Wzory do pracy z pochodnymi

Kilka przydatnych wzorów do obliczania pochodnych funkcji.

Podstawowe wzory

Podstawowe wzory, których będziesz używał w prawie każdym obliczeniu pochodnej funkcji. Pierwsza kolumna to oryginalna funkcja, druga kolumna to pochodna funkcji. Zakładamy, że wyprowadzamy pochodną przez x i że c jest stałą.

$$\begin{eqnarray} c^\prime&=&0\\ x^\prime&=&1\\ (x^c)^\prime&=&cx^{c-1} \end{eqnarray}$$

Dodawanie, mnożenie i dzielenie

Przyjmijmy, że f(x) i f oraz g(x) i g są odpowiednio pewnymi funkcjami. Następnie możemy napisać:

$$\begin{eqnarray} (f+g)^\prime&=&f^\prime+g^\prime\\ (c\cdot f)^\prime&=&c\cdot f^\prime\\ (f\cdot g)^\prime&=&f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime\\ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime&=&\frac{f^\prime\cdot g-f\cdot g^\prime}{g^2}\\ \end{eqnarray}$$

W szczególności wtedy mamy pochodną funkcji złożonej:

$$\begin{eqnarray} (f(g(x)))^\prime&=&f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Logarytmy i funkcje wykładnicze

$$\begin{eqnarray} (c^x)^\prime&=&c^x\ln c;\quad c>0\\ (e^x)^\prime&=&e^x\\ (\log_cx)^\prime&=&\frac{1}{x\cdot \ln c};\quad c>0\wedge c\ne0\\ (\ln x)^\prime&=&\frac{1}{x} \end{eqnarray}$$

Funkcje goniometryczne

$$\begin{eqnarray} (\sin x)^\prime&=&\cos x\\ (\cos x)^\prime&=&-\sin x\\ (\tan x)^\prime&=&\frac{1}{\cos^2x}\\ (\mbox{cotan},x)^\prime&=&-\frac{1}{\sin^2x}\\ (\arcsin x)^\prime&=&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arccos x)^\prime&=&-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)^\prime&=&\frac{1}{1+x^2}\\ (\mbox{arccotan}, x)^\prime&=&-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{eqnarray}$$