Zaawansowane przykłady dotyczące pochodnych

Niektóre przykłady dotyczą bardziej złożonych pochodnych niż podstawowe wzory. Jeśli potrzebujesz wyjaśnienia definicji pochodnej, przejdź do artykułu o pochodnej funkcji.

Pierwszy przykład

Zacznijmy od czegoś jeszcze niezbyt trudnego.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

Ze wzorów na pochodne funkcji wiemy, że pochodną funkcji e^x jest ponownie e^x. Niestety, nie możemy użyć tej prostej procedury bezpośrednio w tym przykładzie, ponieważ wykładnik zawiera nie tylko x, ale −x, więc musimy traktować funkcję jako funkcję złożoną. Jednak w pierwszym kroku nadal musimy ją rozłożyć za pomocą wzoru iloczynowego.

$$f^\prime(x)=(x^3)^\prime\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Wyprowadzimy lewy wielomian za pomocą klasycznego wzoru, pozostawiając resztę bez zmian:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=$$

Teraz musimy wyprowadzić ostatnią funkcję. Jak już omówiliśmy, jest to funkcja złożona, więc musimy ją wyprowadzić zgodnie z regułą dotyczącą funkcji złożonych:

$$\begin{eqnarray} f(x)&=&h(g(x))\\ f^\prime(x)&=&h^\prime (g(x))\cdot g^\prime(x) \end{eqnarray}$$

Pochodna naszej funkcji wyglądałaby więc następująco:

$$(e^{-x})^\prime=e^{-x}\cdot(-x)^\prime=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$$

Wyrażenie e^−x pozostaje takie samo, ponieważ pochodną e^x jest ponownie e^x, a w pierwszym kroku wzoru wyprowadzamy funkcję zewnętrzną i pozostawiamy funkcję wewnętrzną nieaktywną. W drugim kroku mnożymy nasz wynik pośredni przez pochodną argumentu funkcji, którym jest funkcja −x. Pochodną funkcji −x jest −1. Teraz po prostu podłączamy nasz wynik do poprzedniego wyrażenia:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot(e^{-x})^\prime=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Drugi przykład

Drugi przykład:

$$f(x)=\frac{\ln(\cos x)}{\tan x}$$

Mamy tutaj ułamek z jedną funkcją w liczniku i inną funkcją w mianowniku. Więc w pierwszym kroku wyprowadzimy zgodnie ze wzorem na dzielenie. Po zastosowaniu wzoru otrzymamy:

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot(\tan x)^\prime}{\tan^2 x}$$

Biorąc to od końca, najpierw wyprowadzimy styczną, ponieważ możemy ją wyprowadzić po prostu za pomocą podstawowego wzoru. Prawdą jest, że

$$(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^2x}.$$

Po zastosowaniu tego wzoru w liczniku ułamka otrzymujemy

$$\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}$$

Teraz musimy wyprowadzić logarytm. Niestety, wewnątrz logarytmu mamy inną funkcję zagnieżdżoną, więc otrzymujemy funkcję złożoną, a zatem musimy wyprowadzić logarytm w bardziej skomplikowany sposób jako funkcję złożoną. Samo wyprowadzenie logarytmu to 1/x, ale po x umieszczamy argument logarytmu, czyli cosinus. Następnie musimy jeszcze pomnożyć przez pochodną argumentu, czyli pochodną cosinusa. Tak więc pochodna logarytmu będzie wyglądać następująco:

$$(\ln(\cos x))^\prime=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)^\prime=-\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Mamy całkiem ładny ułamek. Jeśli dobrze pamiętasz goniometrię, wiesz, że ułamek ten jest równy tangensowi. Możemy więc napisać, że całość jest równa minus tangens:

$$(\ln(\cos x))^\prime=-\tan x$$

Wstawimy to do poprzedniego wyniku:

$$=\frac{(\ln(\cos x))^\prime\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=\frac{-\tan x\cdot\tan x-\ln(\cos x)\cdot\frac{1}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=$$

W liczniku mamy dwukrotność stycznej, więc możemy po prostu podnieść ją do kwadratu. Możemy przenieść logarytm do licznika następnego ułamka.

$$=\frac{-\tan^2 x-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2 x}=$$

Teraz możemy podzielić licznik i otrzymać dwa ułamki

$$=-\frac{\tan^2x}{\tan^2x}-\frac{\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x}}{\tan^2x}=$$

W pierwszym ułamku licznik jest równy mianownikowi, więc otrzymujemy jedynkę. W drugim ułamku możemy pozbyć się ułamka w liczniku, rozszerzając ułamek za pomocą wyrażenia cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\cdot\tan^2x}=$$

Możemy teraz rozwinąć tangens do ilorazu sin(x)/cos(x). Ale ponieważ mamy tangens podniesiony do kwadratu, otrzymujemy również licznik i mianownik podniesione do kwadratu w ułamku. Następnie możemy natychmiast obciąć cos²x.

$$=-1-\frac{\ln(\cos x)}{\cos^2x\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=-\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}-1.$$

Jest to ostateczny wynik wyprowadzenia.

Trzeci przykład

Obliczanie pochodnej funkcji

$$f(x)=x^{(x^{\frac12})}.$$

Jeśli nie widzisz tego wyraźnie - wszystkie są wykładnikami, więc "x podniesione do kwadratu". W pierwszym kroku najpierw dokonujemy dostosowania zgodnie ze wzorem:

$$x=e^{\ln x}$$

Użyj tego wzoru, aby rozłożyć na czynniki pierwsze x w naszym przykładzie:

$$f(x)=(e^{\ln x})^{x^{\frac12}}$$

Teraz stosujemy formułę do pracy z potęgami:

$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$

Usuwamy nawiasy i wstawiamy iloczyn największego wykładnika z logarytmem:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}$$

Teraz mamy funkcję w postaci, która jest łatwiejsza do wyprowadzenia. Jest to funkcja złożona i jako taką ją wyprowadzimy. Pierwsza funkcja to e^x, gdzie umieszczamy cały wykładnik po x, a druga funkcja jest w wykładniku. Zatem rozkładając otrzymamy:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime$$

Nawias wyprowadzimy jako iloczyn, więc stosujemy wzór na iloczyn.

$$(\ln x\cdot x^{\frac12})^\prime=(\ln x)^\prime\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Pochodną logarytmu jest 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot (x^{\frac12})^\prime=$$

Teraz wyprowadzamy drugie wyrażenie, korzystając z klasycznego wzoru na wyprowadzanie funkcji potęgowych. Ma to zastosowanie:

$$\left(x^{\frac12}\right)^\prime=\frac12x^{\frac12-1}=\frac12x^{-\frac12}=\frac{x^{-\frac12}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac12}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Wprowadzamy ten wynik do naszych obliczeń:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12} + \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Nadal możemy zmodyfikować pierwszy iloczyn, ponownie używając formuł, które działają z potęgami:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac12}=x^{-1}\cdot x^{\frac12}=x^{-1+\frac12}=x^{-\frac12}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Przepisujemy poprzednie wyrażenie, korzystając z obliczeń, które właśnie wykonaliśmy:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Na koniec zamieniamy logarytm na licznik ułamka:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Możemy rozwinąć pierwszy ułamek przez dwa, a następnie dodać ułamki:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Teraz możemy wrócić do całej pochodnej:

$$f^\prime(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac12}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Zastąpimy e^{ln x} przez x:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot\left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

W ten sposób otrzymamy wynik końcowy.