Otrzymalibyśmy ten sam wynik, gdybyśmy pomnożyli równanie przez 1/12:

$$\begin{eqnarray} 12x&=&7\quad/\cdot\frac{1}{12}\\ 12x\cdot\frac{1}{12}&=&7\cdot\frac{1}{12}\\ \frac{12x}{12}&=&\frac{7}{12}\\ x&=&\frac{7}{12} \end{eqnarray}$$

Potęgowanie

Możemy również używać potęg podczas modyfikowania równań, ale z pewnymi ograniczeniami. Najpierw odświeżmy naszą wiedzę na temat potęg. Czy ta równość jest prawdziwa?

$$\sqrt{x^2}=x$$

Jeśli pomnożysz liczbę do kwadratu, a następnie wykonasz pierwiastek kwadratowy, czy otrzymasz z powrotem oryginalną liczbę? To podchwytliwe pytanie, a odpowiedź nie zawsze jest jednoznaczna. Wyobraźmy sobie, że po x wstawiamy liczbę ujemną, na przykład minus trzy:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{(-3)^2}&=&-3\\ \sqrt{9}&=&-3\\ 3&\ne&-3 \end{eqnarray}$$

Jak widać, równanie nagle przestaje działać, ponieważ po podniesieniu do kwadratu liczby ujemnej otrzymujemy liczbę dodatnią. Ale jeśli odejmiemy liczbę dodatnią, otrzymamy ponownie liczbę dodatnią. Kiedy ta równość jest prawdziwa? W przypadku, gdy wiemy, że pracujemy tylko z liczbami dodatnimi lub nieujemnymi. Możemy więc pozwolić sobie na wzmocnienie równania, jeśli wiemy, że pracujemy z liczbami dodatnimi.

Na przykład w geometrii często obliczamy równania, które zawierają długości niektórych odcinków linii i w tym momencie możemy bezpiecznie mnożyć, ponieważ sama długość nie może być ujemna. Nawet przy mnożeniu lub odejmowaniu obowiązuje zasada, że musimy pomnożyć całe równanie. Przykład:

$$\sqrt{x+2}=x+4$$

Załóżmy, że jesteśmy tylko w liczbach dodatnich, więc możemy sobie pozwolić na pomnożenie całego równania do kwadratu:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x+2}&=&x+4\quad/^2\\ \left(\sqrt{x+2}\right)^2&=&(x+4)^2\\ x+2&=&x^2+8x+16\\ x^2+7x+14&=&0 \end{eqnarray}$$

Mamy równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać sposobami opisanymi w artykule.

Jak rozwiązać równanie, w którym musisz pomnożyć do kwadratu, ale nie masz pewności, że jesteś tylko w liczbach dodatnich? Po prostu mnożymy, a następnie wykonujemy test, ponieważ mnożąc możemy otrzymać wyniki, które nie są poprawnymi wynikami równania. Przykład:

$$\sqrt{x}=x-2$$

Pomnożymy teraz równanie do kwadratu:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\quad/^2\\ \left(\sqrt{x}\right)^2&=&(x-2)^2\\ x&=&x^2-4x+4\\ x^2-5x+4&=&0 \end{eqnarray}$$

Ponownie otrzymujemy równanie kwadratowe, więc rozwiązujemy je za pomocą odpowiedniej techniki, takiej jak dekompozycja (dokładną procedurę można znaleźć w podlinkowanym artykule):

$$(x-1)(x-4)=0$$

Widzimy, że jeden wynik to 1, a drugi to 4. Wiemy jednak, że dokonaliśmy nierównoważnego dopasowania, więc nadal musimy wykonać test. Podłączamy te rozwiązania do oryginalnego równania i sprawdzamy, który wynik jest prawidłowym wynikiem oryginalnego równania. Najpierw wstawiamy jeden:

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{1}&=&1-2\\ 1&\ne&-1 \end{eqnarray}$$

Po sprawdzeniu okazało się, że jedynka nie jest rozwiązaniem oryginalnego równania. A co z czwórką?

$$\begin{eqnarray} \sqrt{x}&=&x-2\\ \sqrt{4}&=&4-2\\ 2&=&2 \end{eqnarray}$$

Cztery jest rozwiązaniem oryginalnego równania, znaleźliśmy wynik.