Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest prawdopodobnie najbardziej znanym twierdzeniem matematycznym w historii. O Pitagorasie z Samo można przeczytać gdzie indziej. Przejdźmy teraz do trójkątów.

Możesz również obejrzeć ten artykuł w formie wideo na YouTube!

Zawartość kwadratu nad bokiem trójkąta

Twierdzenie Pitagorejczyka mówi nam o użytecznym związku między zawartością kwadratów, które konstruujemy przy użyciu boków trójkąta prostokątnego. Wyobraźmy sobie, że mamy trójkąt prostokątny:

Kwadratowa siatka w tle daje nam wymiary trójkąta. Długość gałęzi AC jest równa 4, a długość gałęzi BC jest równa 3. Ale jaka jest długość boku AB, długość przeciwprostokątnej trójkąta? Nie możemy sprawdzić tej długości na pierwszy rzut oka. Możemy jednak spróbować ją obliczyć.

Najpierw skonstruujemy kwadrat nad przeciwprostokątną BC. Rozumiemy przez to, że konstruujemy kwadrat, którego długość wszystkich krawędzi jest równa długości boku BC, czyli trzy. Narysowalibyśmy go na rysunku w następujący sposób:

Utworzyliśmy kwadrat BCDE, którego długość wszystkich krawędzi jest równa 3. Jaka jest zawartość takiego kwadratu? Zawartość kwadratu obliczamy mnożąc długości dwóch krawędzi kwadratu, tak aby zawartość kwadratu BCDE była równa 3 · 3 = 9. Narysuj na rysunku kwadrat nad drugą styczną, nad styczną AC. Ten kwadrat będzie miał krawędź o długości 4.

Ten kwadrat będzie miał zawartość 4 · 4 = 16. Teraz narysuj ostatni kwadrat, powyżej zwisu AB:

Nie wiemy jeszcze, jaka będzie zawartość tego nowego kwadratu, ponieważ nie znamy długości krawędzi AB. Ale teraz możemy zrobić dobry użytek z twierdzenia Pitagorasa. Mówi ono mianowicie, że zawartość ostatniego kwadratu ABHI jest równa sumie zawartości dwóch poprzednich kwadratów. Tak więc pierwsze dwa kwadraty miały zawartość 9 i 16, a ostatni kwadrat - zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa - ma zawartość 9 + 16 = 25. Narysujmy to na rysunku:

I teraz pozostaje odpowiedzieć na ostatnie pytanie - jeśli kwadrat ABHI ma zawartość 25, to jaka jest długość boków tego kwadratu? Musi to być pierwiastek kwadratowy z 25, więc długość boku AB jest równa $\sqrt{25}=5$. Jeśli sprawdzimy wstecz i obliczymy zawartość kwadratu o krawędzi długości 5, otrzymamy zawartość 5 · 5 = 25. Teraz możemy przejść do liczb i definicji.

Definicja

Twierdzenie Pitagorejczyka brzmi mniej więcej tak: "Zawartość kwadratu nad przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego jest równa sumie zawartości kwadratów nad jego gałęziami". Matematycznie, twierdzenie to jest zwykle zapisywane w następujący sposób

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

gdzie a i b to długości gałęzi trójkąta, a c to długość przeciwprostokątnej.

Co zatem mówi twierdzenie Pitagorasa i jak ten zapis ma się do poprzedniego rysunku? Zawartość kwadratu nad bokiem w trójkącie oznacza, że bierzemy kwadrat o długości boku równej długości danego boku i obliczamy jego zawartość. Zawartość kwadratu obliczamy mnożąc długość jednego boku przez długość drugiego boku, więc jeśli bok ma długość c, zawartość S będzie równa: S = c · c, co możemy zapisać jako S = c² używając potęg 1.

Zapis c² = a² + b² można więc odczytać jako "zawartość kwadratu o długości krawędzi c jest równa sumie zawartości kwadratów o długościach krawędzi a i b".

