Sekwencje

Ciąg jest funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. Sekwencja może być albo nieskończona, jeśli jej dziedziną definiującą jest cały zbiór liczb naturalnych, albo skończona, jeśli jej dziedziną definiującą jest tylko skończony podzbiór dziedziny liczb naturalnych. O ile nie jest wyraźnie powiedziane, że ciąg jest skończony, przyjmuje się, że jest on nieskończony.

Definicja ciągu

Niniejszy rozdział opisuje przynajmniej trochę znaczenie definicji ciągu; jej znajomość nie jest bezwzględnie konieczna; jeśli chcesz, możesz pominąć cały rozdział.

We wstępie wyjaśniono już, że jest to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne. Dziedziną wartości może być dowolny zbiór, ale tutaj przyjmiemy zbiór liczb rzeczywistych. Co to oznacza? Najbardziej widoczną zmianą będzie wykres funkcji, ponieważ nie będzie on linią ciągłą, jak to często ma miejsce w przypadku zwykłych funkcji, ale będą tylko rozproszone izolowane punkty w sekwencji.

Na przykład, ciąg może być serią liczb 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... Jest to prawdopodobnie dość dobrze zdefiniowany ciąg i dla każdego byłoby jasne, jak przebiega. Ponieważ jest to funkcja, tabela wyświetlająca tę sekwencję wyglądałaby następująco:

$$\begin{eqnarray} 1&\rightarrow&1\\ 2&\rightarrow&3\\ 3&\rightarrow&5\\ 4&\rightarrow&7\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Tak więc liczby w pierwszej kolumnie (wartości z zakresu definicji) wskazują kolejność tej liczby w sekwencji. Na przykład w naszej prostej sekwencji liczba pięć znajduje się na trzeciej pozycji. Dokładnie to mówi nam tabela. Liczba siedem jest na czwartej pozycji w sekwencji, liczba jeden jest na pierwszej pozycji i tak dalej. Oznacza to również, że domeną definiującą skończony ciąg p powinien być pewien zbiór postaci

$$D(p)=\left\{1, 2, 3, \ldots, n\right\},$$

tak, aby rzeczywiście był to ciąg i żadna pozycja nie została pominięta. Na przykład taki zbiór

$$D(p)=\left\{1{,}2,3{,}5,7\right\}$$

nie pasuje do zakresu definicyjnego sekwencji, ponieważ brakuje w nim czwartego i szóstego elementu.

Tak więc sekwencja jest wyrażana poprzez stwierdzenie, że jej elementy mogą być ułożone w pewien sposób, że każdy element sekwencji, z wyjątkiem pierwszego i ostatniego, ma poprzednika i następnika. Jest to ogromna różnica w porównaniu z rzeczywistymi funkcjami, gdzie nie ma takiego zastosowania. Jeśli weźmiemy funkcję f(x) = 2x, jaka wartość następuje po f(5/2)? Nie wiemy, wynik jest liczbą rzeczywistą, a liczby rzeczywiste nie mają następnika.

Notacja sekwencji

Wiemy już, że - upraszczając - sekwencja to ponumerowany ciąg liczb. Teraz jak możemy zapisać sekwencję. Zazwyczaj nazywamy sam ciąg małą literą, na przykład a_i.

Pierwszym sposobem jest wypisanie wszystkich wartości sekwencji. Spotkaliśmy się już z tym w poprzednim rozdziale. Wyliczenie może być skończone lub nieskończone:

$$\begin{eqnarray} a_k&=&(1{,}2,3{,}4,5)\\ a_n&=&(2{,}4,6{,}8,10,\ldots) \end{eqnarray}$$

Uwaga: Nie jestem pewien, jakie nawiasy są powszechnie używane dla sekwencji; nie znalazłem jednolitej konwencji. Prawdopodobnie nie używałbym nawiasów złożonych, ponieważ oznaczają one zbiory, dla których kolejność nie ma znaczenia, podczas gdy dla sekwencji kolejność elementów ma znaczenie.

Inną możliwością jest wzór na n-ty element sekwencji. Na przykład zbiór a_n zawiera wszystkie liczby parzyste. Moglibyśmy wyrazić to w następującej formule

$$a_n=2n.$$

Indeks dolny n mówi nam, ile razy aktualnie liczymy dziesiąty element sekwencji. Jeśli więc chcemy znać pierwszy element, to chcemy znać element a₁, jeśli siódmy, to a₇. Następnie obliczylibyśmy siódmy element, podstawiając go do wzoru.

$$a_7=2\cdot7=14$$

Ta notacja jest wygodna, ponieważ pozwala nam natychmiast obliczyć dowolny element sekwencji. Inną możliwością jest zapisanie go przy użyciu definicji rekurencyjnej. Definicja rekurencyjna pozwala nam obliczyć następny element, jeśli znamy bieżący. Lub, jeśli znamy element a_n, pozwala nam obliczyć element a_{n + 1}.

