Pochodna funkcji

Pochodna jest podstawowym pojęciem w rachunku różniczkowym, odgrywa ważną rolę w określaniu postępu funkcji, na przykład, i jest znienawidzona przez studentów z jednej strony, a z drugiej strony, pochodna może być obliczona przez odpowiednio wyszkoloną małpę. W tym artykule zostanie opisana i wyjaśniona tylko definicja pochodnej i związane z nią pojęcia. Rozwiązane przykłady można znaleźć w sąsiednich artykułach: proste przykłady dotyczące pochodnych i bardziej złożone przykłady. Procesem odwrotnym do pochodnej jest całkowanie.

Czym jest pochodna

Zanim przejdziemy do definicji pochodnej, porozmawiajmy o tym, co obliczamy za pomocą pochodnej i do czego może się ona przydać.

Wyprowadzając funkcję, otrzymujemy dyrektywę stycznej. To prawdopodobnie wiele brudnych słów razem, więc od początku. Mówiąc najprościej, linia styczna to linia, która dotyka danego wykresu dokładnie w jednym punkcie. Nie jest to dokładna definicja, można ją znaleźć na przykład w Wikipedii, ale z grubsza wystarcza. Spójrzmy teraz na poniższy rysunek:

Czarna krzywa to wykres funkcji y = x². Niebieska linia jest styczną do tej funkcji w punkcie D = [1,1], zaznaczonym na czerwono. Kąt α, zaznaczony na zielono, to kąt, jaki styczna tworzy z osią x - a dokładniej, z dodatnią półosią x. Zdefiniujmy teraz pojęcie dyrektywnej linii stycznej. Linia styczna na tym rysunku jest styczną do kąta alfa. Styczna jest klasyczną funkcją goniometryczną, która pozwala nam na przykład obliczyć kąty i rozmiary boków w trójkącie. Zatem dyrektywa tangensa jest tangensem kąta, jaki dany tangens tworzy z dodatnią półosią x. I otrzymujemy tę dyrektywę po prostu przez wyprowadzenie.

Rozróżniamy również pojęcia pochodnej funkcji w punkcie i pochodnej funkcji. Pochodna funkcji w punkcie jest po prostu dyrektywą stycznej w tym punkcie. Pochodna funkcji jest zatem inną funkcją, która określa dyrektywę dla ogólnego argumentu x. Poniżej znajduje się przykład.

Uzasadnienie

Korzystając z pochodnej, możemy obliczyć dyrektywy styczne. Do czego może się to przydać? Spójrzmy na poniższy rysunek:

Rysunek ponownie przedstawia funkcję y = x² i zaznaczone cztery styczne. Dwie zielone i dwie niebieskie. Zauważ, że funkcja y = x² jest malejąca w przedziale (−∞,0), a rosnąca w przedziale (0,∞). Co jednak dzieje się z ich stycznymi, czyli kątami, jakie tworzą z dodatnią półosią? Niebieskie styczne, które przechodzą przez punkty należące do przedziału, w którym funkcja jest rosnąca, tworzą kąt mniejszy niż 90 stopni z osią. Natomiast styczne zielone tworzą z osią kąt większy niż 90 stopni. Jak przekłada się to na dyrektywy styczne?

W tym celu musimy znać zachowanie funkcji stycznej. Z poniższego wykresu dowiadujemy się, że jeśli kąt ma wielkość mniejszą niż 90 stopni, to wartość tangensa jest dodatnia (podświetlona na niebiesko część); odwrotnie, jeśli kąt jest większy niż 90 stopni, ale mniejszy niż 180 stopni (tj. mniejszy niż Pi radianów), to wartość tangensa jest ujemna. Jaki wniosek możemy zatem wyciągnąć? Jeśli dyrektywa (pamiętaj, że dyrektywa to po prostu tangens kąta) stycznej w danym punkcie jest dodatnia, to funkcja w tym punkcie jest rosnąca; jeśli jest ujemna, to maleje.

Definicja

Przed nami długa droga, zanim przejdziemy do faktycznej definicji pochodnej. W tym celu będziemy potrzebować granicy funkcji. Jeśli nie znasz granic, wróć do nich lub po prostu przejrzyj wzory, kolejny czat prawdopodobnie nie będzie dla Ciebie.

Zanim przejdziemy do samej dyrektywy stycznej, zatrzymamy się na dyrektywie siecznej, która będzie łatwiejsza. Punkt przecięcia to linia, która przecina wykres w dwóch punktach. Spróbujmy teraz wyprowadzić, jak obliczyć tę dyrektywę. Spójrzmy na rysunek:

Mamy wykres funkcji x² + 1 i punkt przecięcia s, który przecina wykres w dwóch punktach [0,5; 1,25] i [2, 5]. Punkty te są zaznaczone na niebiesko. Ponieważ nie będziemy zbytnio zainteresowani konkretnymi wartościami, wartości te są zaznaczone na wykresie ogólnie jako a i b oraz f(a) i f(b). Natomiast f(a) jest wartością funkcji f w punkcie x = a. Co jest prawdą: wartość naszej funkcji x² + 1 w punkcie x = 2 to 2² + 1 = 5.

