Przykłady wprowadzające do pochodnych

W tym artykule najpierw pokażemy kilka przydatnych formuł do pracy z pochodnymi, a następnie spróbujemy rozwiązać pochodne niektórych funkcji - zarówno prostych, jak i złożonych. Jeśli nie szukasz rozwiązanych przykładów, ale potrzebujesz wyjaśnienia definicji pochodnej, przejdź do artykułu Pochodne funkcji.

Pochodne wielomianów

Najpierw wspomnimy o kilku wzorach, których będziemy potrzebować podczas rozwiązywania pochodnej funkcji w postaci wielomianu. Po lewej stronie znajduje się funkcja elementarna, którą chcemy pochodną, a po prawej funkcja wynikowa po pochodnej. Dla przypomnienia, c jest stałą (więc pierwszy wiersz jest funkcją stałą), a pochodną wyprowadzamy z x.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&c\cdot x^{c-1} \end{eqnarray}$$

Kilka konkretnych przykładów:

$$f(x)=5$$

Jest to funkcja stała, więc stosujemy pierwszy wzór i otrzymujemy:

$$f^\prime(x)=0.$$

Funkcja liniowa f(x) = x ma pochodną zgodnie z drugim wzorem.

$$f^\prime(x)=1,$$

Nie ma nic więcej do zbadania. Spróbujmy więc wyprowadzić funkcję

$$f(x)=x^5.$$

Stosujemy ostatni wzór, gdzie po c wstawiamy wykładnik, czyli c = 5.

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Wzór zadziała również dla wykładnika ujemnego, więc jeśli chcemy zderywatyzować funkcję

$$f(x)=x^{-7},$$

otrzymamy:

$$f^\prime(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Do dalszych zabaw będziemy potrzebować wzorów na dodawanie i mnożenie funkcji. A gdybyśmy chcieli uzyskać oryginalną funkcję z funkcji zderivative, użylibyśmy całek.

Użyjemy całek, aby otrzymać pochodną dodawania.

Jeśli chcemy obliczyć pochodne funkcji, która zawiera kilka członów w sumie, po prostu obliczamy pochodne członów wewnętrznych i dodajemy wyniki pośrednie. Zapisujemy to w następujący sposób:

$$(f_1(x)+f_2(x))^\prime=f_1^\prime(x)+f_2^\prime(x)$$

Dla prostego przykładu, rozważmy funkcję f(x) = x + 5. Pochodną tej funkcji będzie:

$$f^\prime(x)=x^\prime+5^\prime=1+0=1.$$

Rozłożyliśmy funkcję na dwie funkcje w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} f_1(x)&=&x\\ f_2(x)&=&5 \end{eqnarray}$$

i po prostu podstawiliśmy do wzoru. Oznacza to, że obliczyliśmy pochodne funkcji f₁ i f₂ i dodaliśmy wyniki. Działa to identycznie w przypadku odejmowania. Bardziej skomplikowany przykład:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Ponownie, po prostu wyprowadzamy trzy wyrażenia i pozostawiamy je w sumie:

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime+x^\prime-8^\prime=3x^2+1+0$$

Wyprowadzenie iloczynu

Niestety iloczyn nie jest już tak łatwy do rozwiązania jak zwykłe dodawanie, musimy użyć nieco skomplikowanego wzoru na iloczyn dwóch funkcji:

$$(f(x)\cdot g(x))^\prime=f^\prime(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^\prime (x)$$

Trywialną funkcją wymagającą mnożenia jest np. funkcja

$$s(x)=5\cdot x^2$$

We wzorze na mnożenie mamy dwie funkcje, które otrzymujemy z tej jednej funkcji s(x) w następujący sposób: f(x) = 5 i g(x) = x². Teraz po prostu lekko je dodajemy:

$$s^\prime(x)=5^\prime\cdot x^2+5\cdot (x^2)^\prime=0\cdot x^2+5\cdot2x=10x$$

Widzimy, że jeśli mamy funkcję postaci

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

to po zwinięciu otrzymamy

$$(a\cdot x^c)^\prime=a\cdot (x^c)^\prime=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Możemy uogólnić tę regułę dalej i podstawić dowolną funkcję zamiast wielomianu. Dla dowolnej funkcji f(x)

$$(a\cdot f(x))^\prime=a\cdot f^\prime(x).$$

Dla przykładu spróbujmy wyprowadzić tę funkcję:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

Na początku wyprowadzania najpierw stosujemy regułę sumy:

$$f^\prime(x)=(5x^3)^\prime-(7x^2)^\prime+10^\prime=$$

Rozkładamy wyrazy w iloczynie zgodnie z ostatnim wspomnianym wzorem:

$$=5(x^3)^\prime-7(x^2)^\prime+10^\prime=$$

Wyprowadzamy wyrażenia w nawiasach zgodnie z regułą wyprowadzania x^c.

$$=5\cdot3x^2-7\cdot2x+0=$$

Na koniec mnożymy współczynniki:

$$=15x^2-14x.$$

Pochodna ilorazu

Wyprowadzenie ilorazu jest ponownie nieco bardziej skomplikowane niż wyprowadzenie iloczynu. Wzór:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^\prime=\frac{f^\prime(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g^\prime(x)}{g^2(x)}$$

Ale poza tym procedura jest analogiczna do tej dla iloczynu. A teraz przykład:

$$\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)^\prime=$$

Licznik ułamka reprezentuje funkcję f(x), mianownik funkcję g(x). A teraz po prostu podłączamy to do wzoru:

$$=\frac{(x^2+3x+1)^\prime(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1)^\prime}{(2x-1)^2}=$$

W mianowniku mamy mianownik podniesiony do kwadratu, a w liczniku mamy ułamek podzielony zgodnie ze wzorem. Teraz połączymy pierwszy i ostatni nawias. Znów mamy tu regułę sumy, pominę ją i od razu wypiszę wynik:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1)^2}=\ldots$$

Możemy jeszcze jakoś uprościć to wyrażenie, ale nie jest to ważne w tym rozdziale.

