Kręgi

Okrąg jest krzywą, która zawsze znajduje się w tej samej odległości od danego punktu, środka okręgu. Okręgi są również klasyfikowane jako stożkowe.

Opis okręgu

Spójrz na rysunek okręgu:

Okrąg jest zwykle oznaczany małą literą k lub l.

• Każdy okrąg ma środek, oznaczany przez S.
• Wszystkie punkty okręgu znajdują się w tej samej odległości od środka S. Odległość ta nazywana jest promieniem okrę gu i oznaczana jest przez r. Na rysunku jest to odcinek linii AS.
• Linia łącząca dwa różne punkty na okręgu nazywana jest cięciwą. Na rysunku jest to odcinek FG.
• Cięciwa przechodząca przez środek okręgu S nazywana jest średnicą okrę gu i oznaczana jest przez d. Prawdą jest, że 2r = d.

Następnie omówimy wewnętrzny i zewnętrzny obszar okręgu. Obszar wewnętrzny to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest mniejsza niż promień okręgu. Obszar zewnętrzny to wszystkie punkty, których odległość od środka jest większa niż promień. Jeśli połączymy okrąg i obszar wewnętrzny okręgu, otrzymamy okrąg.

Obwód i zawartość

Jaki jest związek między średnicą okręgu a obwodem okręgu? Ile razy obwód okręgu jest większy od jego średnicy? Jeśli weźmiemy okrąg i spróbujemy zmierzyć jego średnicę, a następnie obwód, okaże się, że jest on w przybliżeniu trzy razy większy. Dokładniej 3,1415- razy, a jeszcze dokładniej π- razy.

Liczba π (czytaj pi) nazywana jest liczbą Ludolpha. Jest to liczba niewymierna, czyli liczba o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym bez kropki. Tak więc, jeśli masz średnicę okręgu ustaloną jako pewną liczbę całkowitą, nigdy nie znajdziesz jego obwodu dość dokładnie. W praktycznym życiu wystarczy jednak znać przybliżoną wartość.

Wzór na obwód koła wygląda następująco:

$$o=\pi d=2\pi r$$

Wzór na obwód okręgu:

$$S=\pi r^2$$

Względne położenie dwóch okręgów

• Okręgikoncentryczne mają wspólny środek S. Okręgi niecentryczne to okręgi, które nie mają wspólnego środka. Linia łącząca ich środki nazywana jest linią środkową.

• Okręgi k₁ leżą w zewnętrznym obszarze k₂, okręgi nie mają punktu wspólnego.

• Okręgi k₁ leżą w zewnętrznym obszarze k₂, ale stykają się w jednym punkcie.

• Okręgiprzecinają się w dwóch punktach.

• Okręgi k₁ leżą w wewnętrznym obszarze k₂ i stykają się w jednym punkcie.

• Okrąg k₁ leży w wewnętrznym obszarze k₂.

Łuki

Każda cięciwa, która ma skrajne punkty A i B, dzieli okrąg na dwie części zwane łukami. Każdy punkt na okręgu, z wyjątkiem punktów A i B, jest punktem wewnętrznym jednego z łuków. Łuk jest oznaczany na przykład przez AXB, gdzie X jest punktem wewnętrznym łuku.

Jeśli cięciwa jest również średnicą, dzieli ona okrąg na dwa przystające łuki, które nazywamy półokręgami lub półkolami. W przeciwnym razie okrąg jest zawsze podzielony na dwa łuki o różnych rozmiarach.

Kąt środkowy

Rozważmy okrąg k o środku w punkcie S i łuk AB. Kąt ASB nazywamy kątem środkowym nad łukiem AB. Nad mniejszym łukiem znajduje się wypukły kąt środkowy (kąt jest mniejszy niż $180^{\circ}$), a nad większym łukiem znajduje się kąt niewypukły (większy niż $180^{\circ}$).

Okrąg na rysunku ma dwa łuki oznaczone AB. Większy łuk ma kąt α, a mniejszy β.

Kąt na obwodzie

Rozważmy okrąg k o środku w punkcie S i łuk AB. Następnie wybieramy punkt V, który nie należy do tego łuku, ale znajduje się na okręgu. Wówczas kąt AVB nazywamy kątem obwodowym.

Na rysunku znajdują się dwa kąty obwodowe, AV₁B i AV₂B. Zauważ, że oba mają tę samą miarę - $60^{\circ}$ - i że jest ona o połowę mniejsza od miary kąta środkowego - $120^{\circ}$.