Factorial
Mnożnik liczby n jest równy iloczynowi wszystkich liczb naturalnych, które są mniejsze lub równe n. Mnożnik zapisuje się za pomocą wykrzyknika n!. Dla zera: 0! = 1 Mnożnik jest używany głównie w kombinatoryce, gdzie jest używany do obliczania, na przykład, permutacji. Na przykład, czynnik równy pięć byłby równy 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Definicja czynnika
Mnożnik można zdefiniować na różne sposoby. Najprostszym z nich jest prawdopodobnie ten:
$$ n! = \begin{cases} 1&\text{pokud n = 0}\\ n\cdot (n-1)!&\text{jinak} \end{cases} $$
Możemy również podać definicję przy użyciu iloczynu:
$$ n!=\prod_{k=1}^nk $$
Ewentualnie jeszcze z wykorzystaniem całki:
$$ (z-1)!=\Gamma (z):=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t,\qquad\Re (z)>0. $$
(Szczegóły na forum matematycznym).
Obliczanie za pomocą faktorów
Factori są często obliczane w ułamkach. Tutaj wykorzystujemy fakt, że n! = n · (n − 1)!. Jest to prawdą z definicji, pokażmy to na przykładzie. Wiemy, że iloraz czterech, 4!, jest równy iloczynowi tych liczb naturalnych: 4 · 3 · 2 · 1 W ten sposób możemy napisać, że iloczyn 3 · 2 · 1 jest równy iloczynowi trzech: 3 · 2 · 1 = 3!. Iloczyn czterech może być zapisany jako 4! = 4 · 3!.
$$ 4!=4\cdot\underbrace{3\cdot2\cdot1}_{=3!}=4\cdot3! $$
Pozwala nam to skutecznie obcinać wiele różnych czynników w ułamkach. Przykład - uproszczenie wyrażenia:
$$\frac{n!}{(n-2)!}$$
Upraszczamy przy użyciu wzoru, o którym wspomniałem przed chwilą. W liczniku możemy podzielić czynnik na n · (n − 1)! i nadal możemy (używając tego samego wzoru) podzielić to na n · (n − 1) · (n − 2)!. Teraz możemy ładnie skrócić ułamek:
$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\fbox{(n-2)!}}{\fbox{(n-2)!}}=n(n-1)$$
Kolejny przykład:
$$\begin{eqnarray} \frac{n!\cdot(n+1)!}{(n-1)!\cdot(n+2)!}&=&\frac{n\cdot\fbox{(n-1)!}\cdot(n+1)!}{\fbox{(n-1)!}\cdot(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot(n+1)!}{(n+2)!}\\ &=&\frac{n\cdot\fbox{(n+1)!}}{(n+2)\cdot\fbox{(n+1)!}}\\ &=&\frac{n}{n+2} \end{eqnarray}$$
I ostatni przykład dla czynnika:
$$\begin{eqnarray} \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} &=& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ &=&\frac{(2n+2)(2n+1)\fbox{(2n)!}}{\fbox{(2n)!}}\\ &=&(2n+2)(2n+1) \end{eqnarray}$$