Równania wykładnicze

Zwykłe równanie staje się wykładnicze, jeśli zawiera zmienną w wykładniku. Ogólnie rzecz biorąc, możemy zapisać równanie wykładnicze w następujący sposób: $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, gdzie a, b>0. Typowym przykładem równania wykładniczego może być 2^x = 8. Tutaj jest dość oczywiste, że wynikiem będzie liczba trzy, ponieważ dwa do trzeciego to osiem. A teraz nieco bardziej matematyczna procedura.

Proste równanie wykładnicze

Jeśli chcemy rozwiązać równanie wykładnicze, bardzo wygodnie jest dostosować równanie do postaci $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, gdzie a = b. Jest to oczywiste, ponieważ jeśli mamy te same podstawy, potęgi będą równe, jeśli wykładniki są również równe. Obliczamy więc tylko równanie f(x) = g(x). Możemy zmodyfikować poprzedni przykład w następujący sposób: odejmujemy ósmą potęgę 2^x = 2³, a następnie otrzymujemy te same podstawy, więc umieszczamy tylko dwa wykładniki w równaniu i otrzymujemy wynik x = 3. Możemy uczynić przykład trudniejszym, na przykład: 2^2x = 8 i po modyfikacji ponownie otrzymujemy 2^2x = 2³ i obliczamy 2x = 3, wynikiem jest 1,5.

Inny prosty przypadek występuje, gdy po jednej stronie równania znajduje się jedynka. Rozważmy ten przykład:

$$5^{3x-2} = 1$$

Wygląda to skomplikowanie, ale jeśli znasz podstawowe zależności między potęgami, to wiesz, że jedynkę można otrzymać tylko na dwa sposoby - albo podstawa jest równa jeden i wtedy jedynka na dowolnym wykładniku daje znowu jeden, albo wykładnik jest równy zero - wszystko do zera to znowu jeden. Skorzystamy oczywiście z drugiej własności i przepiszemy poprzednie równanie w następujący sposób: 5^{3x − 2} = 5⁰. Mamy teraz równanie w postaci, którą możemy już rozwiązać (patrz poprzedni akapit). Wystarczy porównać wykładniki. Oto równanie 3x − 2 = 0. Jest to już trywialne równanie liniowe.

Logarytmowanie równania wykładniczego

W przypadku, gdy nie możemy dostosować równania do postaci o tych samych podstawach, możemy wypróbować metodę logarytmowania. Nasza gospodyni zawsze powtarzała: "Dzieci, jeśli nie wiecie, jak to zrobić, po prostu to zlogarytmujcie!". i miała rację. Jeśli mamy równanie wykładnicze o różnych podstawach i nie jest możliwe (lub nie jest efektywne) dostosowanie ich do tej samej podstawy, logarytmujemy całe równanie. Z oryginalnego równania

$$a^{f(x)}=b^{g(x)}$$

otrzymujemy

$$\log a^{f(x)}=\log b^{g(x)}$$

a korzystając ze wzoru na pracę z logarytmami, otrzymujemy

$$f(x)\cdot \log a = g(x)\cdot \log b.$$

Tak więc mamy następujący przykład

$$2^x\cdot5^{2x}=3^{x-2}$$

Podstawy nie są takie same i nie można ich dopasować, więc logarytmujemy całe równanie:

$$\log(2^x\cdot5^{2x})=\log(3^{x-2})$$

Teraz skorzystajmy z twierdzenia o logarytmach i "pomnóżmy" pierwszy nawias

$$\log2^x+\log5^{2x}=\log 3^{x-2}$$

Teraz ponownie użyjemy twierdzenia o logarytmach i "przesuniemy" wykładnik przed logarytm.

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=(x-2)\log3$$

Mnożymy prawą stronę równania:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5=x\log3-2\log3$$

Wrzucamy wyrażenia z niewiadomą na lewą stronę równania:

$$x\cdot\log2+2x\cdot\log5-x\cdot\log3=-2\log3$$

Następnie wypisujemy x:

$$x(\log2+2\log5-\log3)=-2\log3$$

Wyodrębniamy x:

$$x=\frac{-2\log3}{\log2+2\log5-\log3}$$

Jest to już de facto wynik. Możemy ponownie zastosować twierdzenia o logarytmach i przekształcić 2log 5 w $\log 5^2 =\log 25$, ale to naprawdę ostatnia rzecz, jaką możemy zrobić z wynikiem.

