Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków

Możemy użyć ułamka do zapisania dowolnej liczby wymiernej. Ułamek składa się z dwóch części. Górna część nazywana jest licznikiem, a dolna mianownikiem. Istnieje również ułamek złożony, który jest niczym innym jak ułamkiem, który ma inny ułamek w liczniku lub mianowniku. Nawiasem mówiąc, wszystkie znaki między ułamkami (plus, minus, równa się itp.) są zapisywane na poziomie linii ułamkowej, a nie na poziomie licznika lub mianownika. A tak w ogóle, czy wiesz, że pięć na cztery osoby ma problemy z ułamkami?

Podstawowe informacje

Ułamek ma następującą postać:

$$\frac{\mbox{ Czytelnik }}{\mbox{ Mianownik }}$$

Przykładem ułamka może być ułamek

$$\frac25,$$

który wynosi dwie piąte. Mianownik jest nazywany mianownikiem, ponieważ nazywa ułamek. Piąta, trzecia, szósta... jest to główna nazwa ułamka i pochodzi od liczby znajdującej się poniżej linii ułamka. Licznik, z drugiej strony, określa liczbę, w poprzednim przykładzie były to dwie piąte. To tyle, jeśli chodzi o nazwy.

Zasadniczo licznik i mianownik mogą być dowolną liczbą lub, ponownie, ułamkiem, ale najczęściej spotykamy się z ułamkiem, w którym zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami naturalnymi.

Ułamek to po prostu dzielenie zapisane w inny sposób; obliczamy wartość ułamka, dzieląc licznik przez mianownik. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli mamy ułamek $\frac{a}{b}$, to wartością ułamka jest liczba a/b. Poprzedni ułamek (dwie piąte) miałby wtedy wartość 2/5, czyli 0,4.

Konwersja do postaci podstawowej

Możemy pracować z ułamkami na różne sposoby, aby zmienić ich kształt - rozszerzając je i kurcząc - bez zmiany wartości ułamka. Łatwo jest również myśleć o tym słowami, na przykład jedna połowa ma taką samą wartość jak dwie czwarte lub cztery ósme. Wynika z tego, że ułamek to po prostu dzielenie w przebraniu. Do liczby pół możemy dojść dzieląc kilka różnych liczb. Tak więc cztery podzielone przez osiem to jedna połowa. Dziesięć podzielone przez dwadzieścia to również jedna połowa. Dlatego ułamki

$$\frac12=\frac24=\frac36=\frac48=\ldots=\frac{10}{20}=\ldots$$

mają tę samą wartość.

Jak widać, inne ułamki o tej samej wartości uzyskaliśmy, mnożąc zarówno licznik, jak i mianownik pierwotnego ułamka 1/2 przez dwa. Po pomnożeniu ułamek otrzymał wartość 2/4, czyli dwie czwarte. Jeśli pomnożymy licznik i mianownik przez dwa również dla tego ułamka, otrzymamy ułamek 4/8, cztery ósme. W tym momencie rozszerzyliśmy ułamek.

Operacją odwrotną do rozszerzania jest skracanie ułamków, w którym dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Jeśli chcemy skrócić ułamek, musimy znaleźć liczbę, przez którą zarówno licznik, jak i mianownik są podzielne bez reszty. Skracanie ułamków jest bardzo często stosowane w praktyce, ponieważ sprawia, że ułamek staje się prostszy i łatwiejszy w użyciu. Jeśli mamy ułamek 12/18, pobieżne spojrzenie pokazuje, że obie liczby są parzyste, a więc podzielne przez dwa. Oczywiście moglibyśmy skrócić ułamek przez dwa, ale drugi rzut oka ujawnia, że licznik i mianownik są również podzielne przez sześć. Jeśli obetniemy ułamek przez sześć, otrzymamy prostszy ułamek niż w przypadku obcinania tylko przez dwa. W związku z tym obetniemy ułamek przez sześć. Wynikiem jest ułamek 2/3.

Tego ułamka nie można dalej skracać; nie ma liczby, przez którą możemy podzielić zarówno licznik, jak i mianownik bez reszty. Ułamek, który nie może być dalej skracany, nazywany jest ułamkiem podstawowym. Zawsze staraj się pracować z ułamkami w postaci podstawowej; jeśli zamierzasz gdzieś pracować z ułamkami, najpierw sprawdź, czy niektóre ułamki można skrócić. Pozwoli to zaoszczędzić czas. Jeszcze jeden przykład:

$$\frac{24}{42}$$

Jaka liczba jest podzielna jednocześnie przez 24 i 42? Obie są liczbami parzystymi, więc zdecydowanie dwie. Podziel licznik i mianownik przez dwa:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Czy istnieje liczba, która dzieli obie liczby jednocześnie? Tak, tym razem trzy.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Czy nadal istnieje liczba, która dzieli zarówno licznik, jak i mianownik? Nie, ułamek ma postać podstawową.

