Integralny

Proces całkowania funkcji jest przeciwieństwem procesu wyprowadzania funkcji.

Prymitywne funkcje

Zacznijmy od prostego problemu. Rozważmy funkcję f(x) = 2x. Teraz znajdźmy funkcję F, która, gdy jest pochodną, jest równa funkcji f. Formalnie rzecz biorąc, szukamy funkcji F takiej, że $F^{\prime}=f$ zachodzi.

Z podstawowych wzorów na obliczanie pochodnych wiemy, że jest to funkcja F(x) = x². Pochodna funkcji x² jest po prostu równa 2x. Pytanie brzmi, czy ta funkcja jest jedyną, która spełnia warunek.

Odpowiedź brzmi, że nie - jeśli dodamy dowolną stałą rzeczywistą do funkcji x², to po pochodnej otrzymamy ponownie funkcję 2x, ponieważ pochodna stałej wynosi zero. Dowolna funkcja postaci x² + c, gdzie c jest stałą rzeczywistą, może być traktowana jako funkcja, której szukamy F.

Możemy uogólnić ten problem. Biorąc pod uwagę funkcję rzeczywistą f, znajdźmy taką funkcję F, dla której $F^{\prime}(x) = f(x)$ zachodzi dla wszystkich x z D(f), ewentualnie z pewnego przedziału w dziedzinie definicji. Funkcja ta nie musi być dana jednoznacznie, ale z drugiej strony taka funkcja nie musi w ogóle istnieć.

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną względem funkcji f. Piszemy:

$$ F(x) = \int f(x) \mbox{ d}x $$

Funkcję f nazywamy całką, proces znajdowania funkcji pierwotnej nazywamy całkowaniem. Wyrażenie dx wskazuje, przez którą zmienną całkujemy. Jeśli zapiszemy przykład w następujący sposób

$$ \int 4x^3 \mbox{ d}x, $$

chcemy znaleźć funkcję pierwotną funkcji 4x³, całkując przez zmienną x. Wynikiem może być funkcja x⁴, która po wyprowadzeniu jest równa właśnie 4x³. Oczywiście możemy dodać do tej funkcji dowolną stałą rzeczywistą.

Można wykazać, że funkcja pierwotna albo nie istnieje, albo zawsze ma postać F(x)+c, gdzie c jest pewną stałą rzeczywistą - a wtedy jest ich nieskończenie wiele, ponieważ mamy nieskończenie wiele stałych rzeczywistych. Jeśli więc znajdziemy funkcję F(x), jesteśmy w stanie wygenerować wszystkie funkcje pierwotne. Jednocześnie każda funkcja, której nie wygenerowalibyśmy w ten sposób, nie jest już prymitywna w stosunku do funkcji, której szukamy.

Jeszcze kilka słów o wyrażeniu dx. Wygląda ono bardzo tajemniczo, ale tak naprawdę wskazuje tylko, przez którą zmienną całkujemy. Na przykład, jeśli mamy całkę

$$ \int a\cdot b+c \mbox{ d}b, $$

oznacza to, że całkujemy przez zmienną b, a pozostałe litery a i c działają jak stałe. Oznacza to, że zachowują się tak samo, jakby były liczbami.

Całkowanie funkcji elementarnych

Możemy łatwo wyprowadzić wzory do obliczania funkcji pierwotnych niektórych funkcji elementarnych. W całym rozdziale przyjmujemy, że c ∈ ℝ.

Zaczynamy od funkcji f(x) = 0, funkcji zerowej. Jaka funkcja będzie równa zero po wyprowadzeniu? Każda funkcja, która zawiera tylko stałą:

$$ \int 0 \mbox{ d}x = c $$

Następnie funkcja f(x) = 1. Zachodzi zależność, że $x^{\prime}=1$, więc całka z jedynki będzie równa

$$ \int 1 \mbox{ d}x = x + c $$

Następna w kolejności jest funkcja f(x) = x. Jaką funkcję musimy zderivate, aby uzyskać x jako wynik? Jeśli zderivate x², otrzymamy 2x. To prawie to, czego chcemy. Wystarczy podzielić przez dwa. Jeśli zderivate (x²)/2, otrzymamy po prostu x.

$$ \int x \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2}+c $$

Jeśli uogólnimy to na funkcję xⁿ, gdzie n ∈ ℕ, otrzymamy wzór:

$$ \int x^n \mbox{ d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c $$

Zauważ, że ta formuła nie ma zastosowania do n = −1, ponieważ dzielilibyśmy przez zero, a to nie jest przyjemne. Jeśli więc mamy n = −1, otrzymujemy funkcję f(x) = x⁻¹, która jest funkcją 1/x. Jaką funkcję musimy wyprowadzić, aby otrzymać 1/x? Jest to logarytm.