Podstawienie

Równania wykładnicze możemy również rozwiązywać za pomocą podstawiania. Pokażemy to na przykładzie:

$$7^{2x}+7^x-6=0.$$

Teraz, na przykład, zastępujemy wartość a = 7^x przez a . Teraz zmodyfikujemy oryginalne równanie poprzez podstawienie a po 7^x. Jest to wynik równania (już nie wykładniczego):

$$a^2+a-6=0.$$

Jest to proste równanie kwadratowe. Jego pierwiastkami są liczby 2 i −3.

Teraz podstawiamy te pierwiastki do podstawienia a = 7^x. Zatem 2 = 7^x. Logarytmujemy:

$$\log2=x\cdot\log 7$$

i izolujemy:

$$x=\frac{\log 2}{\log 7}$$

Nie musimy już podstawiać drugiego pierwiastka, ponieważ jest on ujemny - podstawienie go dałoby nam logarytm z liczbą ujemną, co nie jest możliwe. A wynik równania wykładniczego jest na świecie.

Przykłady

Oblicz następujące równanie wykładnicze:

$$2^{3x-4} = 8^{2x + 1}.$$

Na pierwszy rzut oka widzimy, że podstawy po obu stronach nie są równe. Smutne. Ale na drugi rzut oka widzimy, że możemy dokonać korekty, aby uzyskać równe podstawy. Zamiast ósemki policzymy po prostu 2³, co równa się osiem. Używając wzorów, które podałem powyżej, w szczególności ostatniego, otrzymamy:

$$\begin{eqnarray} 2^{3x-4}&=&8^{2x + 1}\\ 2^{3x-4}&=&2^{3\cdot(2x+1)}\\ 2^{3x-4}&=&2^{6x+3} \end{eqnarray}$$

W tym momencie podstawy są już równe i możemy obliczyć proste równanie liniowe 3x − 4 = 6x + 3:

$$\begin{eqnarray} 3x-4&=&6x+3\\ -3x&=&7\\ x&=&-\frac73 \end{eqnarray}$$

Oblicz następujące równanie wykładnicze:

$$5^x\cdot 2^x=100^{x-1}.$$

Tutaj jak zwykle widzimy, że podstawy nie są równe. Ale pewnie wszyscy podejrzewamy, że jakoś się zamienią. Zastosuj wzór na mnożenie potęg o tym samym wykładniku do lewej strony (drugi wzór w poprzednim przeglądzie) i zastosuj ten sam wzór co poprzednio do prawej strony, tworząc 100^{x − 1} 10^{2(x − 1)} :

$$\begin{eqnarray} 5^x\cdot2^x&=&100^{x-1}\\ 10^x&=&10^{2(x-1)}\\ 10^x&=&10^{2x-2} \end{eqnarray}$$

I znowu mamy te same podstawy i możemy obliczyć klasyczne równanie liniowe:

$$\begin{eqnarray} x&=&2x-2\\ -x&=&-2\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Oblicz równanie wykładnicze:

$$3^x+3^{x+1}=108.$$

Jak zawsze, najpierw musimy przejść do tej samej podstawy. Tutaj pomagamy sobie, tworząc wykrzyknik i wyodrębniając z wyrażenia po lewej stronie 3^x. Następnie dodajemy wyrażenie w nawiasach i otrzymujemy proste równanie.

$$\begin{eqnarray} 3^x+3^{x+1}&=&108\\ 3^{x}(1+3^1)&=&108\\ 4\cdot3^x&=&108\\ 3^x&=&27 \end{eqnarray}$$

W tym momencie dostosowaliśmy lewą stronę i nadszedł czas, aby dostosować prawą stronę. Widzimy dość wyraźnie, że jest to trzecia potęga trójki:

$$\begin{eqnarray} 3^x&=&27\\ 3^x&=&3^3 \end{eqnarray}$$

Pozostaje już tylko ostatni krok - podstawy są równe, więc wstawiamy wykładniki:

$$x=3$$

Oblicz następujące równanie wykładnicze:

$$4^{2x}-6\cdot4^{x}+8=0.$$

W tym przypadku spróbujemy z równania wykładniczego otrzymać zwykłe równanie kwadratowe. Najlepszym sposobem na jego uzyskanie jest użycie podstawienia 4^x = a:

$$a^2-6a+8=0$$

Mamy teraz standardowe równanie kwadratowe, więc obliczamy wyróżnik i pierwiastki:

$$\begin{eqnarray} D&=&36-4\cdot8\\ a_{1{,}2}&=&\frac{(6\pm2)}{2}\\ a_1&=&4\\ a_2&=&2 \end{eqnarray}$$

Nadal musimy dopasować te częściowe wyniki z powrotem do podstawienia. Pierwszy wynik:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&4\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Drugi wynik:

$$\begin{eqnarray} 4^x&=&2\\ 4^x&=&4^{\frac12}\\ x&=&\frac12 \end{eqnarray}$$