Układy równań
W praktyce często spotykamy się z przypadkiem, w którym nie obliczamy jednego równania, ale dwa równania jednocześnie (lub nawet więcej). Najpierw pokażemy, jak rozwiązać taki układ równań metodą dodawania. Aby rozwiązać układ równań za pomocą macierzy, przejdź do artykułu Układy równań liniowych.
Podstawy
Układ równań reprezentuje wiele równań, które rozwiązujemy razem. Zwykle w układzie równań występuje więcej niż jedna zmienna, więc staramy się znaleźć kombinację liczb, która po podstawieniu wszystkich zmiennych sprawi, że wszystkie równania będą miały sens.
Przykładem układu równań może być ten układ:
$$\begin{array}{ccccc} a&+&b&=&0\\ 2a&+&b&=&10 \end{array}$$
Wynikiem tego układu powinna być para (lub zestaw par) liczb, które podstawimy za zmienne a i b, przy czym oba równania pozostaną poprawne. Możemy zauważyć, że zmienna a musi być równa −b, aby równanie a + b = 0 było spełnione. Jeśli mamy tę wiedzę, to z drugiego równania możemy łatwo wywnioskować, że a = 10 i b = −10. Po podstawieniu otrzymujemy:
$$\begin{array}{ccccc} 10&-&10&=&0\\ 2\cdot10&-&10&=&10 \end{array}$$
Tak więc, rozwiązaliśmy na oko, teraz przejdźmy do niektórych algorytmów funkcyjnych do rozwiązywania układów równań.
Metoda dodawania
W metodzie podstawiania wyrażamy jedną z niewiadomych w jednym równaniu, a następnie podłączamy ten wynik do drugiego równania. Na początek będziemy potrzebować jakiegoś układu. Takiego jak ten:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$
Jest to prosty układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Naszym zadaniem jest wyrażenie zmiennych x i y tak, aby oba równania miały sens. Z pierwszego równania wyodrębniamy y. Bierzemy więc pierwsze równanie i wyodrębniamy y.
$$4x+2y=6$$
Pierwszą rzeczą, którą robimy, jest odjęcie 4x:
$$2y=6-4x$$
Dzielimy przez dwa:
$$y=3-2x$$
Teraz wiemy, ile wynosi y. Możemy zastąpić ten wynik po zmiennej y w drugim równaniu. Tak więc w drugim równaniu, zamiast y, piszemy 3 − 2x. Co w ten sposób osiągamy? Osiągamy to, że nie mamy dwóch zmiennych w drugim równaniu, ale tylko jedną, ponieważ zastępujemy wyrażenie, które zawiera tylko zmienną x zamiast zmiennej y. Będziemy więc dodawać:
$$\begin{array}{lllll} 5x&-&3y&=&13\quad/y=3-2x\\ 5x&-&3(3-2x)&=&13 \end{array}$$
Teraz po prostu pomnożymy nawiasy i dodamy to, co możemy:
$$\begin{array}{rrrll} 5x&-&3(3-2x)&=&13\\ 5x&-&(9-6x)&=&13\\ 5x&-&9+6x&=&13\\ &&11x-9&=&13\\ &&11x&=&22\\ &&x&=&2 \end{array}$$
Teraz znamy wartość x, która wynosi dwa. Pozostaje nam obliczyć wartość y. Robimy to, podłączając już znaną wartość x do równania, które zawiera zarówno zmienne x, jak i y. Na przykład, możemy wybrać pierwsze równanie. Dodajemy w następujący sposób:
$$\begin{array}{rrcll} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2\\ 4\cdot2&+&2y&=&6\\ &&2y&=&6-8\\ &&2y&=&-2\\ &&y&=&-1\\ \end{array}$$
To rozwiązuje układ. Układ równań ma jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2 i y = −1. Jeśli chcesz sprawdzić ten wynik, po prostu dodaj do obu równań. Tak więc, podstawiając do pierwszego równania:
$$\begin{array}{rrrcl} 4x&+&2y&=&6\quad/x=2, y=-1\\ 4\cdot2&+&2\cdot(-1)&=&6\\ 8&-&2&=&6\\ &&6&=&6 \end{array}$$
I podstawiając do drugiego równania:
$$\begin{array}{rrrcl} 5x&-&3y&=&13\quad/x=2, y=-1\\ 5\cdot2&-&3\cdot(-1)&=&13\\ 10&+&3&=&13\\ &&13&=&13 \end{array}$$
Metoda dodawania
Preferuję tę metodę, ale oczywiście zależy to od konkretnego przykładu. Nie zawsze pasuje. Zasada metody dodawania polega na tym, że dodawanie równań jest równoważną korektą podczas rozwiązywania równań. Dodawanie równań odbywa się zatem poprzez dodanie lewej strony jednego równania do lewej strony drugiego równania, a następnie dodanie prawych stron równań. Ogólnie rzecz biorąc, mamy następujący układ równań:
