Granice ciągu

Granica ciągu to liczba, do której ciąg zbliża się w nieskończoności. Granica ciągu jest więc swego rodzaju prekursorem granicy funkcji, która ma ogromne znaczenie w analizie matematycznej.

Krótkie wprowadzenie do granic

Granica ciągu to liczba, do której dany ciąg liczb stale się zbliża (lub którą ostatecznie osiąga). Najlepszym rysunkiem jest ten, który przedstawia ciąg wyznaczony przez regułę $a_n=\frac1n$:

Na rysunku widzimy, że elementy ciągu są coraz bliżej zera. Im większa wartość n, tym mniejsza wartość a_n i tym bardziej zbliża się ona do zera. Wykres nigdy nie dotyka osi poziomej, ponieważ równanie 1/n = 0 (gdzie n jest liczbą naturalną) nigdy nie zachodzi. Warto jednak sprawdzić, do jakiej liczby zbliża się cały ciąg. Pytanie może więc brzmieć - jeśli będziemy zwiększać n, do jakiej liczby zbliży się wartość ciągu? Jeśli zbliżymy się n do nieskończoności, jaka będzie wartość członu ciągu? To jest dokładnie to, co rozwiązują limity. Zapisujemy to za pomocą polecenia lim. W indeksie dolnym mamy wtedy liczbę, do której zbliża się n, dla sekwencji zawsze będzie to nieskończoność. Cały zapis może wyglądać na przykład tak:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0.$$

Czytamy "Granicą ciągu jeden ukośnik n dla n zbliżającego się do nieskończoności jest zero". Kilka innych trywialnych przykładów: jaka jest granica ciągu a_n = n? Jest to prosty ciąg, w którym a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766, itd. Do jakiej liczby zbliżą się elementy ciągu w nieskończoności? Im większa n, tym większa a_n, więc granicą będzie nieskończoność.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n=\infty$$

Intuicyjnie można się domyślić, że granicą ciągu a_n = n² również będzie nieskończoność. Ta sekwencja będzie rosła jeszcze szybciej niż poprzednia. I odwrotnie, granica ciągu $a_n=\frac{1}{2n}$ będzie spadać w kierunku zera nawet szybciej niż pierwszy przykładowy ciąg.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}n^2=\infty,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2n}=0$$

Definicja wewnętrznej granicy ciągu

Nadszedł czas, aby poprawnie zdefiniować granicę ciągu.

Ciąg $\left\{a_n\in\mathbb{R}\right\}_{n=1}^\infty$ ma granicę własną a, (zbiega do granicy a ∈ ℝ, jest zbieżny), jeśli dla każdego ε > 0 istnieje n₀∈ℕ taki, że dla wszystkich n>n₀, |a_n − a| < ε zachodzi.

Użyte notacje to:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$$

$$a_n\rightarrow a\mbox{ Dla } n\rightarrow\infty$$

$$\left\{a_n\right\}_{n=1}^\infty\rightarrow a$$

To ładna definicja, teraz ją wyjaśnijmy. Aby to zrobić, będziemy potrzebować obrazu sekwencji, więc wybierzmy na przykład następującą sekwencję:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

I jego wykres:

Z wykresu ładnie widać, że ciąg zbiega do pięciu, więc granicą tego ciągu jest pięć. Zanim zacznę demonstrować definicję granicy tego ciągu, dodam trochę koloru do wykresu:

Wiemy już, że granicą tego ciągu jest pięć. Pierwsza część definicji mówi o ε>0, pewnym epsilonie, który jest większy od zera. Epsilon reprezentuje tutaj sąsiedztwo granicy, sąsiedztwo punktu. Jest większa od zera, ponieważ sąsiedztwo nie może być ujemne ani zerowe. Na rysunku to sąsiedztwo jest reprezentowane przez pionowe zielone linie na osi y. Punktem jest tutaj wartość pięć, a sąsiedztwo punktu to zielone linie na osi y. W związku z tym sąsiedztwo jest zdefiniowane w obu kierunkach, w górę i w dół. Będziemy teraz potrzebować tego wyimaginowanego paska zdefiniowanego przez zielone poziome linie. Na rysunku, ε = 1.

Naszym celem jest znalezienie liczby na dolnej poziomej osi n₀, która podzieli dolną oś na dwie części. Musi być tak, że wszystkie elementy sekwencji na prawo od liczby n₀ znajdują się w tym zielonym pasku. To, gdzie znajdują się liczby po lewej stronie n₀ jest nieistotne, nie musimy znajdować najmniejszej n₀, dla której ta definicja jest prawdziwa. Na rysunku, n₀ = 12 ma zastosowanie.