Jeszcze raz podkreślę, że twierdzenie to dotyczy tylko trójkątów prostokątnych, a nie trójkątów ogólnych. Twierdzenie Pitagorejczyka jest klasycznie używane, gdy znamy rozmiar dwóch boków i musimy obliczyć długość pozostałego boku. Tak więc, jeśli znamy długość dwóch gałęzi a i b i chcemy uzyskać długość przeciwprostokątnej c, to obliczamy zawartość wszystkich gałęzi, tj. obliczamy a² + b². Daje to zawartość kwadratu nad przeciwprostokątną c, czyli otrzymujemy c². Aby uzyskać długość boku c, po prostu odejmujemy obliczoną zawartość. Otrzymujemy wzór:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a a, b to długości boków. Z drugiej strony, gdybyśmy znali długość przeciwprostokątnej i jednej z gałęzi i chcieli obliczyć długość pozostałej gałęzi, obliczylibyśmy ją w ten sam sposób, ale najpierw wyodrębnilibyśmy jedną z gałęzi w danym równaniu. Jeśli więc znamy c i b i chcemy obliczyć a, to w równaniu Eq.

$$c^2 = a^2 + b^2,$$

izolujemy a² odejmując b²:

$$c^2 - b^2 = a^2,$$

zamieniając lewą i prawą stronę:

$$ a^2=c^2-b^2 $$

i na koniec odejmujemy:

$$ a=\sqrt{c^2-b^2} $$

Przykład pierwszy

Rozważmy trójkąt ABC, dla którego znamy długości dwóch boków: a = 3 i b = 4. Jest to ten sam trójkąt, który mieliśmy na początku. Pytanie brzmi: jaka jest długość pozostałego boku, boku c? Spróbujmy obliczyć ją za pomocą powyższego wzoru. Trójkąt jest pokazany na poniższym rysunku:

Widzimy, że znamy długości dwóch gałęzi i brakuje nam długości przeciwprostokątnej. Dlatego używamy pierwszego, niezmodyfikowanego wzoru:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Dodajemy długości boków po zmiennych a i b:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

We wzorze mamy wyrażenie kwadrat owe - dla przypomnienia, obowiązuje następująca zależność:

$$a^2=a\cdot a\quad\rightarrow\quad4^2=4\cdot4=16$$

Zatem po obliczeniu pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} c&=&\sqrt{3^2+4^2}\\ c&=&\sqrt{9+16}\\ c&=&\sqrt{25}\\ c&=&5 \end{eqnarray}$$

W rezultacie długość boku c jest równa pięć.

Drugi przykład

W tym przykładzie spróbujemy obliczyć długość jednej z gałęzi, jeśli znamy jedną gałąź i długość przeciwprostokątnej. Mamy więc trójkąt ABC o długościach boków |AB| = 10 i |BC| = 6. Trójkąt jest przedstawiony na poniższym rysunku:

Na rysunku widzimy, że przeciwprostokątna, najdłuższy bok, nie jest bokiem |AB|. Musimy obliczyć długość boku |AC|. Wprowadzamy drugi wzór, aby obliczyć długość gałęzi:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Aby poprawnie użyć twierdzenia Pitagorasa, musimy teraz zrozumieć, co oznacza każda zmienna. W tym wzorze zmienna a jest długością boku, który chcemy obliczyć, w tym przypadku boku |AC|. Zmienna c jest długością przeciwprostokątnej, najdłuższego boku, w tym przypadku boku |AB|. Zmienna b jest długością gałęzi, której długość znamy, w tym przypadku |BC|. Do wzoru podstawiamy zatem następujące wartości:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2-|BC|^2}$$

Dodajemy konkretne długości boków, które znamy:

$$|AC|=\sqrt{10^2-6^2}$$

Obliczamy potęgi i odejmujemy:

$$|AC|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

I na koniec odejmujemy:

$$|AC|=8$$

Długość boku |AC| jest równa osiem.

Problem słowny

Wyobraź sobie, że idziesz do domu kolegi prostą ścieżką. Ścieżka ma długość 250 metrów. Po przejściu ćwierć kilometra skręcasz w lewo, przechodzisz kolejne 100 metrów i jesteś w domu swojego przyjaciela. Pytanie brzmi: o ile krótsza będzie droga, jeśli pójdziesz prosto przez pole?