Jeśli chcemy określić sekwencję rekurencyjnie, musimy podać dwie informacje: jaki element jest pierwszy i przepis na obliczenie elementu (n + 1). Gdybyśmy chcieli rekurencyjnie określić zbiór parzystych liczb naturalnych, moglibyśmy to zrobić w ten sposób:

$$a_1=2;\quad a_{n+1}=a_n+2$$

Jak byśmy to obliczyli? Wiemy, że a₁ jest równe dwa. Teraz wstawiamy jedynkę po n i w ten sposób obliczamy a₂ dodając dwójkę do a₁. Otrzymamy cztery, drugą liczbę parzystą. I tak dalej.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Pisanie przy użyciu definicji rekurencyjnej przydaje się, gdy musimy wygenerować większą część sekwencji. Z drugiej strony nie nadaje się, gdy chcemy obliczyć konkretny element, ponieważ aby obliczyć 100. liczbę parzystą, musimy najpierw obliczyć wszystkie 99 liczb parzystych poprzedzających 100. liczbę parzystą.

Ostatnią opcją jest określenie sekwencji za pomocą grafu.

Dla wyjaśnienia: sekwencja nie musi mieć prostej recepty, nie musi być "rozsądną" sekwencją liczb. Ten ciąg liczb również jest ciągiem, nawet jeśli na pierwszy rzut oka nie ma głębszego znaczenia:

$$a_i=(-5, \frac73, \pi, \pi, \pi, 13, 10^6+54, \log_354, 0)$$

Wykres ciągu

Ciągi mają inne wykresy niż zwykłe funkcje rzeczywiste. Ponieważ ich domeną są liczby naturalne, ich wykres składa się z izolowanych punktów.

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb arytmetycznych zdefiniowany przez jego elementy.

Ciąg arytmetyczny jest prostym ciągiem, w którym istnieje stała różnica między elementami ciągu. Na przykład, każdy kolejny element jest większy o trzy lub mniejszy o siedemnaście. Różnica, o jaką różnią się elementy ciągu, nazywana jest różnicą (oznaczaną przez d). W pierwszym przypadku różnica wynosiłaby trzy, w drugim minus siedemnaście, a w przypadku ciągu liczb parzystych różnica wynosiłaby dwa. Zatem wzór na ciąg arytmetyczny można zapisać w następujący sposób:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Ogólny wzór na obliczenie n-tego elementu ciągu arytmetycznego jest następujący

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Dla przykładu weźmiemy ponownie liczby parzyste, których różnica wynosi dwa, a pierwsza liczba parzysta również wynosi dwa. Drugą liczbę parzystą otrzymamy dodając dwa do pierwszej. Jeśli dodamy jeszcze raz dwa, otrzymamy trzecią liczbę parzystą.

$$\begin{eqnarray} a_1&=&2\\ a_2&=&a_1+2\quad(=4)\\ a_3&=&a_2+2\quad(=6)\\ a_4&=&a_3+2\quad(=8)\\ &\ldots& \end{eqnarray}$$

Gdybyśmy chcieli obliczyć na przykład siódmą liczbę parzystą, dodalibyśmy ją do ogólnego wzoru w następujący sposób:

$$a_n=a_1+(n-1)d\rightarrow a_7=2+(7-1)\cdot2=2+12=14$$

Jak sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny? Odejmujemy wzór na n-ty człon od wzoru na (n + 1). człon i jeśli otrzymamy różnicę, jest to ciąg arytmetyczny. Tak więc, na przykład, mamy sekwencję

$$a_n=2n+7.$$

Czy ten ciąg jest arytmetyczny? Zaczynamy od wyrażenia (n + 1). członu:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Teraz odejmujemy te dwa wyrażenia od siebie:

$$\begin{eqnarray} d&=&(2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d&=&2n+2+7-2n-7\\ d&=&2n-2n+7-7+2\\ d&=&2 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że po odjęciu mamy d = 2, więc jest to ciąg arytmetyczny z różnicą dwóch.

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego

Często potrzebujemy znaleźć sumę kilku pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego. Jak to zrobić? Intuicyjnie, w następujący sposób. Będziemy trzymać się liczb parzystych. Jaka jest suma trzech pierwszych liczb parzystych? To znaczy liczb 2, 4 i 6. Moglibyśmy oczywiście dodać je jedna po drugiej, ale nie chcemy tego, chcemy wzoru.