Co tak naprawdę oznacza, że członek sekwencji znajduje się w zielonym paśmie? Że znajduje się co najwyżej epsilon od granicy (w tym przypadku liczby pięć). I to jest dokładnie to, co mówi definicja: |a_n − a|<ε. Przypomnijmy, że wartość a oznacza granicę, więc w naszym przypadku tak jest: a = 5 Spróbujmy obliczyć wartość piętnastego elementu:

$$a_{15}=\frac{5\cdot15}{15+1}=4{,}6875$$

Teraz podłączamy relację |a_n − a|<ε:

$$\begin{eqnarray} \left|a_n-a\right|&<&\epsilon\\ \left|4{,}6875-5\right|&<&1\\ 0{,}3125&<&1 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że nierówność zachodzi. Ten punkt spełnia definicję. Liczba 0,3125 wyraża odległość między piętnastym elementem ciągu a granicą ciągu. Na rysunku odległość ta jest zaznaczona krótką fioletową linią. Gdybyśmy przetestowali w ten sposób wszystkie liczby większe niż n₀, przekonalibyśmy się, że nierówność ta nadal obowiązuje. Zatem liczba a = 5 spełnia definicję granicy tego ciągu.

Jest jednak jedna ważna rzecz w tej definicji. Mówi ona, że dla każdego ε>0 jesteśmy w stanie znaleźć liczbę n₀. Tak więc dla dowolnie dużego epsilon, ale w szczególności dla dowolnie małego epsilon. Bez względu na to, jak mały zmniejszymy epsilon do małej (ale wciąż dodatniej) liczby, nadal powinniśmy być w stanie znaleźć n₀.

Spróbujmy więc zmniejszyć epsilon do mniejszej wartości. Co się stanie? Zielony pasek, w którym musimy się zmieścić, staje się mniejszy. W porządku, po prostu zwiększymy wartość n₀ - przesuniemy ją w prawo. Zarówno zmniejszanie, jak i przesuwanie są zilustrowane na poniższym rysunku:

To przesunięcie ładnie ilustruje zachowanie limitów. Oczekujemy, że członkowie sekwencji będą zbliżać się do granicy, tak aby ich odległość od granicy stale się zmniejszała. (Odległość od granicy jest tym, co obliczyliśmy przed chwilą, fioletową linią na rysunku). Jeśli odległość stale maleje, a elementy zbliżają się do granicy, w pewnym momencie muszą osiągnąć stan, w którym są bliżej granicy niż epsilon. W ten sposób znaleźliśmy naszą wartość n₀. I odwrotnie, jeśli wybierzemy większy epsilon, możemy wybrać n₀ mniejszy:

Wspomniałem na początku, że sekwencja stale zbliża się do swojej granicy, ale nigdy jej nie dotyka. Jednak ciąg może dotknąć swojej granicy, a nawet może uzyskać swoją granicę nieskończoną liczbę razy. Na przykład ciąg stały a_n = 1 będzie miał wartość jeden w każdym punkcie i będzie miał również granicę równą jeden.

Wykazanie braku granicy

Spróbujmy zmodyfikować definicję sekwencji, aby pasowała do następującego wykresu: (sama reguła nie jest w tej chwili istotna)

Ciąg zachowuje się tak samo jak w poprzednim przypadku, z wyjątkiem dziesiątego, dwudziestego, trzydziestego itd. członu ciągu (załóżmy, że te człony są zawsze równe 3,5 - nie rosną ani nie kurczą się w żaden sposób). Te człony są w jakiś sposób poza rytmem. Na rysunku narysowałem dwa sąsiedztwa, epsilon jeden i dwa. Jak widać, dla ε₂ (większe sąsiedztwo epsilon) jesteśmy w stanie znaleźć takie n₀, że wszystkie pozostałe terminy znajdują się w zielonym paśmie. Jeśli jednak zmniejszymy wartość epsilon do ε₁, nie będziemy już mogli znaleźć takiego n₀ - co dziesiąty element będzie poza tym sąsiedztwem. Ta sekwencja nie miałaby ograniczenia w punkcie piątym (i nie ma ograniczenia nigdzie indziej).

Przykłady innych ograniczeń

Przykładem ciągu, który nie ma ograniczenia jest a_n = sin n, pokazany na poniższym rysunku:

Widzimy, że ciąg nie zbiega do żadnej liczby; elementy ciągu stale maleją i rosną. Taki ciąg nazywany jest rozbieżnym.

Na razie pokazaliśmy ciągi zbieżne, które są zbieżne do danej granicy z jednej strony. Ciąg może być jednak zbieżny do granicy z obu stron, co pokazuje poniższa sekwencja

$$a_n=(-1)^n\cdot\frac{1}{n}$$

Ten ciąg również będzie zbieżny do zera.