Teraz pozostaje kwestia wyprowadzenia sposobu obliczenia kąta oznaczonego jako alfa, tj. kąta, który punkt przecięcia tworzy z osią x. Najpierw zmodyfikujemy nieco figurę, aby uzyskać kilka trójkątów, z którymi łatwiej będzie pracować.

Co zrobiliśmy? Połączyliśmy punkty, w których linia przecięcia przecięła się z wykresem funkcji y = x² + 1 z odcinkiem linii i narysowaliśmy trójkąt prost okątny ABC. Co zrobiliśmy, aby sobie pomóc? Ponieważ kąt oznaczony β ma taką samą miarę jak kąt α (są to kąty przystające). Ale znamy rozmiary boków AB i BC. Prawdą jest, że |AB| = b − a (jest to po prostu odległość punktu b od a). Podobnie, długość |BC| = f(b)−f(a). Jak teraz obliczyć rozmiary kątów β, i α, odpowiednio?

Chce wiedzieć, jak obliczyć styczną. Tangens jest stosunkiem przeciwległej gałęzi do gałęzi sąsiedniej, więc tangens kąta alfa (beta) jest równy stosunkowi długości boku BC do długości boku AB. Zapiszmy to:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Ponieważ dyrektywa jest tangensem kąta, użyliśmy tego wzoru do obliczenia dyrektywy punktu przecięcia. Ale w jaki sposób pomaga nam to, gdy chcemy obliczyć dyrektywę stycznej? Wyobraźmy sobie, że zbliżamy do siebie punkty A i C, aż się połączą. Przybliżenie jest pokazane na rysunku:

Im bardziej zbliżamy górny punkt przecięcia do dolnego punktu, tym bardziej prosta staje się styczna. Oryginalny punkt przecięcia/przecinania CA był daleki od stycznej. Jeśli przybliżymy punkt C do punktu A, otrzymamy na przykład punkt przecięcia C₁A, który jest już bardziej styczny. Ukośnik C₂A jest jeszcze bardziej podobny itd.

Kiedy sieczna staje się styczną? W momencie, gdy dwa punkty przecięcia połączą się w jeden, tj. gdy dla jakiegoś punktu C_n będzie prawdą, że C_n = A. W tym momencie sprawiliśmy, że przecięcie stało się styczne, czego chcieliśmy. Pytanie brzmi, jak obliczyć dyrektywę, ponieważ nie możemy po prostu odjąć dwóch punktów, ponieważ są one takie same:

$$\mbox{tan}(\beta)=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac00.$$

To nie zadziała, nie możemy tego obliczyć w ten sposób. Nie bez powodu tylko zbliżyliśmy punkty do siebie. Będziemy potrzebować limitu. Teraz chcemy obliczyć dyrektywę stycznej w danym punkcie [a, f(a)] i mamy dyrektywy wszystkich możliwych punktów przecięcia (możemy je już obliczyć). Będziemy więc stopniowo obliczać dyrektywy punktów przecięcia, które będziemy przybliżać, aby uzyskać styczną. Będziemy więc aproksymować b do a. Nie możemy aproksymować punktów tak, aby były równe, ale możemy aproksymować je tak, aby ich różnica była granicznie bliska zeru. Vida, limita. Przybliżymy więc b do a, aż staną się równe w sposób graniczny. Obliczamy więc granicę, gdy b zbliża się do a. To wszystko, wzór wygląda następująco:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{b\rightarrow a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Granicę tę nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie x = a. Przypomnijmy, że kąt α jest równy kątowi β. Zwykle nie używamy zmiennych a i b, ale szukamy pochodnej w punkcie x₀ i przybliżamy ją punktem x. Możemy wtedy napisać:

$$\mbox{tan}(\alpha)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Do tej pory, podobnie jak w przypadku funkcji ciągłości, zdefiniowaliśmy pochodną w jednym punkcie. Jeśli mamy funkcję f(x), która jest pochodną na otwartym przedziale I, to wartości tej pochodnej definiują funkcję $f^\prime(x)$, którą nazywamy pochodną funkcji.

Pochodną zapisujemy za pomocą przecinka w indeksie górnym, jak poniżej:

$$(x^2)^\prime=2x,\qquad f^\prime(x)=,\ldots,\qquad f^\prime(x_0)=,\ldots$$

Można również spotkać się z inną formą zapisu, używając dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^\prime(x)$$

Tak więc we wzorze, którego użyliśmy przed chwilą, możemy zastąpić tangens zapisem pochodnej:

$$f^\prime(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Możemy również zdefiniować jednostronną pochodną z prawej lub lewej strony, używając jednostronnych granic. Nie będziemy się tym teraz zajmować, nie jest to aż tak ważne.

