Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie, które zawiera jedną niewiadomą pomnożoną przez drugą. Jeśli równanie zawiera niewiadomą, która jest mnożona do wyższego wykładnika niż druga, to nie jest to już równanie kwadratowe.

Opis równania kwadratowego

Podstawowa postać równania kwadratowego jest następująca:

$$ax^2+bx+c=0$$

Wartości a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a wartość a jest różna od zera. Inne nazwy:

• ax² nazywany jest członem kwadratowym,
• bx nazywany jest członem liniowym,
• c nazywany jest członem bezwzględnym.

Każde równanie kwadratowe można zmodyfikować do jego podstawowej postaci za pomocą równoważnych modyfikacji lub innych modyfikacji. Przykładem równania kwadratowego może być poniższe równanie:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Trudniejszym pytaniem może być już to, czy jest to również równanie kwadratowe:

$$(x+1)\cdot(x+2)=7.$$

Nigdzie nie widać x², a po prawej stronie nie ma zera. Aby rozwiązać prawą stronę, po prostu odejmij siedem, aby uzyskać postać

$$(x+1)\cdot(x+2)-7=0.$$

Nadal nie ma x². Mnożąc nawiasy, otrzymujemy:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Mamy teraz x². Dodając je, otrzymujemy podstawową postać równania kwadratowego:

$$x^2+3x-5=0.$$

A co z poniższym przykładem, czy jest to równanie kwadratowe? Czy można je przekształcić do postaci podstawowej?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Odpowiedź brzmi: nie. Ponieważ jeśli pomnożymy całe równanie przez zmienną x, aby pozbyć się zmiennej w mianowniku ułamka, otrzymamy:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Teraz mamy x³, które nie może być w równaniu kwadratowym.

Istnieją specjalne typy równań kwadratowych, w zależności od wartości współczynników a, b i c.

Wartości współczynników

W następnych rozdziałach absolutnie kluczowe jest, abyś potrafił zidentyfikować współczynniki a, b i c. Zacznijmy od prostego przykładu. Wyznacz współczynniki równania 3x² + 4x + 7 = 0. Oto prosty przykład: a = 3, b = 4 i c = 7.

A co na przykład z równaniem 3x² − x + 2 = 0? Wartości a i c są jasne, a = 3 i c = 2, ale co z b? Błędem byłoby napisanie, że b = 1. Wyobraź sobie, że x jest poprzedzone jedynką, tak jak poniżej: 3x² − 1x + 2 = 0. Teraz może być bardziej oczywiste, że b = −1.

Inny interesujący przykład: x² − 3 = 0. Tutaj znowu może być problem ze współczynnikiem b, pozostałe są oczywiste: a = 1 i c = −3. Jaka jest wartość współczynnika b? Wyrażenie liniowe w ogóle nie pojawia się w tym równaniu, jest ono takie samo, jakbyśmy zapisali równanie w postaci x² + 0x − 3 = 0. Prawdą jest więc, że b = 0.

Bardziej skomplikowany przykład:

$$5x^2+3x+\pi\cdot x=0$$

W tym równaniu występują dwie zdrady. Nie ma wyrażenia bezwzględnego, więc c = 0. Wyrażenie kwadratowe jest oczywiste, więc a = 5. Ale co z przeklętym b? Możemy jeszcze trochę zmodyfikować równanie, wyodrębnimy zmienną x z dwóch wyrażeń w następujący sposób:

$$5x^2+(3+\pi)x=0$$

Współczynnik b jest ponownie tym, co jest "przed" zmienną x, więc cały nawias jest równy współczynnikowi b = (3+π). Podobne równanie:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Pierwsze dwa współczynniki są oczywiste: a = −1 i b = 4. Jaki jest wyraz bezwzględny? Są to pozostałe warunki, w których nie ma x. Tak więc, $c=1-\sqrt{2}$. Nie martw się o pierwiastek kwadratowy, nie gryzie, to normalna liczba.

Jakie są wartości tego równania? (x + 1)(x + 2) = −2x Najpierw musimy zmodyfikować równanie do jego podstawowej postaci. Mnożymy nawiasy i otrzymujemy

$$x^2+3x+2=-2x$$

a na koniec dodajemy do równania 2x, aby uzyskać zero po prawej stronie:

$$x^2+5x+2=0.$$

Wartości są już oczywiste: a = 1, b = 5, c = 2.

Równanie czysto kwadratowe

Jeśli b = 0 jest równaniem czysto kwadratowym, to rozwiązuje się je podobnie jak równanie liniowe. Równanie to ma zatem postać podstawową:

$$ax^2+c=0$$

Ponieważ b = 0, cały wyraz liniowy bx wypada z równania, ponieważ 0x = 0. Rozwiązujemy równanie, najpierw odejmując wyraz bezwzględny. Oznacza to, że odejmujemy wartość c od równania. W ten sposób otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} ax^2+c&=&0\quad/-c\\ ax^2&=&-c \end{eqnarray}$$

Następnie dzielimy równanie przez a. Otrzymujemy postać:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Na koniec odejmujemy całe równanie. Ułamek po prawej stronie nie może być ujemny, ponieważ nie można odjąć liczby ujemnej. Otrzymujemy wynik:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},\quad x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Zauważ, że otrzymujemy dwa wyniki, jeden dodatni i jeden ujemny. Będzie to lepiej widoczne w przykładzie. Obliczmy równanie

$$2x^2-8=0.$$

Postępując zgodnie z procedurą, najpierw odejmujemy człon c. Zauważ, że człon c jest w tym przypadku prawdopodobnie ujemny, więc odejmujemy liczbę ujemną, dodając w ten sposób liczbę dodatnią. Dodajemy więc +8 do całego równania (celem jest uzyskanie 8 po prawej stronie). Otrzymujemy postać:

$$2x^2=8$$

Następnie postępujemy zgodnie z procedurą dzielenia równania przez a, czyli przez dwa. Po podzieleniu otrzymujemy postać:

$$x^2=4$$

Teraz odejmujemy.

$$x_1=2,\quad x_2=-2$$

Dlaczego jest minus dwa? Ponieważ minus dwa razy minus dwa to cztery. Możemy również przyjrzeć się rozwiązaniu graficznemu: widzimy, że wykres funkcji 2x² − 8 = 0 przecina oś x w punktach x₁ = −2 i x₂ = 2.

Rozwiąż równanie

$$80x^2-5=0.$$

Dodaj pięć do równania:

$$80x^2=5$$

Podziel przez 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Obetnij ułamek:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Odjąć:

$$x_1=\frac14,\quad x_2=-\frac14$$

Równanie kwadratowe bez członu bezwzględnego

Innym szczególnym przypadkiem równania kwadratowego jest sytuacja, w której człon bezwzględny c wynosi zero. Równanie to ma postać podstawową:

$$ax^2+bx=0$$

Ten typ równania jest rozwiązywany przez przesunięcie niewiadomej:

$$x(ax + b) = 0.$$

Tutaj możemy już zobaczyć dość jasny wynik. Ponownie pojawią się dwa pierwiastki równania, ale jeden z nich zawsze będzie równy zero. W rzeczywistości cała lewa strona ma postać iloczynu dwóch wyrażeń: x i nawiasu (ax + b). Kiedy ten iloczyn jest równy zero? Gdy co najmniej jedno z tych wyrażeń jest równe zero. Zatem lewa strona jest równa zero w dwóch przypadkach:

$$x=0\quad\mbox{ Lub }\quad ax+b=0.$$

Mamy już pierwszy wynik równania, więc jest on równy zero. Następny wynik otrzymamy, jeśli rozwiążemy równanie liniowe ax + b = 0. Z artykułu o równaniach liniowych wiemy, że równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest równe:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Możemy więc teraz zapisać wynik całego równania kwadratowego ax² + bx = 0:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac{b}{a}.$$

Przykład:

$$6x^2+3x=0$$

Wydrukujmy x:

$$x(6x+3)=0$$

Pierwszym rozwiązaniem jest x = 0. Drugie rozwiązanie znajdziemy rozwiązując równanie liniowe 6x + 3 = 0:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac36=-\frac12.$$

Zapiszmy wynik:

$$x_1=0,\quad x_2=-\frac12.$$

Ponownie możemy spojrzeć na wykres funkcji, która przecina oś x w tych punktach:

Inne sposoby rozwiązywania

Były to podstawowe techniki dla określonych typów równań kwadratowych. Ogólne równanie kwadratowe jest rozwiązywane przy użyciu wyróżnika. Inne typy równań obejmują równanie kwadratowe z parametrem.