Wyprowadzanie funkcji elementarnych

Podamy teraz, bez dalszego wyprowadzania, kilka wzorów na obliczanie pochodnych zwykłych funkcji.

Potęgi i logarytmy:

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_ax)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln a};\quad a>0\wedge a\ne1\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Zwróćmy uwagę, że pochodna funkcji e^x to ponownie e^x, a nie literówka, ale miła cecha, która stała się podstawą wielu, wielu dowcipów.

Funkcje goniometryczne:

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan} x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x} \end{eqnarray}$$

Pewien prosty przykład:

$$(3\sin x + 2\ln x)^\prime=$$

Dwa wyrażenia są sumą, więc wystarczy dodać ich pochodne. Każde wyrażenie zawiera stałą na początku, która mnoży funkcję po nim - wiemy, że w tym momencie musimy tylko wyprowadzić funkcję i nie zmieniać stałej. Robimy tak:

$$=3(\sin x)^\prime+2(\ln x)^\prime=$$

Są to już wartości tablicowe:

$$=3\cos x+2\frac1x=3\cos x+\frac2x.$$

Pochodna funkcji złożonej

Z właściwości pochodnej i jej zastosowania do badania postępu funkcji wiemy, że w pewnych warunkach możemy mieć dwie pochodne funkcji, a składając je ponownie, otrzymamy funkcję, która jest pochodną. Pokażemy, jak obliczyć pochodne takiej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji złożonej jest prawdopodobnie najtrudniejszym pojęciem z tych podstawowych pochodnych. Możemy komponować funkcje jako takie. Więcej o tym, czym jest funkcja złożona, można przeczytać w artykułach Co to jest funkcja lub Dziedzina definicyjna funkcji. Z grubsza oznacza to, że przekazujemy inną funkcję jako argument do jednej funkcji. Zapis symboliczny wyglądałby następująco h(g(x)). Konkretną funkcją może być na przykład

$$f(x)=\sin(2x).$$

Jakie są dwie funkcje? Sinus, a następnie funkcja zagnieżdżona 2x. Nie możemy po prostu przeszczepić ogólnego wzoru sin(x) na tę funkcję f, ponieważ liczy ona na uzyskanie x, a nie 2x, w argumencie. Zatem obliczenie pochodnej funkcji złożonej przebiega w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Czyli derywatyzujemy funkcję zewnętrzną i pozwalamy jej przyjąć ten sam argument, a następnie mnożymy ją przez pochodną funkcji wewnętrznej. W przypadku przykładu z sinusem, prawda byłaby następująca:

$$(\sin(2x))^\prime=\sin^\prime(2x)\cdot(2x)^\prime=$$

Przecinek tylko po sinusie oznacza, że wyprowadzamy tylko sam sinus, a nie całe wyrażenie, jak w wyrażeniu po lewej stronie równania. Pochodną sinusa jest cosinus, więc zamiast sinusa piszemy po prostu cosinus. Pochodną 2x jest 2:

$$=\cos(2x)\cdot2=2\cos(2x).$$

Kolejny przykład, nieco bardziej skomplikowany.

$$(\cos(\ln x^2))^\prime=$$

Mamy tu jeszcze jedną funkcję zagnieżdżoną. Zewnętrzna funkcja to cosinus, środkowa to logarytm, a najbardziej wewnętrzna to potęga x². Ale znowu postępujemy zgodnie ze wzorem. Rozbijmy to:

$$=\cos^\prime(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Wyprowadzamy tylko cosinus, argument cosinusa zostawiamy tak jak jest, czyli zostawiamy cały logarytm. Następnie mnożymy całe wyrażenie przez pochodną argumentu, czyli pochodną logarytmu. Wyprowadzamy cosinus i mamy:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot(\ln x^2)^\prime=$$

Wyrażenie po prawej stronie nie zmieniło się, tylko pochodna cosinusa. Teraz wykonajmy pochodną logarytmu. Ponownie, jest to funkcja złożona, więc rekurencyjnie zastosujemy wzór do funkcji złożonej. Skopiujemy tylko lewe wyrażenie:

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\ln^\prime x^2\cdot(x^2)^\prime=$$

Wyprowadzamy logarytm i pozostawiamy argument bez zmian, tj. x². Ale nadal mnożymy całe wyrażenie przez pochodną argumentu, tj. pochodną tylko x². Pochodną logarytmu jest ułamek 1/x, gdzie zastępujemy nasz argument x² przez x, a pochodną x² jest 2x.

$$=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{1}{x^2}2x=-\sin(\ln x^2)\cdot\frac{2}{x}=-\frac{2\sin(\ln x^2)}{x}.$$