Nieco inna definicja

Inna definicja pochodnej funkcji w punkcie wygląda następująco:

$$f^\prime(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Jak dochodzimy do takiej definicji? Musimy tylko nieco zmienić obraz, od którego zaczęliśmy. Możemy bowiem wyrazić odległość punktu a od punktu b jako h = b − a. Tym samym możemy zapisać punkt b jako a + h, ponieważ h jest po prostu odległością b od a. Obraz wyglądałby następująco:

Na dole mamy punkty a i a + h, następnie f(a) i f(a + h) na osi y. Teraz ponownie tworzymy trójkąt i obliczamy tangens kąta beta. Jedyna różnica polega na tym, że obliczyliśmy już długość boku AB, jest to po prostu h.

Pochodne właściwe i niewłaściwe

Mamy również pochodne właściwe i niewłaściwe, podobnie jak granice funkcji. Co to oznacza? Pochodna jest właściwa, jeśli wartość pochodnej w punkcie jest równa pewnej liczbie rzeczywistej. Pochodna jest niewłaściwa, jeśli jest równa plus lub minus nieskończoności. Jak zwizualizować to geometrycznie? Kiedy pochodna jest "nieskończona"? Zacznijmy od prostszego pytania - jak wygląda styczna, której dyrektywa jest równa jakiejś dużej liczbie? Wykres stycznej (patrz wyżej) pokazuje, że jeśli wartość stycznej jest duża, to kąt jest bliski 90 stopni (jeśli znajdujemy się w przedziale (0, 180)).

Można by wywnioskować, że jeśli funkcja w tym punkcie ma nieujemną pochodną, to tangens będzie prostopadły do osi x. I tak jest. Jak mógłby wyglądać wykres takiej funkcji i w którym punkcie styczna byłaby prostopadła do osi x? Na przykład funkcja $y=\sqrt[3]{x}$:

Podstawowe własności

• Funkcja ma pochodną w punkcie, jeśli funkcja jest również określona w sąsiedztwie epsilon tego punktu. Gdyby to sąsiedztwo nie istniało, nie osiągnęlibyśmy granicy, dla której pochodna jest określona.

• Wyjątkowość istnienia (lub nieistnienia) granic oznacza dla nas, że jeśli pochodna istnieje w punkcie, to jest ona wyjątkowa. Żadna funkcja nie ma więcej niż jednej pochodnej w punkcie. Albo jedna, albo żadna.

• Podobnie jak w przypadku granic jednostronnych, jeśli funkcja ma pochodną w punkcie, to pochodne po lewej i prawej stronie muszą być równe.

• Czasami musimy znać tak zwaną drugą pochodną. Nie jest to nic skomplikowanego, po prostu pochłaniamy funkcję raz, a następnie pochłaniamy wynik po raz drugi. Oznaczamy to dwoma przecinkami: f''(x) = (f'(x))'.

• Ważna własność: jeśli funkcja ma pochodną w punkcie, to funkcja jest ciągła w tym punkcie. Ponownie opiera się to na własności granicy. Należy zauważyć, że nie ma to zastosowania w odwrotnej sytuacji. Jeśli funkcja jest ciągła w punkcie, nie oznacza to, że jest tam pochodną. Typowym przykładem jest funkcja f(x) = |x|. Wykres jest do wierzchołka, nie można obliczyć pochodnej stycznej w tym wierzchołku. Możesz spróbować obliczyć pochodną z lewej i prawej strony, będą one różne.

  

• Można również użyć pochodnych do obliczenia niektórych granic, w tym celu stosuje się regułę L'Hospitala.

Odniesienia

Lista wzorów do pracy z pochodnymi znajduje się w sąsiednim artykule. Więcej informacji można znaleźć w Wikipedii.

Można również zobaczyć rozwiązane przykłady pochodnych, a następnie ewentualnie trudniejsze przykłady pochodnych. Wiele rozwiązanych przykładów można również znaleźć na forum tutaj.

Jeśli chcesz szybko sprawdzić obliczenia pochodnej, możesz użyć narzędzia matematycznego, takiego jak Wolfram|Alpha. Wystarczy wpisać "derive x^2+6x" (na przykład) w polu wprowadzania, a Wolfram obliczy pochodne podanej funkcji. Można również skorzystać z czeskiego MAW.

Więcej materiałów można znaleźć na przykład na stronie CTU.

W świecie literackim o pochodnych można przeczytać w książce The Second Derivative of Desire autorstwa Tomasa Sedlacka. Ale prawdopodobnie będzie to inna derywacja :-).