Granica niewłasna

Do tej pory omówiliśmy właściwą granicę, przypadek, w którym ciąg zbiega do pewnej liczby rzeczywistej. Co jednak z takim ciągiem a_n = n? Do jakiej liczby rzeczywistej zbliża się ciąg? Spójrzmy na wykres:

Oczywiście nie zbliża się on do żadnej liczby rzeczywistej, ale rośnie poza wszystkie granice, rosnąc do nieskończoności. Zatem taki ciąg ma granicę w nieskończoności i mówimy, że taka granica nie jest właściwa. Definicja granicy niewłaściwej jest prosta. Co to znaczy, że ciąg rośnie do nieskończoności? To, że jeśli wybierzemy jakąś liczbę rzeczywistą A, dowolnie dużą, to zawsze znajdziemy indeks n₀ taki, że wszystkie człony ciągu następujące po tym członie są większe od tej liczby A. Krótko mówiąc, jeśli wybierzemy granicę A, to począwszy od pewnej części ciągu, wszystkie człony są większe od tej liczby A. Zapis matematyczny:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty\Leftrightarrow\forall A\in\mathbb{R}\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}: n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Na początku mamy dla wszystkich A, czyli dla wszystkich granic, które chcielibyśmy wybrać. Następnie mamy kwantyfikator istnienia, który mówi, że musi istnieć indeks n₀, dla którego obowiązuje, że jeśli n jest większy niż ten n₀, to wartość członu a_n jest większa niż granica, którą wybraliśmy na początku, tj. A. Podobna definicja będzie obowiązywać dla niewłaściwej granicy przy minus nieskończoności.

Metody obliczania wartości granicznej

Znamy już kilka podstawowych metod obliczania granicy ciągu. Różne permutacje ciągu a_n = n, takie jak

$$a_n=2n,\quad a_n=\frac{n}{2}$$

mają granicę w plus nieskończoności. Z kolei ciągi typu

$$a_n=\frac{1}{n},\quad a_n=\frac{15}{4n}$$

mają granicę równą zero. Dokonamy teraz przeglądu kilku podstawowych relacji dla liczenia z sekwencjami. Załóżmy, że zachodzi następująca zależność

$$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=a,\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b,\quad a,b\in\mathbb{R}.$$

Wówczas zachodzą również poniższe zależności:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1a+c_2b\quad\forall c_1,c_2\in\mathbb{R}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_nb_n=a\cdot b;\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}; b\ne 0.$$

Możemy zastosować pierwszą formułę w poniższym przykładzie:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{1}{n}+5)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}5=0+5=5$$

Co jeśli mamy taki przykład?

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}$$

Tutaj pojawia się problem, ponieważ wyrażenie w liczniku zbliża się do nieskończoności, a wyrażenie w mianowniku również zbliża się do nieskończoności. Ale jeśli mamy nieskończoność zarówno w liczniku, jak i mianowniku, otrzymujemy tak zwane wyrażenie nieokreślone. Krótko mówiąc, nie możemy określić, ile wynosi to wyrażenie:

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Naszym zadaniem będzie zmodyfikowanie wyrażenia tak, aby to nieokreślone wyrażenie nie powstało. Jeśli możemy usunąć zmienną n z mianownika lub licznika, możemy już otrzymać wyrażenie z tylko jedną nieskończonością.

Najpierw modyfikujemy wyrażenie, dzieląc każdy wyraz przez zmienną n lub rozszerzając ułamek o wyrażenie 1/n.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+1}{2n}=\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Widzimy, że w mianowniku nie ma już zmiennej n, więc wyrażenie w mianowniku nie jest bliskie nieskończoności. Postępując zgodnie z poprzednimi wzorami, możemy rozłożyć całą granicę na kilka mniejszych, licząc granice wszystkich wyrażeń osobno oraz dodając i dzieląc wyniki.

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}$$

To stawia nas w sytuacji, w której możemy już obliczyć wszystkie granice. Zróbmy tak.

$$\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Granicą tego ciągu jest liczba 1,5.

Wypróbujmy inny przykład:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Tutaj możemy albo użyć tej samej procedury, co ostatnio, albo możemy spróbować zaangażować logiczne rozumowanie. Funkcja n² pociągnie ciąg w górę znacznie szybciej niż funkcja n pociągnie go w dół. Funkcja n² jest znacznie silniejsza, więc całe wyrażenie będzie miało granicę w nieskończoności. Spróbujmy wykonać obliczenia matematyczne. Ponownie podzielmy każde wyrażenie przez n:

$$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{2n}&=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ &=&\frac{\lim_{n\rightarrow\infty}3n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}}{\lim_{n\rightarrow\infty}2}\\ &=&\frac{\infty+0}{2}=\infty \end{eqnarray}$$

Jeszcze kilka słów o tym, dlaczego podzieliliśmy n, a nie na przykład n², które również występuje w wyrażeniu. Jak wiemy, naszym celem jest pozbycie się zmiennej. Wiemy jednak, że wartość mianownika nie może być równa zero, w przeciwnym razie ponownie otrzymalibyśmy wyrażenie nieokreślone. Rozszerzymy ułamek wyrażeniem takim, że mianownik nie będzie zawierał zera. W tym przypadku oznaczało to rozwinięcie za pomocą wyrażenia o najwyższym wykładniku w mianowniku.

Możemy więc powiedzieć, że granica będzie następować po funkcji, która rośnie o rząd wielkości szybciej. Należy jednak uważać na znaki, nawet podczas liczenia z nieskończonością musimy zachować znak:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3n^2+1}{-2n}=\ldots=\frac{\infty+0}{-2}=-\infty$$