Unifikacja, przecięcie, różnica i dopełnienie zbiorów

Możemy wykonywać różne operacje między zbiorami. Najbardziej podstawowe z nich to unia, przecięcie, różnica i dopełnienie.

Łączenie zbiorów

Unię zbiorów oznaczamy przez ∪, więc klasycznie oznaczamy unię zbiorów A i B: A ∪ B Unia zbiorów A i B da w wyniku nowy zbiór, który zawiera wszystkie elementy ze zbioru A, a także wszystkie elementy ze zbioru B. Definicja:

$$A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}$$

Przykład: Mamy dwa zbiory A = {1, 3, 5, 7} i B = {2, 4, 6}. Unia daje zbiór: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Wynikowy zbiór zawiera elementy obu zbiorów.

Inny przykład: A = {1, 2, 3} i B = {2, 3, 4}. Unifikacja daje: A ∪ B = {1, 2, 3, 4} Elementy 2 i 3 nie znajdą się w zbiorze wynikowym dwa razy, ponieważ zbiór nie zawiera jednego elementu więcej niż raz.

Inne własności:

• A ∪ A = A: jeśli zjednoczymy dwa identyczne zbiory, otrzymamy ponownie ten sam zbiór.
• A ∪ B = B ∪ A: unia jest komutatywna, bez względu na kolejność.
• A ∪ ∅ = Azbiór pusty nie zawiera żadnego elementu, więc nie ma czego jednoczyć.

Przecięcie zbiorów

Przecięcie dwóch zbiorów A i B utworzy nowy zbiór, który zawiera elementy wspólne dla obu zbiorów. Dokładniej, powiedzielibyśmy, że nowy zbiór będzie zawierał elementy, które należą do A i należą również do B. Oznaczamy przecięcie przez ∩. Definicja:

$$A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}$$

Przykład: A = {1, 3, 5, 7, 9} i B = {4, 5, 6, 7}. Przecięcie jest równe A ∩ B = {5, 7}. Inny przykład: A = {a, b, c, d, e} i B = {f, g, h, i, j}. Przecięcie jest równe: A ∩ B = ∅ Zbiory te nie mają wspólnego elementu, więc ich przecięciem jest zbiór pusty.

Inne własności:

• A ∩ A = A: przecięcie dwóch identycznych zbiorów daje ponownie ten sam zbiór.
• A ∩ B = B ∩ Aprzecięcie jest przemienne, bez względu na kolejność.
• A ∩ ∅ = ∅zbiór pusty nie zawiera żadnego elementu, więc z pewnością nie ma żadnego elementu wspólnego ze zbiorem A.

Różnica zbiorów

Różnicę zbiorów oznaczamy standardowym symbolem minus − lub lepiej takim ukośnym minusem ∖. Przez różnicę dwóch zbiorów A i B rozumiemy zbiór, który będzie zawierał wszystkie elementy A i nie będzie zawierał żadnego elementu B. Krótko mówiąc, sprawdzamy, które elementy pierwszego zbioru są wspólne z drugim, a następnie je usuwamy. Definicja:

$$A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}$$

Przykład: A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {4, 5, 6, 7, 8}. Różnica będzie wtedy równa A ∖ B = {1, 2, 3}. Są to elementy, które pozostaną, gdy usuniemy wszystkie elementy ze zbioru A, które znajdują się w zbiorze B. Inny przykład: A = {a, b, d, e}. Różnica A ∖ A = ∅.

Inne własności:

• A ∖ A = ∅: tak jak po odjęciu od siebie dwóch równych liczb otrzymujemy zero (np. 5 − 5 = 0), tak po odjęciu dwóch równych zbiorów otrzymujemy zbiór pusty.
• A ∖ ∅ = APusty zbiór nie zawiera żadnego elementu, więc nie możemy usunąć żadnego elementu ze zbioru A.

Dopełnienie zbioru

Dopełnienie zbioru A jest oznaczane na wiele sposobów, ale prawdopodobnie najczęściej przez przecinek A' lub górną kreskę: $\overline{A}$ Dla uproszczenia będę używał przecinka. Aby obliczyć dopełnienie zbioru A, musimy wiedzieć, w którym zbiorze obliczamy dopełnienie. Dopełnienie zbioru reprezentuje wszystkie elementy, których nie ma w zbiorze A, więc jest swego rodzaju przeciwieństwem zbioru A.

Jeśli mamy M = {1, 2, 3, …, 9, 10} jako zbiór główny, to dopełnieniem zbioru A = {2, 4, 6, 8, 10} w M jest zbiór A' = {1, 3, 5, 7, 9}. Zawiera on wszystkie elementy z M, których nie ma w A. Możemy powiedzieć, że A' w M jest równe M ∖ A.

Jeśli jako zbiór główny przyjmiemy liczby całkowite, to dopełnieniem zbioru liczb parzystych będą liczby nieparzyste. Dopełnieniem zbioru A = {1, 2, 3, 4} będzie zbiór A' = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

W przypadku dopełnienia, jeśli zastosujemy je dwukrotnie, otrzymamy z powrotem oryginalny zbiór. Na przykład w przypadku liczb całkowitych: dopełnieniem liczb parzystych są liczby nieparzyste. Dopełnieniem liczb nieparzystych są ponownie liczby parzyste. Zatem A = A'' (dopełnienie dopełnienia A) ma zastosowanie.