Zmodyfikujemy sekwencję w ten sposób, dodając dwa do pierwszego elementu i odejmując dwa od ostatniego. Otrzymamy 4, 4, 4. Widzimy, że mamy trzy równe liczby, więc po prostu pomnożymy cztery przez liczbę warunków, czyli trzy. Tak więc 4 · 3 = 12.

Przy pięciu elementach wyglądałoby to tak: 2, 4, 6, 8, 10. Dodajemy i odejmujemy cztery do najbardziej zewnętrznych elementów i dwa do przedostatniego.

$$\begin{eqnarray} a_i&=&(2+4), (4+2), 6, (8-2), (10-4)\\ a_i&=&6{,}6,6{,}6,6 \end{eqnarray}$$

Ponownie, wystarczy pomnożyć 6 · 5 = 30. Co widzimy? Zawsze mnożymy liczbę elementów sekwencji przez środkowy element sekwencji. W sekwencji 2, 4, 6 w środku znajdowała się 4, a w sekwencji 2, 4, 6, 8, 10 w środku znajdowała się 6. Jak obliczamy środkowy element w ogóle (oznaczmy p)? Obliczamy go jako średnią z pierwszego i ostatniego elementu sekwencji, tj.

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Na przykład dla drugiej sekwencji

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Wynikowy wzór na sumę pierwszych q elementów sekwencji a_n wyglądałby następująco:

$$S_q=q\cdot\frac{a_1+a_q}{2}$$

Wzór obowiązuje dla parzystej liczby elementów, mimo że w wyprowadzeniu użyliśmy tylko nieparzystej liczby elementów.

Jak obliczyć różnicę

Jak obliczyć różnicę, jeśli znasz dwa wyrazy ciągu. Pozostańmy przy liczbach parzystych. Załóżmy, że znamy następujące dwa człony ciągu

$$a_3=6,\quad a_7=14.$$

Jak obliczyć różnicę? Najpierw obliczamy różnicę między tymi dwoma elementami:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Teraz musimy tylko podzielić ten wynik przez liczbę elementów, które znajdują się między dwoma znanymi nam elementami:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Różnica wynosi dwa. Wynikowy wzór na obliczenie różnicy d, jeśli znamy elementy ciągu a_k i a_l:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Wykres ciągu arytmetycznego wykazuje stały wzrost lub stały spadek - odizolowane punkty wykresu leżą na tej samej linii.

Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny różni się od poprzedniego ciągu arytmetycznego tym, że dwa sąsiednie wyrazy nie mają tej samej różnicy, ale proporcję. Proporcja ta nie jest wtedy nazywana różnicą, jak w przypadku ciągu arytmetycznego, ale ilorazem (oznaczanym przez q). Na przykład możemy mieć ciąg, w którym q = 10 i pierwszym elementem będzie 5:

$$\begin{eqnarray} a_1&=&5\\ a_2&=&a_1\cdot10\quad(=50)\\ a_3&=&a_2\cdot10\quad(=500)\\ a_4&=&a_3\cdot10\quad(=5000)\\ \end{eqnarray}$$

W ogólnym przypadku wzór ten jest prawdziwy:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego wyglądałby następująco:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Przykładowo, trzeci element poprzedniego ciągu obliczylibyśmy w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} a_3&=&a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3&=&5\cdot q^2\\ a_3&=&5\cdot10^2\\ a_3&=&500 \end{eqnarray}$$

Ciągi geometryczne można dalej podzielić na dwie kolejne grupy w zależności od ich ilorazu. Jeśli wartość bezwzględna ilorazu jest mniejsza niż jeden, cały ciąg spadnie do zera. Taki ciąg nazywany jest zatem zbieżnym. I odwrotnie, jeśli wartość bezwzględna ilorazu jest większa niż jeden, ciąg będzie dążył do nieskończoności i jest nazywany ciągiem rozbieżnym. Dla ciągu zbieżnego stosuje się zatem prosty wzór na sumę całego szeregu (ma on zastosowanie tylko do ciągu zbieżnego, ponieważ ciąg rozbieżny zbliża się do nieskończoności, a zatem jego suma jest nieskończona):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Wzór na sumę pierwszych i elementów ciągu geometrycznego a_n:

$$S_i=a_1\cdot\frac{q^i-1}{q-1}$$

Wyprowadzenie tego wzoru można znaleźć w Wikipedii.

Wykres ciągu geometrycznego, z wyjątkiem sytuacji, gdy iloraz wynosi jeden lub zero, jest zbiorem izolowanych punktów, które nie leżą na jednej prostej. Typowy wykres ciągu geometrycznego wygląda następująco:

Jeśli iloraz jest ujemny, wykres będzie miał dwie gałęzie: