Równania goniometryczne

Równania goniometryczne to równania zawierające pewną funkcję goniometryczną, czyli sinus, cosinus, tangens lub cotangens.

Podstawowe równanie goniometryczne

Rozważmy równanie sin x = 0. Dla jakich x to równanie będzie poprawne? Kiedy sinus jest równy zero? Zacznijmy od spojrzenia na wykres:

Okazuje się, że sin x równa się zero dość często. W szczególności dla wartości −π, 0, π, 2π i wielu innych. Ponieważ sinus jest funkcją okresową, między rozwiązaniami równania będą występować regularne odstępy czasu - w tym przypadku odstępy o długości π. Dlatego zbiór wszystkich rozwiązań tego równania można zapisać jako zbiór, oznaczmy go R, który definiujemy w następujący sposób:

$$ R = {K\cdot\pi | K \in \mathbb{Z}} $$

Są to więc wszystkie K-fałdy Pi, gdzie K jest liczbą całkowitą. W ten sposób opisaliśmy zbiór wszystkich rozwiązań równania sin x = 0.

Przypomnijmy, że sinus i cosinus mają zakres wartości na przedziale <−1, 1>, więc równanie sin x = 2 nie ma rozwiązania, ponieważ nie jesteśmy w stanie znaleźć jednego x, dla którego wyrażenie sin x miałoby wartość większą niż jeden. Oczywiście równanie 3 · sin x = 2 ma już rozwiązanie, ponieważ możemy podzielić całe wyrażenie przez trzy, a liczba po prawej stronie będzie już mniejsza niż jeden. Szukalibyśmy pierwiastków równania sin x = 2/3.

Obliczanie prostego przykładu

Proste równania goniometryczne rozwiązujemy, odczytując wartość na przykład z wykresu lub koła jednostkowego i znajdując okres, który należy dodać do wyniku. Na przykład, rozwiąż równanie

$$ \sin x = \frac12 $$

Powyżej mamy wykres funkcji sinus, więc sprawdzamy, kiedy krzywa ma wartość $\frac12$. Okazuje się, że ma to miejsce w przypadku 1/6π i 5/6π. Zdecydowanie zalecam zapoznanie się z podstawowymi wartościami tablicowymi funkcji goniometrycznych, bez nich nawet spojrzenie na wykres nie pomoże.

Teraz będziemy musieli określić okres, aby wiedzieć, jak skonstruować zbiór wszystkich rozwiązań. Funkcja sinus ma okres 2π - jeśli spojrzysz na wykres, zobaczysz, że za każdym razem po 2π funkcja zaczyna się powtarzać.

Jeśli więc istnieje jedno rozwiązanie równania 1/6π, to każda liczba 1/6π + 2Kπ, gdzie K jest liczbą całkowitą, musi być rozwiązaniem równania, ponieważ w tym punkcie funkcja sinus ma tę samą wartość funkcyjną. Adres 2K wskazuje tylko, że chcemy tylko parzystych liczb całkowitych. Jeśli po K wstawimy dowolną liczbę całkowitą i pomnożymy ją przez dwa, otrzymamy liczbę parzystą. Dokładnie to samo dotyczy drugiego pierwiastka, 5/6π. W punktach 5/6π, 5/6π + 14π i 5/6π − 82π funkcja sin x ma tę samą wartość funkcyjną, więc wszystkie 5/6π + 2Kπ rozwiążą równanie.

Zapisz wynikowy zbiór R, który będzie połączeniem dwóch poprzednich wyników:

$$ R = \left\{\frac16\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\frac56\pi+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Graficznie możemy przedstawić rozwiązanie jako przecięcie wykresów funkcji sin x (czerwony wykres) i funkcji $y = \frac12$ (zielony wykres).

Na przykład, jeśli umieścimy K = 0 po K, otrzymamy rozwiązanie:

$$\begin{eqnarray} x_1 &=& \frac16\pi+2K\pi = \frac16\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac16\pi\\ x_2 &=& \frac56\pi+2K\pi = \frac56\pi+2\cdot0\cdot\pi=\frac56\pi \end{eqnarray}$$

Czyli x₁ = 1/6π i x₂ = 5/6π. Na rysunku odpowiadające im punkty to B i C, ponieważ ich x-współrzędne to odpowiednio 1/6π i 5/6π. Gdybyśmy podstawili K = 1, otrzymalibyśmy punkty D i E.

Podstawienie

Jeśli mamy bardziej złożone wyrażenie w funkcji, możemy użyć podstawienia lub zastąpienia. Na przykład, jeśli chcemy obliczyć wynik równania sin 2x = 1, podstawiamy (dokonujemy podstawienia) a = 2x, a następnie obliczamy równanie w postaci sin a = 1, tak jak pokazaliśmy w poprzednim rozdziale. Podstawienie zwykle polega na wzięciu argumentów funkcji, w tym przypadku 2x, i zastąpieniu ich inną niewiadomą. Możemy nazwać ją praktycznie wszystkim, tutaj wybraliśmy nazwę a. Możemy łatwo zastąpić q = 2x lub pomeranč = 2x i napisać sin pomeranč = 1.

W ten sposób podstawienie upraszcza wyrażenie, które obecnie obliczamy. Faktem, że wyrażenie a jest w rzeczywistości równe 2x zajmiemy się później.

Teraz rozwiązujemy równanie sin a = 1, gdzie a jest niewiadomą. Szukamy więc sytuacji, w której sinus jest równy jeden. Okazuje się, że sinus jest równy jeden, gdy π/2 + 2Kπ. Korzenie sin a = 1 są więc wartościami zbioru

$$ R = \left\{\frac{\pi}{2}+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\}. $$

Na koniec musimy jeszcze pamiętać o naszym podstawieniu - musimy je cofnąć. Wiemy, że rozwiązaniem równania sin a = 1 są elementy poprzedniego zbioru R. Chcemy jednak poznać rozwiązanie innego równania, sin 2x = 1. Wiemy jednak, że a = 2x.

Próbujemy wziąć jedno konkretne rozwiązanie ze zbioru rozwiązań R, na przykład dla K = 1 otrzymujemy konkretne rozwiązanie a = π/2 + 2π. W tym momencie równanie sin a = 1 ma rozwiązanie. Ponieważ a = 2x, prawdą jest również, że 2x = π/2 + 2π (po prostu napisaliśmy 2x zamiast a ).

Ale nie interesuje nas 2x, interesuje nas wartość x, więc dzielimy całe równanie przez dwa. W ten sposób otrzymujemy równanie x = π/4+π. Uzyskaliśmy w ten sposób jedno konkretne rozwiązanie równania sin 2x = 1.

Jeśli chcemy uzyskać wszystkie rozwiązania, musimy wykonać tę modyfikację ze wszystkimi elementami zbioru R. Konstruujemy równanie w następujący sposób:

$$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2K\pi $$

i izolujemy x, co oznacza, że dzielimy całe równanie przez dwa:

$$ x = \frac{\pi}{4} + K\pi $$

To jest wynikowe rozwiązanie. Zapiszmy je jako nowy zbiór R':

$$ R' = \left\{\frac{\pi}{4} + K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

Ponownie możemy sprawdzić poprawność rozwiązania graficznie. Na czerwono przedstawiono wykres funkcji sin 2x, a na zielono funkcji y = 1.

Jeśli podstawimy K = 0 za K, otrzymamy x = π/4, który reprezentuje punkt C. Jeśli podstawimy K = 2, otrzymamy x = π/4 + 2π, który reprezentuje punkt E.

Wzór

Dodawanie za pomocą równań goniometrycznych często wykorzystuje różne formuły, które powinieneś znać. Niektóre z nich są podstawowe, inne bardziej skomplikowane. Wzory goniometryczne zostały przeniesione na własną stronę, więc warto tam zajrzeć.

