Wielu członków
Kapitoly: Wielu członków, Dzielenie wielomianów, Pierwiastek wielomianu, Rozkładanie wielomianów
Wielomian to wyrażenie zawierające zmienną x i standardowe operacje dodawania, mnożenia i potęgowania na wykładniku całkowitym. Wielomiany te można następnie dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić i mnożyć. Wielomiany są również nazywane wielomianami.
Podstawowe zależności
Przykładem prostego wielomianu jest wielomian:
$$2x^2+5x-12$$
Ogólnie rzecz biorąc, wielomian możemy zapisać w następujący sposób
$$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x^1+a_0x^0,$$
gdzie liczby rzeczywiste przed x, tj. an nazywane są współczynnikami, a n nazywane jest stopniem wielomianu. Liczba n odpowiada najwyższej potędze wielomianu, gdzie an≠0. Gdyby an było równe zero, to zasadniczo anulowalibyśmy zmienną x, do której należy współczynnik, ponieważ x do czegokolwiek wynosi zero:
$$0^3=0.$$
W pierwszym przypadku stopień wielomianu wynosi dwa, ponieważ najwyższa niezerowa potęga zmiennej x wynosi dwa. W przypadku drugiego wielomianu
$$7x^2+5x^4+15x$$
byłoby prawdą, że stopień wielomianu wynosi 4 (najwyższy wykładnik wynosi 4). Zazwyczaj wielomiany zapisujemy w kolejności malejącej w odniesieniu do użytych wykładników, więc najpierw mamy człon o najwyższej potędze. Możemy więc przepisać poprzedni wielomian w następujący sposób:
$$5x^4+7x^2+15x.$$
Widzimy, że w wielomianie brakuje wyrazu, którego zmienna miałaby wykładnik trzy i zero. Nie ma to żadnego znaczenia, po prostu wyobrażamy sobie, że współczynnik tych wyrazów wynosi zero. W rzeczywistości możemy napisać
$$5x^4+0x^3+7x^2+15x^1 + 0x^0.$$
Możemy mieć już wszystkie wyrazy, ale wielomian jest niepotrzebnie nieprzejrzysty. Zwykle pomijamy więc wyrazy zerowe.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów
Dodawanie i odejmowanie wielomianów jest dość proste. Zawsze dodajemy lub odejmujemy współczynniki wyrazów o tym samym wykładniku. Zatem
$$ax^n+bx^n=(a+b)x^n.$$
Prosty przykład:
$$3x^2+5x^2=(3+5)x^2=8x^2$$
Jeśli chcemy dodać dłuższe wielomiany, zawsze musimy wybrać człony o tym samym wykładniku przy zmiennej.
$$\begin{eqnarray} (7x^3+5x^2+x) + (2x^3-3x^2+9x) =\\ =(7+2)x^3+(5-3)x^2+(1+9)x. \end{eqnarray}$$
Jeśli wyraz o danym wykładniku nie występuje w wielomianie, pozostaje on niezmieniony (wyobraźmy sobie, że w drugim wielomianie występuje taki wyraz, ale o zerowych współczynnikach).
$$(x^3+2x)+(4x^2+5x+3)=x^3+4x^2+7x+3$$
Odejmowanie wielomianów działa tak samo jak dodawanie, z tą różnicą, że mnożymy drugi wielomian przez minus jeden, czyli zamieniamy wszystkie znaki. Poniżej znajduje się przykład:
$$(3x^2+6x)-(2x^2+14x)=(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)$$
A to już jest klasyczne dodawanie wielomianów, więc można je dodawać jak zawsze:
$$(3x^2+6x)+(-2x^2-14x)=x^2-8x$$
Przypomnijmy, że jeśli w wielomianie występuje wyraz ujemny, to po tej modyfikacji staje się on dodatni.