Na początek oblicz długość ścieżki, jeśli idziesz wzdłuż drogi. Najpierw idziesz 250 metrów prosto, a następnie 100 metrów w lewo. Łącznie 250 + 100 = 350 metrów. Teraz nadszedł czas, aby obliczyć długość ścieżki przez pole. W tym celu będziemy potrzebować obrazka.

Jeden element na obrazku reprezentuje 50 metrów. Jak wyglądałaby prosta ścieżka przez pole? Byłaby to linia biegnąca od punktu |A| do punktu |C|. Narysujmy ją na rysunku kolorem czerwonym.

Teraz widzimy, że wystarczy odpowiednio zastosować twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć długość ścieżki w poprzek pola. Szukamy długości przeciwprostokątnej i znamy długości dwóch gałęzi, więc używamy pierwszego wzoru i dodajemy do niego w następujący sposób:

$$|AC|=\sqrt{|AB|^2+|CB|^2}$$

Dodajemy długości:

$$|AC|=\sqrt{250^2+100^2}$$

Wzmacniamy:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

Odejmujemy i zaokrąglamy:

$$|AC|=269$$

Długość ścieżki przez pole wynosi 269 metrów. To nie koniec przykładu, pytanie brzmiało, o ile krótsza jest ścieżka przez pole. Odejmij więc długości od siebie i zaznacz różnicę r:

$$r=350-269=81$$

Odpowiedź brzmi: ścieżka jest krótsza o około 81 metrów.

Długość boku kwadratu

Jaka jest długość boku kwadratu, którego przekątna ma długość 10? W jaki sposób pomaga nam w tym twierdzenie Pitagorasa? Musimy znaleźć trójkąt prostokątny w kwadracie, aby użyć go do obliczenia długości boku kwadratu. Dla przypomnienia, kwadrat ma cztery równe długości boków. Narysujmy obecną sytuację:

Widzimy, że nagle w kwadracie pojawiły się dwa trójkąty prostokątne, które możemy wykorzystać do obliczenia długości boku. Rozważmy na przykład trójkąt BCD. Bok DB jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwa są przeciwprostokątnymi. Nie znamy długości wieszaków, ale znamy długość przeciwprostokątnej. Odgałęzienia mają tę samą długość, tj. |BC| = |CD|. Korzystamy z podstawowego twierdzenia Pitagorasa:

$$|BD|^2=|BC|^2+|CD|^2$$

Ale ponieważ odgałęzienia są równe, musimy tylko obliczyć kwadrat jednego odgałęzienia i pomnożyć go przez dwa - nie musimy obliczać kwadratu dwóch odgałęzień, ponieważ są one równe i otrzymalibyśmy ten sam wynik. Możemy więc napisać:

$$|BD|^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Znamy długość boku BD, który jest przeciwprostokątną. Długość ta jest równa dziesięć. Wstawiamy ją do równania:

$$10^2=2\left(|BC|^2\right)$$

Podzielmy przez dziesięć:

$$100=2\left(|BC|^2\right)$$

Dzielimy przez dwa:

$$\frac{100}{2}=|BC|^2$$

Obcinamy ułamek:

$$50=|BC|^2$$

Teraz jesteśmy prawie na miejscu. Wiemy, że kwadrat długości boku kwadratu jest równy 50. Aby znaleźć długość boku, nadal musimy podnieść równanie do kwadratu, na co możemy sobie pozwolić, ponieważ jesteśmy w liczbach dodatnich:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC|^2}$$

Pozostawiamy pierwiastek kwadratowy z pięćdziesięciu w tej postaci, ale możemy anulować pierwiastek kwadratowy i potęgę po prawej stronie równania, ponieważ wzajemnie się znoszą.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Jeśli chcesz, możesz pierwiastkować pięćdziesiątkę. W zaokrągleniu otrzymamy siedem:

$$7=|BC|$$

Zatem długość boku kwadratu wynosi w przybliżeniu siedem, czyli dokładnie pierwiastek kwadratowy z pięćdziesięciu.