Przykłady

1. Rozwiąż równanie sin (3x−π/2) = 0.

   Użyj prostego podstawienia a = 3x−π/2, aby rozwiązać równanie sin a = 0. Wiemy już, że sinus jest równy zero dla a = Kπ. Dodajemy więc podstawienie i obliczamy równanie:

   $$ 3x-\frac{\pi}{2} = K\pi $$

   Najpierw zamieniamy π/2 na lewą stronę, czyli dodajemy π/2 do równania :

   $$ 3x = K\pi + \frac{\pi}{2} $$

   Teraz dzielimy równanie przez trzy:

   $$ x = \frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6} $$

   Wynikiem jest więc zbiór R₁, zdefiniowany w następujący sposób:

   $$ R_1 = \left\{\frac{K\pi}{3} + \frac{\pi}{6}|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Rysunek ponownie:

   

   Dla K = 1 otrzymujemy x = π/3 + π/6 = π/2, czyli punkt E.

2. Rozwiąż równanie cos²x − sin x = 1.

   Najpierw korzystamy ze wzoru i rozkładamy cos² x na 1 − sin² x. Wstawiamy z powrotem do równania i otrzymujemy:

   $$\begin{eqnarray} 1-\sin^2x-\sin x &=& 1\\ \sin^2x+\sin x &=& 0 \end{eqnarray}$$

   Teraz wykreślamy sin x:

   $$ \sin x (\sin(x) + 1) = 0 $$

   Ponieważ mamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, a po prawej stronie mamy zero, rozwiążemy równania sin x = 0 i sin(x) + 1 = 0 osobno, ponieważ cała lewa strona będzie zerowa, jeśli co najmniej jeden czynnik będzie zerowy.

   Rozwiązaliśmy już równanie sin x = 0 kilka razy, rozwiązaniem jest x postaci Kπ, gdzie K jest liczbą całkowitą.

   Przekształcamy drugie równanie, sin(x) + 1 = 0 do równania sin(x) = −1. Sinus jest równy minus jeden dla wartości 3/2π + 2Kπ.

   Wszystkie elementy wynikowego zbioru R₂ są następnie otrzymywane przez połączenie.

   $$ R_2 = \left\{\frac32\pi + 2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Rysunek:

   

   Widzimy, że punkty A, C, D i F mają x-współrzędne wielokrotności π, więc punkty te są opisane przez właściwy zbiór w poprzedniej unifikacji. Jeśli podstawimy wartość K = 0 za K w lewym zbiorze w unii, otrzymamy x = 3π/2, który odpowiada punktowi E, a jeśli podstawimy K = −1, otrzymamy x = 3π/2 − 2π = π/2, który odpowiada punktowi B.

3. Oblicz równanie cos² x − sin²x + cos x = 0.

   W pierwszym kroku stosujemy wzór sin²x = 1−cos²x i rozkładamy sinus do kwadratu:

   $$\begin{eqnarray} \cos^2x-(1-\cos^2x)+\cos x = 0\\ \cos^2x -1+\cos^2x+\cos x = 0\\ \end{eqnarray}$$

   W kolejnym kroku dodajemy je do siebie:

   $$ 2\cos^2x+\cos x-1=0 $$

   Na koniec dokonujemy podstawienia a = cos x.

   $$ 2a^2+a-1=0 $$

   Rozwiązujemy to już jako proste równanie kwadratowe. Wyniki:

   $$ a_1 = -1, a_2=\frac12 $$

   Na koniec cofamy podstawienie i rozwiązujemy parę równań cos x = −1 i $\cos x = \frac12$ i ujednolicamy otrzymane zbiory. To równanie jest już proste i rozwiązaliśmy je powyżej.

4. Rozwiąż równanie sin²x−cos²x = 1.

   Najpierw stosujemy klasyczny wzór i wyrażamy cosinus w postaci sinusa. Otrzymujemy:

   $$ 2\sin^2x=2 $$

   Dzielimy przez dwa i odejmujemy jeden:

   $$ \sin^2x-1=0 $$

   Teraz stosujemy wzór a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$ (\sin(x) - 1)\cdot(\sin(x) + 1) = 0 $$

   Iloczyn dwóch wyrazów jest równy zero, jeśli co najmniej jeden z wyrazów jest równy zero. Wiemy już, kiedy sin x = 1 i sin x = −1. Rozwiązaniem równania goniometrycznego jest:

   $$ R_4 = \left\{\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} \cup \left\{3\pi/2+2K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} = \left\{\pi/2+K\pi|K\in\mathbb{Z}\right\} $$

   Rysunek: