Składanie funkcji

Jedna funkcja nie zrobi zbyt wiele. Dlatego funkcje mogą być złożone.

Motywacja

Weźmy dwie funkcje. Na przykład funkcję, która oblicza liczbę przejechanych kilometrów na litr benzyny. Załóżmy, że nasz samochód przejeżdża 10 kilometrów na jednym litrze benzyny. Nazwiemy tę funkcję f i zdefiniujemy ją jako f(x) = 10x, gdzie parametr x oznacza, ile litrów benzyny posiadamy. Jeśli więc mamy sześć litrów benzyny w baku, samochód nadal przejedzie f(6) = 10 · 6 = 60 kilometrów.

Druga funkcja może obliczyć, ile litrów benzyny możemy kupić za daną liczbę koron. Załóżmy, że litr benzyny kosztuje 30 koron. Wtedy funkcja, nazwijmy ją g, wyglądałaby następująco: g(x) = x / 30, gdzie x wskazuje, za ile koron chcemy kupić benzynę. Jeśli mamy 150 koron, kupimy g(150) = 150 / 30 = 5 litrów benzyny.

Teraz możemy zapytać, ile kilometrów więcej przejedziemy, jeśli kupimy benzynę za 750 koron?

Mamy już funkcje, które zawsze obliczają częściową wartość - liczbę przejechanych kilometrów w stosunku do litrów i liczbę litrów zakupionej benzyny w stosunku do pieniędzy. Teraz musimy dodać obie funkcje do siebie.

Jak to rozwiązać

Możemy to rozwiązać, obliczając najpierw, ile litrów benzyny kupimy, a następnie ile kilometrów przejedziemy. Spróbujmy tak. Za 750 koron kupilibyśmy g(750) = 750 / 30 = 25 litrów benzyny. A na 25 litrach benzyny przejechalibyśmy f(25) = 10 · 25 = 250 kilometrów.

Ale możemy to rozwiązać w inny sposób, stosując funkcje. Możemy zdefiniować nową funkcję h, która przyjmie liczbę pieniędzy jako dane wejściowe i zwróci liczbę przejechanych kilometrów jako dane wyjściowe. Zdefiniujemy funkcję h używając funkcji f i g w następujący sposób:

$$ h(x) = f(g(x)) $$

Funkcja h zdefiniowana w ten sposób faktycznie robi to, co obliczyliśmy w pierwszym akapicie. Mówi nam, że gdy otrzymamy wartość x, liczbę pieniędzy, powinniśmy najpierw obliczyć wartość g(x), która jest liczbą litrów, które kupują pieniądze. Tę wynikową wartość g(x), czyli w naszym przypadku g(750) = 25, musimy umieścić w funkcji f, więc nadal obliczamy f(25) = 250.

Możemy również uzyskać bezpośredni zapis funkcji h. Bierzemy funkcję f i zastępujemy wszystkie wystąpienia parametru x funkcją g. Funkcja f wygląda następująco: f(x) = 10x i zastępujemy funkcję x / 30 parametrem x. W ten sposób otrzymujemy funkcję h:

$$ h(x) = 10\cdot\left(\frac{x}{30}\right) $$

Edit/Reduce:

$$ h(x) = \frac{x}{3} $$

Złożyliśmy teraz funkcje f i g w wynikową nową funkcję h, która oblicza, ile kilometrów przejedziemy za benzynę o wartości x koron. Możemy to sprawdzić, wprowadzając do funkcji stare dobre 750 koron:

$$ h(750) = \frac{750}{3} = 250. $$

Wynik zgadza się z naszymi poprzednimi obliczeniami.

Składanie bardziej złożonych funkcji

Zdefiniujmy funkcje f i g w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} f(x) &=& \sin(x) \cdot x^2 - 4\\ g(x) &=& \frac{x+1}{x-1} + 5 \end{eqnarray}$$

Spróbujmy teraz złożyć te funkcje w następujący sposób: f(g(x)) Bierzemy więc funkcję f i w miejsce wszystkich wystąpień parametru x wstawiamy, najlepiej w nawiasie, funkcję g:

$$ f(g(x)) = \sin\left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right) \cdot \left(\frac{x+1}{x-1} + 5\right)^2 - 4 $$

Gdybyśmy mieli złożyć funkcje w odwrotnej kolejności, otrzymalibyśmy:

$$ g(f(x))=\frac{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)+1}{(\sin(x) \cdot x^2 - 4)-1} + 5 $$

Symbol koła służy do składania funkcji: $f \circ g$ Problem polega na tym, że czasami ta notacja wskazuje na składanie w kierunku f(g(x)), a czasami w kierunku g(f(x)). Symbolika jest w tym przypadku nieco niejednoznaczna, więc zawsze należy sprawdzić, o co chodzi.