✖

Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby, które nie mają części dziesiętnej, zawierają liczby naturalne, liczby odwrotne (ujemne) do nich i zero.

Właściwości

Latające liczby

Liczba całkowita to zbiór zawierający liczby ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Zbiór ten jest zwykle oznaczany literą Z, z podwójną środkową linią: ℤ, od niemieckiego "Zahlen" (liczby). Liczba całkowita jest nieskończonym i policzalnym zbiorem.

Na przykład, liczby całkowite mają następujące właściwości:

  1. Są zamknięte w operacjach dodawania i mnożenia, podobnie jak liczby naturalne. Oznacza to, że jeśli dodamy dwie liczby całkowite, otrzymamy ponownie liczbę całkowitą.
  2. W przeciwieństwie do liczb naturalnych, liczby całkowite są również zamknięte na operację odejmowania. Liczby naturalne nie były, ponieważ biorąc różnicę dwóch liczb naturalnych moglibyśmy otrzymać liczbę ujemną. Nie przeszkadza nam to w przypadku liczb całkowitych, ponieważ zawierają one liczby ujemne.
  3. Podobnie jak liczby naturalne nie są zamknięte na operację dzielenia. Wciąż możemy otrzymać jakąś liczbę niecałkowitą po dzieleniu.
  4. Dla każdej liczby całkowitej c istnieje jej odwrotność −c. Jeśli mamy liczbę całkowitą 10, to jej odwrotnością jest −10. Dla 55 jest to −55. Podobnie jest z liczbami ujemnymi: dla −13 odwrotnością jest 13. Jeśli mamy liczbę całkowitą c i jej odwrotność −c, to dodając je do siebie otrzymamy zero: c+(−c) = 0 Zatem pierwiastkiem odwrotnym do zera jest ponownie zero.

Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby całkowite możemy podzielić na parzyste i nieparzyste. Liczby parzyste to liczby podzielne przez dwa, np. 2, −4, −8, 40, 124, itd. Liczby nieparzyste mają resztę równą jeden przy dzieleniu przez dwa, np. −1, 1, 5, 19, −41, itd. Zauważ, że nawet dla liczb ujemnych rozróżniamy liczby parzyste i nieparzyste (tj. liczba −5 jest rzeczywiście nieparzysta), a zero jest liczbą parzystą.

Własności w odniesieniu do operacji dodawania: jeśli dodasz dwie liczby parzyste, otrzymasz ponownie liczbę parzystą. Dalsze własności przedstawiono w poniższej tabeli:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Nawet }+\mbox{ Nawet }&=&\mbox{ Nawet }\\ \mbox{ Nawet }+\mbox{ Nieparzyste }&=&\mbox{ Nieparzyste }\\ \mbox{ Nieparzyste }+\mbox{ Nieparzyste }&=&\mbox{ Nawet } \end{eqnarray}$$

Podobna tabela dla mnożenia:

$$\begin{eqnarray} \mbox{ Nawet }\cdot\mbox{ Nawet }&=&\mbox{ Nawet }\\ \mbox{ Nawet }\cdot\mbox{ Nieparzyste }&=&\mbox{ Nawet }\\ \mbox{ Nieparzyste }\cdot\mbox{ Nieparzyste }&=&\mbox{ Nieparzyste } \end{eqnarray}$$

Dzielenie z resztą

Nawet w zbiorze liczb całkowitych możemy zdefiniować dzielenie z resztą, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, ale musimy zająć się liczbami ujemnymi. Tym razem podstawowa definicja będzie wyglądać następująco:

$$a=q\cdot b+r,\qquad a,q\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}-\left\{0\right\}, 0\le r<|b|$$

W tym wyrażeniu dzielimy a:b, liczba q reprezentuje wynik (iloraz), a liczba r reprezentuje resztę po dzieleniu. Liczba b musi być różna od zera, nie możemy dzielić przez zero. Reszta musi być dodatnia i musi być mniejsza niż wartość bezwzględna b, co eliminuje przypadek, w którym dzielilibyśmy przez liczbę ujemną.

Jak zatem wyglądałoby takie dzielenie? Spróbujmy podzielić −21:4. Wtedy liczby wyglądałyby następująco:

$$-21=-6\cdot4+3$$

Wynik (iloraz) to −6, a reszta to 3. Zaskoczeniem może być fakt, że wynik jest inny niż gdybyśmy mieli wszystkie liczby dodatnie:

$$21=5\cdot4+1$$

Tutaj wynik (iloraz) wyniósłby 5, a reszta wyniosłaby 1. Różnica dotyczy tylko liczb ujemnych. W przypadku liczb dodatnich pierwszym krokiem jest znalezienie największej liczby całkowitej, która jest mniejsza niż 21 i podzielna przez cztery bez reszty. Jest to liczba 20. Dzielimy więc 20:4 = 5, aby otrzymać piątkę. Następnie otrzymujemy resztę, dzieląc 21 − 20.

W przypadku liczb ujemnych postępujemy podobnie. Szukamy największej liczby, która jest mniejsza niż −21 i podzielna przez 4 bez reszty. Ale liczba −20 nie jest mniejsza niż −21, jest większa. Dlatego największą liczbą, która jest mniejsza od −21 i jest podzielna przez 4 bez reszty, jest −24. Resztę otrzymamy ponownie dzieląc −21−(−24) = −21 + 24 = 3.

Powiązane artykuły

Linki