Ciągłość funkcji

Ciągłość funkcji, jak mówi nam intuicja, mówi nam, czy funkcja jest ciągła w danym punkcie, czy też jest w jakiś sposób rozłączna. Ciągłość definiujemy i obliczamy za pomocą funkcji granicznych, jeśli ich nie znasz, to się nie połapią.

Definicja ciągłości funkcji

Ciągłość jest zaskakująco prosta do zdefiniowania i łatwa do zrozumienia, jeśli w pełni rozumiesz granice. A więc definicja ciągłości funkcji:

Funkcję f(x) nazywamy ciągłą w punkcie a dziedziny definicji funkcji f, jeśli:

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a) $$

Nadal możemy zdefiniować ciągłość lewostronną i prawostronną, jeśli po limicie podstawimy lewostronny lub prawostronny. Zauważmy:

• Do tej pory zdefiniowaliśmy tylko definicję ciągłości funkcji f w punkcie. Jeśli funkcja f jest ciągła we wszystkich punktach swojej dziedziny definicyjnej, to możemy powiedzieć, że funkcja f jest ciągła w całej dziedzinie definicyjnej.
• Punkt a w definicji ciągłości musi być punktem masy.
• Aby funkcja była ciągła w punkcie a, f(a) musi istnieć (wartość a musi pochodzić z dziedziny definicyjnej funkcji), granica $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ musi istnieć i obie muszą być równe tej samej wartości.
• Funkcja ciągła w punkcie jest ciągła od lewej i prawej strony w tym punkcie. Funkcja, podobnie jak w przypadku granic, może być ciągła tylko w punkcie z lewej lub z prawej strony. Jeśli granica jest różna po lewej i prawej stronie, funkcja nie jest ciągła w tym punkcie.

Co mówi nam ta definicja? Po pierwsze, musi być prawdą, że funkcja jest określona w danym punkcie. Jeśli funkcja funke nie jest określona w danym punkcie, to z pewnością nie jest ciągła w tym punkcie. Jeśli jest zdefiniowana, patrzymy na granice. Jeśli funkcja zbliża się do wartości funkcji w danym punkcie z prawej i z lewej strony, to funkcja jest ciągła w tym punkcie. Jeśli granice różnią się od wartości funkcji, funkcja jest nieciągła w tym punkcie.

Prosty przykład: w artykule o granicy funkcji pokazano nam funkcję $f(x)=\frac{x}{3}$, która jest prostą funkcją liniową. Dla dowolnego punktu a∈ ℝ jest prawdą, że

$$ \lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a). $$

Zatem funkcja f jest ciągła w całej swojej zdefiniowanej dziedzinie. Na przykład, gdybyśmy umieścili liczbę 6 po a, to mielibyśmy:

\begin{eqnarray} f(6) &=& 2\lim_{x\rightarrow 6} \frac{x}{3} &=& 2\end{eqnarray}

Punkty nieciągłości

Jeśli funkcja nie jest ciągła w punkcie a, oznacza to, że jest nieciągła w tym punkcie. Nie jest to wielką niespodzianką. Istnieje jednak kilka rodzajów punktów nieciągłości, w zależności od tego, jak bardzo musielibyśmy "zmodyfikować wykres funkcji", aby funkcja była ciągła.

Mamy trzy podstawowe rodzaje nieciągłości:

Punkt nieciągłości usuwalnej

Punktem nieciągłości usuwalnej nazywamy punkt, dla którego istnieją obie granice jednostronne, granice te są równe, tzn. funkcja ma granicę w tym punkcie, ale granica ta jest różna od wartości funkcji lub funkcja nie jest określona w tym punkcie. Jeśli a jest punktem usuwalnej nieciągłości funkcji f(x), to:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x\rightarrow a^-} f(x), \quad \mbox{ Ale }\quad \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne f(a) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Jako przykład pokazujemy funkcję wartości bezwzględnej z signum x. Chcemy wiedzieć, czy funkcja jest ciągła w punkcie a = 0. Wykres jest następujący:

Widzimy, że funkcja jest prawie całkowicie ciągła, tylko w punkcie zero jest przerwa, ponieważ wartość funkcji w tym miejscu wynosi zero, a nie jeden. Jednak granice po lewej i prawej stronie są równe jeden w tym punkcie. Ta nieciągłość jest nazywana usuwalną, ponieważ po prostu redefiniując ten pojedynczy punkt otrzymujemy funkcję ciągłą. Ten punkt nieciągłości można zatem łatwo usunąć.