$$\begin{array}{rrrcl} f_1(x)&+&g_1(y)&=&a\\ f_2(x)&+&g_2(y)&=&b \end{array}$$
Sumując te równania, otrzymalibyśmy jedno równanie zdefiniowane w następujący sposób:
$$f_1(x)+f_2(x)+g_1(y)+g_2(y)=a+b$$
Dodajemy osobno lewe strony i osobno prawe strony. Ale jaki będzie nasz cel? Jeśli dodamy dwa równania i pozostaną nam dwie zmienne, nie zrobimy nic dobrego. Dlatego staramy się sprawić, by jedna zmienna zniknęła po dodaniu dwóch równań, czyli sprawić, by odjęły się od siebie, anulowały się nawzajem. Próbujemy więc sprawić, by suma jednej z par funkcji, f lub g, wynosiła zero:
$$f_1(x)+f_2(x)=0 \quad\vee\quad g_1(y)+g_2(y)=0$$
Jak to osiągnąć? Układ równań zawiera zwykłe równania, do których możemy zastosować równoważne modyfikacje równań, jakie znamy ze zwykłych typów równań. Dlatego możemy pomnożyć dowolne z równań przez liczbę, a ważność równania się nie zmieni. Spróbujmy więc rozwiązać poprzedni układ równań metodą dodawania. Problem jest ten sam:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\\ 5x&-&3y&=&13 \end{array}$$
Gdybyśmy od razu dodali równania, pozostałyby nam obie zmienne:
$$4x+5x\ne0,\qquad2y-3y\ne0$$
Dlatego musimy najpierw zastosować pewne korekty. Spróbujemy sprawić, aby zmienna y"zniknęła". Aby to zrobić, potrzebujemy, aby współczynnik przed y w obu równaniach był równy, z wyjątkiem znaku - musi być przeciwny. Szukamy więc najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą jest 6. Prostą procedurą jest pomnożenie współczynników: dwa razy trzy to sześć - więc liczba sześć jest zdecydowanie podzielna przez obie liczby (uwaga: ta procedura nie zapewnia najmniejszej wspólnej wielokrotności, ale znajduje liczbę, która jest podzielna przez oba współczynniki).
Teraz staramy się uzyskać szóstkę przed y w każdym równaniu. Mnożymy więc pierwsze równanie przez trzy, a drugie przez dwa:
$$\begin{array}{ccccc} 4x&+&2y&=&6\quad/\cdot3\\ 5x&-&3y&=&13\quad/\cdot2 \end{array}$$
Otrzymujemy:
$$\begin{array}{ccccc} 12x&+&6y&=&18\\ 10x&-&6y&=&26 \end{array}$$
Teraz dodajemy równania:
$$\begin{eqnarray} 12x+10x+6y-6y&=&18+26\\ 22x+0y&=&44 \end{eqnarray}$$
To daje nam jedno równanie z jedną niewiadomą, które możemy łatwo rozwiązać:
$$\begin{eqnarray} 22x+0y&=&44\\ 22x&=&44\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$
Widzimy, że otrzymaliśmy taki sam wynik, jak w przypadku poprzedniej metody, czyli metody dodawania. Teraz wystarczy ponownie wstawić y do równania, aby uzyskać wynik y = −1. Test również będzie działał dokładnie tak samo.
Liczba rozwiązań
Układ równań nie musi mieć tylko jednego rozwiązania. Może mieć nieskończenie wiele rozwiązań lub odwrotnie, nie mieć ich wcale. Krótko o tym, kiedy tak się dzieje. Jeśli mamy dwa równania z dwiema niewiadomymi i możemy wyrazić jedno z tych równań za pomocą drugiego równania, stosując do niego pewną równoważną obróbkę, wówczas układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jako przykład rozważmy układ
$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ 2x&+&2y&=&4 \end{array}$$
Widzimy, że jeśli pomnożymy pierwsze równanie przez dwa, otrzymamy dokładnie drugie równanie. Drugie równanie nie daje nam zatem żadnych "nowych informacji" o układzie, więc jest praktycznie bezużyteczne. Ogólny efekt tego jest taki, że każde rozwiązanie równania
$$x+y=2$$
jest również rozwiązaniem całego układu. Na przykład pary (1,1) lub (−3, 5) są zarówno rozwiązaniami pierwszego równania, jak i całego układu.