Mnożenie ułamków

Możesz być zaskoczony, ale mnożenie i dzielenie są łatwiejsze w przypadku ułamków niż dodawanie i odejmowanie. Jeśli trzeba pomnożyć dwa ułamki, wystarczy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik przez mianownik. To wszystko. Przykład mnożenia ułamków:

$$\frac23\cdot\frac57=\frac{2\cdot5}{3\cdot7}=\frac{10}{21}$$

Podczas mnożenia ułamków istnieje dodatkowy sposób obcinania ułamków. Nie musisz mnożyć tylko w obrębie ułamka, ale możesz mnożyć krzyżowo. Jeśli możesz skrócić licznik pierwszego ułamka z mianownikiem drugiego ułamka, możesz to zrobić i uprościć mnożenie. Przykład (obcięte liczby są podświetlone):

$$\frac{\fbox{4}}{5}\cdot\frac{3}{\fbox{8}}=\frac15\cdot\frac32=\frac{3}{10}$$

Co zrobiliśmy? Podzieliliśmy zarówno cztery, jak i osiem przez cztery. Wartość iloczynu pozostała niezmieniona. Gdybyśmy nie obcięli go teraz, moglibyśmy go obciąć po pomnożeniu.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą można przekształcić w mnożenie dwóch ułamków, zapisując liczbę całkowitą c jako c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot5=\frac37\cdot\frac51=\frac{3\cdot5}{7\cdot1}=\frac{15}{7}$$

Jak widać, jeśli mnożymy ułamek przez liczbę całkowitą, wystarczy pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę.

$$c\cdot\frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Dzielenie ułamków

Dzielenie ułamków jest praktycznie takie samo jak mnożenie. Jeśli chcesz podzielić jeden ułamek przez drugi, odwracasz jeden z ułamków i mnożysz ułamki normalnie. Prosty przykład dzielenia ułamków (zauważ, że po odwróceniu ułamka możemy pomnożyć 12 i 6):

$$\frac{12}{7},:,\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot\frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot\frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Zamieniliśmy dzielenie na mnożenie, odwracając ułamek $\frac{6}{11}$ na ułamek $\frac{11}{6}$ i mnożąc go przez drugi niezmieniony ułamek. Dlaczego to działa? Wystarczy wyobrazić to sobie na prostszym przykładzie, takim jak dzielenie przez połowę. Jeśli dzielimy

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

co tak naprawdę robimy? Sprawdzamy, ile razy jedna połowa mieści się w dziesięciu. W każdej jednostce połowa mieści się tylko dwa razy (dwa razy jedna połowa to jeden), więc mieści się dwadzieścia razy w dziesięciu. Ten sam wynik otrzymamy, gdy pomnożymy dwa razy dziesięć - również dwadzieścia. A jaką wartość otrzymamy, gdy odwrócimy jedną połówkę? Dwie jedynki, czyli dwa.

$$\frac12\rightarrow\frac21=2$$

W wyniku mamy:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot\frac21=10\cdot2=20.$$

Dodawanie ułamków

Dodawanie ułamków jest nieco bardziej skomplikowane. Możemy dodawać ułamki tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę, tj. ten sam mianownik. Jeśli ułamki nie mają tego samego mianownika, musimy zamienić je na ten sam mianownik. Następnie postępujemy tak samo jak w przypadku mnożenia, dodając licznik pierwszego ułamka do licznika drugiego ułamka. Jednak w przeciwieństwie do mnożenia, mianownik pozostaje ten sam. Najpierw przykład dodawania ułamków o tej samej podstawie:

$$\frac12+\frac52=\frac62=3$$

Czy to ma sens? Jedna połowa plus pięć połówek równa się sześć połówek - to ma dużo sensu.

Jeśli ułamki nie mają tej samej podstawy, co zdarza się częściej, musimy przekształcić ułamki do tej samej podstawy, co oznacza rozszerzenie jednego lub obu ułamków, aby uzyskać ten sam mianownik. Dodajmy te dwa ułamki:

$$\frac23+\frac52=?$$

Pierwszy ułamek ma trójkę w mianowniku, drugi ułamek ma dwójkę. W tym momencie trudno jest je dodać, ale jeśli rozszerzymy pierwszy ułamek o dwa, w mianowniku pojawi się szóstka, a jeśli rozszerzymy drugi ułamek o trzy, w mianowniku również pojawi się szóstka. Teraz oba ułamki mają tę samą podstawę i możemy je po prostu dodać. Tak więc w pierwszym kroku rozszerzyliśmy ułamki tak, aby miały ten sam mianownik:

$$\frac23+\frac52=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}+\frac{5\cdot3}{2\cdot3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

Teraz po prostu dodajemy licznik i pozostawiamy mianownik bez zmian:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Należy pamiętać, że podczas dodawania nie możemy mnożyć ułamków, tak jak w przypadku mnożenia. Na przykład, po dostosowaniu mamy sześć w mianowniku pierwszego ułamka i piętnaście w liczniku drugiego ułamka. Nie możemy jednak mnożyć przez trzy:

$$\frac{4}{\fbox{6}}+\frac{\fbox{15}}{6}\ne\frac42+\frac56$$

Moglibyśmy pozwolić sobie na to obcięcie tylko wtedy, gdybyśmy mnożyli ułamki:

$$\frac{4}{\fbox{6}}\cdot\frac{\fbox{15}}{6}=\frac42\cdot\frac56$$

Jak zazwyczaj przekształcamy dwa ułamki do wspólnego mianownika? Rozszerzamy pierwszy ułamek przez mianownik drugiego ułamka i rozszerzamy drugi ułamek przez mianownik pierwszego ułamka. Ogólnie rzecz biorąc, możemy to zapisać w następujący sposób:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Rozszerzyliśmy pierwszy ułamek za pomocą wyrażenia d, które jest mianownikiem drugiego ułamka. Rozszerzyliśmy drugi ułamek o wyrażenie b, które jest mianownikiem pierwszego ułamka. Konkretny przykład:

$$\frac74+\frac98=\frac{7\cdot8}{4\cdot8}+\frac{9\cdot4}{8\cdot4}$$

Rozszerzyliśmy pierwszy ułamek o ósemkę, a drugi ułamek o czwórkę. Następnie możemy dodać ułamki.

Ogólny wzór na dodawanie ułamków wyglądałby wówczas następująco:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Odejmowanie ułamków

Odejmowanie ułamków jest dokładnie tym samym, co dodawanie ułamków, z tą różnicą, że nie dodajemy liczników, ale je odejmujemy. Modyfikujemy więc poprzedni ogólny wzór na dodawanie w następujący sposób:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Konkretny przykład; najpierw zamieniamy na wspólny mianownik:

$$\frac79-\frac25=\frac{7\cdot5}{9\cdot5}-\frac{2\cdot9}{5\cdot9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

Teraz po prostu odejmujemy liczniki, pozostawiając mianowniki bez zmian:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Reguła krzyża

W przypadku równań możemy skorzystać z reguły krzyżowej, która upraszcza równość dwóch ułamków. W praktyce jest to nic innego jak dwie równoważne modyfikacje danego równania. Miejmy więc równanie dwóch ułamków

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Możemy zmodyfikować to równanie mnożąc je przez mianownik pierwszego, a następnie drugiego ułamka. Najpierw mnożymy równanie przez mianownik pierwszego ułamka, wyrażenie b. Otrzymujemy

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Następnie mnożymy równanie przez wyrażenie d, aby otrzymać

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Obcinamy b w pierwszym ułamku i d w drugim. Wynikiem jest równanie

$$ad=bc.$$

Możemy więc uznać to za wzór, jeśli mamy równanie w postaci dwóch ułamków, możemy je zmodyfikować w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} \frac{a}{b}&=&\frac{c}{d}\rightarrow\\ ad&=&bc \end{eqnarray}$$

Poniżej przykład. W pierwszym kroku rozkładamy ułamki zgodnie z poprzednim wzorem, a w drugim kroku tylko nieznacznie modyfikujemy wyrażenia po obu stronach.

$$\begin{eqnarray} \frac{x+2}{x}&=&\frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)&=&x\cdot3x\\ (x+2)^2&=&3x^2 \end{eqnarray}$$

Następnie równanie można obliczyć jako klasyczne równanie kwadratowe, ale wykracza to poza zakres tego artykułu.

Powiązane tematy

Ułamki są częstym problemem podczas upraszczania wyrażeń, co zostało omówione w artykule Wyrażenia ułamkowe w stosownych przypadkach, a w szczególności algorytm dzielenia wielomianów przez wielomiany.