Punkt nieciągłości pierwszego rodzaju

Punktem nieciągłości pierwszego rodzaju nazywamy punkt a, w którym istnieją obie granice jednostronne, są one również właściwe (skończone), ale nie są równe. Definicja:

$$ \lim_{x\rightarrow a^+} f(x) \ne \lim_{x\rightarrow a^-} f(x) $$

Zilustrujemy ten punkt nieciągłości za pomocą prostej funkcji f(x) = sgn(x):

Ponownie widzimy, że w punkcie a = 0 funkcja jest nieciągła. W ten sposób granica po lewej stronie jest równa −1, a granica po prawej stronie jest równa 1:

\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-} \mbox{sgn}(x) &=& -1 \lim_{x\rightarrow0^+} \mbox{sgn}(x) &=& 1 \end{eqnarray}

Granice po lewej i prawej stronie nie są równe, ale są właściwe (skończone). Jest to zatem punkt nieciągłości pierwszego rodzaju.

Dla tego punktu nieciągłości definiujemy również pojęcie skoku funkcji w tym punkcie. Jest to różnica tych granic, więc skok s funkcji f w punkcie a jest wartością:

$$ s = \lim_{x\rightarrow0^+} f(x) - \lim_{x\rightarrow0^-} f(x) $$

Punkt nieciągłości drugiego rodzaju

Punktem nieciągłości drugiego rodzaju nazywamy punkt, który ma co najmniej jedną niewłaściwą (nieskończoną) jednostronną granicę lub jeśli co najmniej jedna granica nie istnieje. Dla przykładu pokażemy funkcję $f(x)=\frac{1}{x}$. Punkt nieciągłości znajduje się w punkcie zero:

Granica po lewej stronie w punkcie zero to minus nieskończoność, a granica po prawej stronie w punkcie zero to plus nieskończoność. Obie granice są niezastrzeżone, więc jest to punkt nieciągłości drugiego rodzaju. Tej nieciągłości nie można usunąć w żaden prosty sposób.

Ciągłość na przedziale

Mamy już zdefiniowaną ciągłość w punkcie, ale nie mamy zdefiniowanej ciągłości na przedziale. Zatem: funkcja jest ciągła na przedziale I, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Ważne jest, aby starannie rozróżniać między przedziałem otwartym i zamkniętym. Jeśli mamy przedział otwarty po obu stronach, funkcja nie musi być ciągła w punktach ekstremalnych - zgodnie z zasadą, że przedział otwarty nie musi mieć żadnego punktu ekstremalnego. Jeśli jednak mamy przedział zamknięty, funkcja musi być ciągła w tych skrajnych punktach po lewej lub prawej stronie.

Przez długi czas nie mieliśmy nigdzie funkcji signum. Miejmy więc funkcję signum. Na otwartym przedziale (0, ∞) funkcja jest ciągła. Funkcja signum ma punkt nieciągłości w zerze, ale otwartość przedziału sprawia, że zero jest zwolnione z testowania. Na przedziale <0, ∞) funkcja nie jest już ciągła, ponieważ nie jest prawostronnie ciągła w punkcie 0.

A dlaczego nie jest prawostronnie ciągła? Ponieważ granica z prawej strony jest równa jeden, ale wartość funkcji jest równa zero. Wartości nie są równe, więc funkcja nie jest ciągła w tym punkcie z prawej strony.

Funkcję nazywamy fragmentarycznie ciągłą, jeśli zawiera skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju (lub usuwalną nieciągłość). Tak więc, jeśli zawiera nieskończenie wiele punktów nieciągłości, nie jest ciągła kawałkowo; należy na to uważać.

W praktyce ciągłość funkcji określamy za pomocą jej pochodnej. Funkcja, która jest pochodną w danym punkcie, jest również ciągła w tym punkcie.