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln x+c $$

Problem polega na tym, że logarytm jest zdefiniowany tylko dla dodatnich liczb rzeczywistych, więc ta formuła nie ma zastosowania do wszystkich x z D(f). Ma jednak zastosowanie do przedziału (0, ∞). Dla przedziału (−∞, 0) po prostu zmieniamy znak w argumencie logarytmu: ln −x Łącząc to razem, możemy napisać

$$ \int \frac1x \mbox{ d}x=\ln |x|+c $$

Ten wzór obowiązuje dla wszystkich x ∈ D(f). Inne całki dla funkcji goniometrycznych, na przykład, można znaleźć w poniższej tabeli:

$$\begin{eqnarray} \int a^x \mbox{ d}x &=& \frac{a^x}{\ln a}+c\quad\mbox{ Dla } a>0, a\ne1\\ \int \sin x \mbox{ d}x &=& -\cos x+c\\ \int \cos x \mbox{ d}x &=& \sin x +c \end{eqnarray}$$

Całka z sumy

Podczas gdy obliczanie pochodnych funkcji jest zwykle dość proste i - jak to mówią - może to zrobić nawet wyszkolona małpa, ponieważ zwykle postępuje się bezpośrednio zgodnie ze wzorami, sytuacja wygląda inaczej w przypadku całek. Procedury obliczania całek są dość skomplikowane, co sprawia, że zadanie znalezienia całki jest znacznie trudniejsze niż obliczenie pochodnej. Wynika to głównie z faktu, że chociaż mamy wzór na całkę z sumy, to nie mamy już wzoru na iloczyn.

Spróbujmy obliczyć tę całkę:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x $$

Jak moglibyśmy ją obliczyć? Potrzebujemy funkcji, która po pochodnej daje x, a następnie innej funkcji, która daje 1. Wiemy już ze wzorów, że są to funkcje (x²)/2 i x. Jeśli dodamy te funkcje, otrzymamy f(x) = (x²)/2 + x. Po pochodnej tej funkcji otrzymamy x + 1. To daje nam wynik:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \frac{x^2}{2} + x + c $$

Podczas obliczeń wykorzystaliśmy jedną własność - całka z sumy jest równa sumie całek. Lub

$$ \int f(x) + g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x + \int g(x) \mbox{ d}x $$

Dotyczy to również odejmowania:

$$ \int f(x) - g(x) \mbox{ d}x = \int f(x) \mbox{ d}x - \int g(x) \mbox{ d}x $$

Mogliśmy zatem rozbić poprzedni przykład w następujący sposób:

$$ \int x+1 \mbox{ d}x = \int x \mbox{ d}x+\int 1 \mbox{ d}x $$

Rysowanie stałej

Podobne twierdzenie dotyczy również wyłączenia stałej przed całkę. Jeśli mamy całkę postaci:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x, $$

gdzie a jest pewną stałą rzeczywistą, możemy umieścić tę stałą przed całką:

$$ \int a\cdot f(x) \mbox{ d}x = a\cdot\int f(x) \mbox{ d}x $$

Przykład

Oblicz całkę:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x $$

W pierwszym kroku podzielimy tę całkę na trzy całki:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \int x^2 \mbox{ d}x+\int 6x \mbox{ d}x+\int 42 \mbox{ d}x $$

Będziemy rozwiązywać całki jedna po drugiej. Pierwszą całkę możemy rozwiązać bezpośrednio, korzystając ze wzoru na potęgi xⁿ:

$$ \int x^2 \mbox{ d}x=\frac{x^3}{3}+c $$

W drugiej całce najpierw narysujemy szóstkę:

$$ \int 6x \mbox{ d}x = 6\cdot\int x \mbox{ d}x $$

Całka x jest już ponownie wartością tablicową, jest równa (x²)/2. Otrzymujemy więc:

$$ 6\cdot\int x \mbox{ d}x = 6\cdot\left(\frac{x^2}{2}\right) = 3x^2+c $$

W ostatniej całce również najpierw wykreślamy 42:

$$ \int 42 \mbox{ d}x = 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x $$

I to znów jest wartość tablicowa:

$$ 42\cdot\int 1 \mbox{ d}x = 42x+c $$

Dodajemy te całki częściowe i otrzymujemy wynik:

$$ \int x^2+6x+42 \mbox{ d}x = \frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c $$

Jeszcze jedna uwaga - w każdej całce częściowej otrzymaliśmy stałą c, więc po zsumowaniu w wyniku powinniśmy napisać +3c zamiast +c. Jednak c jest dowolną stałą rzeczywistą, więc 3c będzie ponownie równa jakiejś liczbie rzeczywistej. Moglibyśmy zastąpić c w całkach częściowych przez c₁, c₂, c₃, a następnie powiedzieć c = c₁ + c₂ + c₃.

Zasoby

• Funkcje pierwotne, Jan Tomeček [PDF]