$$\begin{eqnarray} &&(x^2+2x)-(3x^2-10x)=\\ &=&(x^2+2x)+(-3x^2+10x)=\\ &=&-2x^2+12x \end{eqnarray}$$
Mnożenie wielomianów
Mnożąc wielomiany, mnożymy każdy człon pierwszego wielomianu przez każdy człon drugiego wielomianu. Mnożymy współczynniki normalnie, jak klasyczne liczby rzeczywiste. W przeciwieństwie do tego, po prostu dodajemy wykładniki zmiennych zgodnie z zasadami liczenia z potęgami. Poniżej znajduje się przykład:
$$(3x^2+4x)\cdot 5x^2=(3\cdot5)x^{2+2}+(4\cdot5)x^{1+2}=15x^4+20x^3$$
Ten przykład wciąż pracował z wielomianem o jednym wyrazie, więc nie ilustrował mnożenia przez wszystkie wyrazy wielomianu. Poniżej znajduje się nieco większy przykład:
$$\begin{eqnarray} &&(x^3+2x)\cdot(4x^2+7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot7)x^{3+1}+(2\cdot4)x^{1+2}+(2\cdot7)x^{1+1} \end{eqnarray}$$
Jeśli w wielomianie pojawi się znak minus, to zwykle pojawi się on w mnożeniu.
$$\begin{eqnarray} &&(x^3-2x)\cdot(4x^2-7x)=\\ &=&(1\cdot4)x^{3+2}+(1\cdot(-7))x^{3+1}+(-2\cdot4)x^{1+2}+\\ &+&(-2\cdot(-7))x^{1+1}=4x^5-7x^4-8x^3+14x^2 \end{eqnarray}$$
Modyfikowanie wielomianów
Kiedy edytujemy wielomiany, klasycznie chcemy edytować wielomian, aby go uprościć. Aby to zrobić, używamy takich rzeczy, jak rozszerzanie, obcinanie, wyciskanie, stosowanie formuł itp. Warto znać te formuły. Listę przydatnych formuł można znaleźć gdzie indziej. Wykorzystamy tutaj niektóre z nich, o których wspomnę w odpowiednim czasie. Klasyczną formułą, która jest używana, jest formuła
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Jeśli zastanawiasz się, skąd wzięła się ta formuła, po prostu ją pomnóż.
$$\begin{eqnarray} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ &=&a^2+ab+ba+b^2\\ &=&a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$$
Zaczniemy od prostego przykładu.
$$\begin{eqnarray} &&(a+b)^2+(a+2b)^2-3a\cdot2b=\\ &=&a^2+2ab+b^2+a^2+4ab+4b^2-6ab=\\ &=&2a^2+5b^2 \end{eqnarray}$$
Mnożymy dwa lewe nawiasy przez wzór, który podałem powyżej. Przypominam, że drugi nawias rozłożyliśmy jako
$$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2.$$
Inną klasyczną formułą jest
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b).$$
Oto drugi przykład, tym razem z ułamkiem W liczniku i mianowniku występują wielomiany, które postaramy się zmodyfikować tak, aby cały ułamek można było ładnie obciąć. W pierwszym kroku zastosujemy pierwszy wzór w liczniku, tylko w odwrotnej kolejności. W mianowniku stosujemy drugi wzór. Na koniec po prostu obcinamy (a + b).
$$\begin{eqnarray} \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}&=&\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=&\frac{a+b}{a-b} \end{eqnarray}$$
W trzecim przykładzie spróbujemy zastosować wykrzyknik. W liczniku najpierw wyodrębniamy 3a3, a następnie rozkładamy nawias (4a2 − 1) zgodnie ze wzorem a2 − b2, wykorzystując fakt, że
$$1^2=1^1\rightarrow(a^2-1^2)=(a+1)(a-1).$$
W mianowniku najpierw po prostu mnożymy dwa pierwsze wyrazy, również wypisujemy 3a3, a na koniec wszystko obcinamy.
$$\begin{eqnarray} \frac{12a^5-3a^3}{2a^2\cdot3a^2+3a^3}&=&\frac{3a^3(4a^2-1)}{6a^4+3a^3}\\ &=&\frac{3a^3(2a+1)(2a-1)}{3a^3(2a+1)}\\ &=&2a-1 \end{eqnarray}$$