Granica funkcji

Granica funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Opisuje zachowanie funkcji wokół pewnego punktu, co pozwala nam na przykład zdefiniować ciągłość funkcji. Granica funkcji pomaga nam zrozumieć zachowanie funkcji nawet w punktach, w których nie jest ona w ogóle zdefiniowana.

Sąsiedztwo punktu

Zaczniemy od zdefiniowania sąsiedztwa epsilon punktu w zbiorze liczb rzeczywistych. Niech r ∈ ℝ. Mówimy wtedy, że sąsiedztwo epsilon tego punktu dla ε > 0 jest otwartym przedziałem (r−ε, r+ε). Zredukowane sąsiedztwo epsilon jest takie samo, z wyjątkiem tego, że nie zawiera punktu r. Zredukowane sąsiedztwo to (r−ε, r) ∪ (r, r+ε). Oznaczamy sąsiedztwo epsilon punktu a przez U(a, ε), a zredukowane sąsiedztwo przez R(a, ε).

Dla przykładu rozważmy liczbę pięć i jej 2-sąsiedztwo. W ten sposób obliczamy U(5, 2), który jest przedziałem (5 − 2, 5 + 2) = (3, 7). Zredukowane sąsiedztwo to R(5, 2) = (3, 5) ∪ (5, 7). To samo sąsiedztwo, tylko bez punktu piątego. Graficznie reprezentowane przez 2- sąsiedztwo punktu 5:

Zredukowane sąsiedztwo 2 wyglądałoby tak samo, z wyjątkiem tego, że niebieski punkt 5 nie zostałby uwzględniony.

Punkt zbiorczy

Następnie musimy poznać definicję punktu zbiorczego zbioru. Element a ∈ ℝ jest punktem zbiorczym zbioru M ⊆ ℝ, jeśli w każdym jego zredukowanym sąsiedztwie, choćby najmniejszym, istnieje punkt zbioru M. Dokładniej:

$$\forall \epsilon > 0: R(a, \epsilon) \cap M \ne \emptyset$$

Przykłady: każda liczba rzeczywista jest punktem masowym zbioru liczb rzeczywistych. Jeśli wybierzemy liczbę 10, zawsze możemy znaleźć liczbę rzeczywistą w dowolnym zredukowanym sąsiedztwie tego punktu. Dla $\epsilon=\frac{1}{100}$ otrzymamy zredukowane sąsiedztwo (9,99; 10) ∪ (10; 10,01). W obu przedziałach znajduje się liczba rzeczywista, a dokładniej jest ich nieskończenie wiele. Bez względu na to, jak małą wartość przyjmiemy ε, zawsze otrzymamy przedziały zawierające nieskończenie wiele liczb rzeczywistych.

Gdybyśmy wybrali zbiór liczb naturalnych jako M, nie znaleźlibyśmy żadnego punktu zbiorczego. Na przykład liczba $\frac12$ nie jest punktem masowym, ponieważ dla $\epsilon=\frac{1}{10}$ otrzymujemy przedziały (0,4; 0,5) ∪ (0,5; 0,6), z których żaden nie zawiera żadnej liczby naturalnej.

Motywacja dla ograniczeń

Zaczynamy od najprostszej definicji - granicy własnej w punkcie własnym. Najpierw zobaczmy, co właściwie chcemy obliczyć. Spójrzmy na poniższy wykres funkcji signum:

Jeśli weźmiemy punkt x₁ = 3, wartość funkcji w tym punkcie wynosi 1. Prawdą jest również, że $\mbox{sgn}(3)=1$. Jednak dla wszystkich "pobliskich" sąsiednich punktów funkcja ma wartość funkcji 1, na przykład $\mbox{sgn}(2,5)=1$ lub $\mbox{sgn}(3,5)$. Jeśli zbliżymy się do punktu x₁ = 3 od lewej lub prawej strony, wartości funkcji są zawsze równe jeden.

Ale jeśli weźmiemy punkt x₂ = 0, wtedy $\mbox{sgn}(0) = 0$ jest zachowany, podczas gdy wszystkie otaczające punkty mają inną wartość funkcji! Na przykład $\mbox{sgn}(-\frac12)=-1$ lub $\mbox{sgn}(\frac12)=1$. Wartości funkcji z prawej strony zbliżają się do wartości 1, podczas gdy wartości funkcji z lewej strony zbliżają się do wartości −1. Wreszcie, w punkcie x₂ = 0 otrzymujemy wartość funkcji 0. Zdrada. Te wartości, do których funkcja zbliża się w punkcie, są następnie nazywane granicami funkcji w punkcie.

Definicja granic własnych w punkcie

Niech f będzie funkcją, x₀ ∈ ℝ będzie punktem zbiorczym dziedziny definicji funkcji f. Wtedy mówimy, że L ∈ ℝ jest granicą funkcji f w punkcie x₀, jeśli

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).$$

Co oznacza ta definicja. Punkt właściwy w tym przypadku oznacza, że punkt jest liczbą rzeczywistą. Później omówimy granice w punktach niewłasnych, co będzie oznaczać nieskończoność. Spróbujmy obliczyć tę granicę:

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = ?. $$

Dla tak prostych funkcji granica funkcji w punkcie x₀ jest równa wartości funkcji w tym punkcie: f(x₀) Później zdefiniujemy dokładnie, co oznacza "prosta funkcja". Wykreślmy teraz wszystko na rysunku:

Czarna linia reprezentuje wykres funkcji $f(x)=\frac{x}{3}$, czerwony punkt x₀ reprezentuje punkt, w którym szukamy granicy, a zielony punkt L reprezentuje wynikową granicę. Zwróć uwagę, że wykreślamy granicę na osi y.

Postępujemy zgodnie z poniższą definicją. W pierwszym punkcie definicji $(\forall \epsilon > 0)$ to , a później ε jest używane w |f(x)−L|<ε - jest to notacja matematyczna taka, że chcemy, aby wszystkie f(x) były mniej niż ε od L. Dlatego szukamy ε- sąsiedztwa punktu L na osi y. Zgodnie z definicją możemy wybrać dowolny ε > 0, wybieramy na przykład $\epsilon = \frac{3}{10}$. Znajdujemy punkty na osi y, które znajdują się w odległości ε od punktu L:

Wszystkie punkty na osi y, które znajdują się między tymi zielonymi liniami, znajdują się w ε- wokół punktu L. Są to punkty, o których mówi definicja.

Definicja jest kontynuowana wyrażeniem $(\exists\delta>0)$, które jest dalej używane w wyrażeniu 0<|x − x₀|<δ. Mówimy, że pewna różnica x − x₀ powinna być mniejsza niż δ. Ponieważ x, x₀ znajduje się na osi x, będziemy również reprezentować wartość δ na osi x. W ten sposób wyrażenie 0<|x − x₀|<δ ponownie mówi nam, aby wziąć wszystkie x, które są mniejsze niż δ, ale także większe od zera, z x₀, tj. x ≠ x₀ Oznacza to, że ta notacja daje nam zredukowane δ-środowisko punktu x₀. W ten sposób możemy równoważnie przepisać definicję granicy za pomocą sąsiedztwa punktów:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(x\in R(x_0, \delta) \Rightarrow f(x) \in U(L, \epsilon))$$

Wracamy do poprzedniej definicji i kontynuujemy rysowanie figury: Aby to zilustrować, potrzebujemy następnej części definicji:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Zatem dla wszystkich x zredukowanego δ sąsiedztwa punktu x₀ musi zachodzić ... pewien warunek. Dodajmy do obrazka zredukowane δ-otoczenie punktu x₀, na przykład dla $\delta=\frac{3}{2}$:

Wszystkie x, które znajdują się między czerwonymi przerywanymi liniami, należą do δ-środowiska x₀, z wyjątkiem samego punktu x₀. Ponownie patrzymy na poprzedni warunek:

$$ 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon $$

Dla wszystkich x ze zredukowanego δ -środowiska punktu x₀, musi być tak, że wszystkie wartości funkcjonalne f(x) znajdują się w ε-środowisku punktu L. Bierzemy więc wszystkie x ze zredukowanego δ-środowiska punktu x₀ i obliczamy wartości funkcjonalne. Te wartości funkcjonalne są reprezentowane przez niebieską linię na poniższym rysunku:

Punkt x₀ nie znajduje się w zredukowanym sąsiedztwie, stąd okrąg w tym punkcie. Definicja mówi nam, że dla wszystkich tych niebieskich punktów musi być prawdą, że znajdują się one w ε-środowisku punktu L. Ujmując to w kolorach rysunku: wszystkie niebieskie punkty muszą znajdować się między zielonymi liniami, które reprezentują ε-środowisko. Czy jest to poprawne?

Oczywiście, że nie, na przykład dla $x=\frac{16}{10}$ oczywiście otrzymamy jakiś niebieski punkt, który nie znajduje się pomiędzy zielonymi liniami, tj. nie znajduje się w ε-środowisku L.

Ale to nie ma znaczenia, definicja mówi nam, że dla każdego ε sąsiedztwa punktu L musi istnieć jakieś δ-sąsiedztwo takie, że ... reszta warunku. Oznacza to, że wystarczy nam, jeśli istnieje jedno takie δ-środowisko. $\delta=\frac{3}{2}$ Oczywiście nie był to dobry wybór, ale możemy spróbować innego δ, na przykład $\delta=\frac12$. Obraz zmieniłby się w ten sposób:

Ponownie sprawdzamy, czy wszystkie wartości funkcji dla wszystkich x zredukowanego δ-punktu środowiska x₀ znajdują się w ε-punkcie środowiska L. Krótko mówiąc, czy wszystkie niebieskie punkty znajdują się między czerwonymi liniami. Tak, teraz są, hurra.

Czy to oznacza, że L jest granicą funkcji w punkcie x₀? Niekoniecznie, ponieważ definicja mówi, że $(\forall \epsilon > 0) \ldots$. Do tej pory sprawdziliśmy definicję dla jednego konkretnego ε, wciąż jest ... nieskończenie wiele innych do zrobienia.

Innymi słowy - aby definicja $\lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1$ była prawdziwa, musielibyśmy znaleźć dla każdego ε-środowiska jakieś δ-środowisko, które spełnia poprzedni warunek. Z rysunku widać, że zawsze możemy znaleźć takie środowisko δ, na przykład jeśli zredukujemy ε do $\epsilon=\frac{1}{10}$, to możemy zredukować δ do $\delta=\frac{2}{10}$ i to zadziała:

Niezależnie od tego, jak małe przyjmiemy ε, zawsze musimy znaleźć δ takie, że możemy uzyskać wartości funkcji w ε-środowisku granic funkcji L.

Dowód granicy własnej w punkcie własnym

Spróbujmy udowodnić poprzednią granicę. Wiemy już z rysunku, że prawdopodobnie

$$ \lim_{x\rightarrow3} \frac{x}{3} = 1, $$

Teraz spróbujemy udowodnić to matematycznie. Z rysunku możemy wywnioskować, że jeśli zawsze będziemy przyjmować taką samą wartość dla δ jak ε, to może to zadziałać. Umieśćmy więc δ = ε. Teraz musimy udowodnić, że

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{ Dla wszystkich }\quad x \in (x_0-\delta, \delta)\cup(x_0, x_0+\delta) $$

Ponieważ umieściliśmy δ = ε, zmieniamy wszystkie δ na ε:

$$ L - \epsilon < f(x) < L + \epsilon, \quad \mbox{ Dla wszystkich }\quad x \in (x_0-\epsilon, \epsilon)\cup(x_0, x_0+\epsilon) $$

Po L wstawiamy 1, a po x₀ wstawiamy 3:

$$ 1 - \epsilon < f(x) < 1 + \epsilon, \quad \mbox{ Dla wszystkich }\quad x \in (3-\epsilon, \epsilon)\cup(3, 3+\epsilon) $$

Teraz powinniśmy udowodnić wszystkie nierówności. Ponieważ funkcja $\frac{x}{3}$ jest rosnąca, musimy tylko zweryfikować skrajne punkty 3−ε i 3+ε. Zaczynając od 3−ε - wstawimy wartość ε − 3 do funkcji $\frac{x}{3}$ i pokażemy, że ta wartość zawsze spełni nierówność 1 − ε < f(x) < 1 + ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{3-\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &1-\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ -\epsilon\ &-\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\ \end{eqnarray}

To samo dotyczy 3+ε:

\begin{eqnarray} 1 - \epsilon < &f(x)& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{x}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{3+\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &\frac{3}{3}+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ 1 - \epsilon < &1+\frac{\epsilon}{3}& < 1 + \epsilon\ -\epsilon\ < &\frac{\epsilon}{3}& < \epsilon\ \end{eqnarray}

Nieprawidłowa granica

Naszkicujmy teraz, co by się stało, gdybyśmy uznali, że granicą funkcji dla x zbliżającej się do trzech jest połowa. Wybralibyśmy jakieś małe sąsiedztwo epsilon:

W tym momencie nie możemy już znaleźć takiego sąsiedztwa delta punktu x₀, którego wszystkie wartości funkcji zmieściłyby się między tymi zielonymi liniami. Widzimy, że dla wybranego sąsiedztwa δ wszystkie niebieskie punkty znajdują się poza zielonymi liniami. Jeśli powiększymy sąsiedztwo δ, zwiększymy tylko liczbę niebieskich punktów, które nie mieszczą się między zielonymi liniami.

Limita signum

Signum to fajna funkcja, która prawdopodobnie namiesza ci w głowie. Poniżej znajduje się wykres:

Wykres nie jest do końca jasny, więc opis słowny: jeśli x jest ujemne, to signum wynosi minus jeden, jeśli jest dodatnie, to plus jeden, a jeśli x wynosi zero, to signum również wynosi zero. Modyfikujemy wykres za pomocą wartości bezwzględnej f(x) = |sgn(x)|, aby uzyskać sgn(0) = 0, dla pozostałych przypadków sgn(x) = 1. Wykres:

Pytanie brzmi: ile wynosi ta granica?

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=?$$

Funkcja jest zdefiniowana w punkcie zero, a wartość funkcji jest również równa zero. Nie oznacza to jednak, że granica również będzie równa zero. Granica może różnić się od wartości funkcji w tym punkcie.

Jedynym sposobem na wybranie granicy tak, aby definicja była poprawna, jest wybranie granicy w punkcie jeden. Możemy również pomóc sobie intuicją: jaka jest wartość funkcji, jeśli x zbliża się do zera od lewej strony? Stale zbliża się do jedynki. To, że ostatecznie skacze do zera, nie przeszkadza nam. Podobnie dla x zbliżającego się do zera z prawej strony.

$$\lim_{x\rightarrow0}|\mbox{sgn}(x)|=1$$

Jeśli zachowamy funkcję w jej oryginalnej postaci, tj. f(x) = sgn(x), wówczas funkcja w punkcie zerowym nie będzie miała granicy, będzie miała dwie różne jednostronne granice. Od lewej strony x będzie zbliżać się do minus jeden, a od prawej będzie zbliżać się do plus jeden. Możesz spróbować udowodnić to z definicji.

Nieistniejące granice

Pokażemy jeszcze kilka przykładów, w których granice nie istnieją.

Najprostszym przykładem nieistniejącej granicy jest obliczenie granicy w punkcie, który nie jest punktem masowym D(f). Tak więc, na przykład, granica nie istnieje:

$$\lim_{x\rightarrow-1}\ln x$$

Wykres:

Funkcje okresowe często nie mają granicy w nieskończoności (nie dla wszystkich!). Zazwyczaj są to funkcje goniometryczne, takie jak sinus. Wykres jest następujący:

Granica w nieskończoności po prostu nie istnieje, wartość sin stale oscyluje między jeden a minus jeden, więc granicy nie można obliczyć.

Linki zewnętrzne i zasoby

• Jan Tomeček, Analiza matematyczna 1
• Rozwiązane przykłady w CUNI [PDF]