Układ nie ma wtedy żadnego rozwiązania, mamy w nim kilka sprzecznych równań, które nie mogą być ważne w tym samym czasie. Na przykład:
$$\begin{array}{rrrcl} x&+&y&=&2\\ x&+&y&=&4 \end{array}$$
Nie może być prawdą, że suma x + y równa się jednocześnie dwa i cztery, dlatego układ nie ma rozwiązania. Jeszcze kilka przykładów:
Pierwszy przykład
Oblicz następujący układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
$$\begin{array}{rrrcl} 7x&+&3y&=&21\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$
Po rzucie oka na układ widzimy, że jest on adeptem metody dodawania. Współczynnik u x w drugim równaniu jest dwa razy większy niż w pierwszym równaniu, a współczynnik u y w drugim równaniu jest trzy razy większy. Wystarczy więc pomnożyć pierwsze równanie przez minus dwa lub minus trzy i dodać równania. Na przykład, próbujemy odjąć zmienną y, więc mnożymy pierwsze równanie przez −2. Otrzymujemy:
$$\begin{array}{rrrcl} -14x&-&6y&=&-42\\ 14x&+&9y&=&0 \end{array}$$
Dodajemy dwa równania i otrzymujemy
$$\begin{eqnarray} 14x-14x+9y-6y&=&-42\\ 3y&=&-42\\ y&=&-14 \end{eqnarray}$$
Mamy pierwszy wynik naszego systemu. Podłączamy ten wynik do jakiegoś równania, możemy podłączyć go z powrotem do pierwszego równania:
$$\begin{eqnarray} 7x+3y&=&21\quad/y=-14\\ 7x+3\cdot(-14)&=&21\\ 7x-42&=&21\\ 7x&=&63\\ x&=&9 \end{eqnarray}$$
Mamy więc wynik układu równań, x = 9 i y = −14.
Drugi przykład
Oblicz następujący układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
$$\begin{array}{rcl} (x + 4)(y - 2)& =& (x - 2)(y + 13)\\ (x - 1)(y - 3) &= &(x + 2)(y - 5) \end{array}$$
Wygląda to trochę dziko, ale zadziała. Przede wszystkim musimy pomnożyć nawiasy, bez tego nigdzie nie dojdziemy.
$$\begin{eqnarray} xy - 2x + 4y - 8 &=& xy + 13x - 2y - 26\\ xy - 3x - y + 3 &=& xy - 5x + 2y - 10 \end{eqnarray}$$
Teraz zmieńmy układ równań na bardziej użyteczną formę, przenosząc zmienne na lewą stronę równania, a wyrazy bezwzględne na prawą, a następnie odejmijmy to, co możemy.
$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 2x &-& 3y& =& -13 \end{array}$$
Teraz mamy całkiem użyteczny układ równań z tych brzydko wyglądających równań i możemy zastosować niektóre z klasycznych procedur. Możemy na przykład pomnożyć drugie równanie przez dwa i dodać je do pierwszego równania. Po pomnożeniu drugiego równania przez dwa otrzymujemy:
$$\begin{array}{rrrcl} -15x& +& 6y &=& -18\\ 4x &-& 6y& =& -26 \end{array}$$
Teraz dodajemy dwa równania przy użyciu klasycznej metody dodawania:
$$\begin{eqnarray} 4x-15x+6y-6y&=&-18-26\\ -11x&=&-44\\ 11x&=&44\\ x&=&4 \end{eqnarray}$$
Świetnie, znamy teraz jeden wynik. Wstawiamy ten wynik do jednego z równań i obliczamy y. Na przykład, możemy podstawić 2x− 3y = −13 do równania i otrzymać:
$$\begin{eqnarray} 2x - 3y &=& -13\quad/x=4\\ 8 - 3y &=& -13\\ -3y &=& -21\\ -y &=& -7\\ y&=&7 \end{eqnarray}$$
Mamy teraz kompletny wynik układu równań - ma on rozwiązanie, jeśli x = 4 i y = 7.