Równania liniowe

Równanie liniowe to równanie, które można zmodyfikować do postaci ax + b = 0, gdzie a≠0. Konkretny przykład może wyglądać następująco: 2x + 4 = 0 Rozwiązaniem tego równania jest liczba −2, którą prawdopodobnie można wydedukować całkiem logicznie. Gdyby istniały nieco większe liczby, dedukcja nie byłaby tak prosta, więc wymagałaby bardziej konkretnej procedury.

Podstawowa postać równania liniowego

Równanie liniowe to równanie, które zawiera jedną niewiadomą x, która nie jest mnożona, odejmowana itp. Zobacz przykłady różnych równań liniowych:

$$\begin{eqnarray} 2x+7&=&0\\ x-2&=&74\\ (x+3)-(7x\cdot3)&=&-12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}&=&x\cdot\frac{45}{8}+\frac{x^2}{x} \end{eqnarray}$$

Jak widać, równanie liniowe może przybierać różne kształty. Aby ładnie rozwiązać równania liniowe, musimy zmodyfikować je do ich podstawowej postaci. Podstawowa postać równania liniowego wygląda następująco:

$$ax+b=0,$$

gdzie x jest niewiadomą, a symbole a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Liczba a nie może być zerem, tzn. a≠0. Wyrażenie ax nazywamy wyrażeniem liniowym, a wyrażenie b wyrażeniem bezwzględnym.

Podczas obliczania równania liniowego możemy użyć wielu różnych równoważnych popraw ek (tj. poprawek, które nie zmieniają wyniku równania). Ważne jest, aby znać te poprawki; bez nich niemożliwe jest rozwiązanie bardziej skomplikowanego równania. Możemy zmodyfikować równanie do jego podstawowej postaci, modyfikując same wyrażenia występujące w równaniu lub możemy użyć równoważnych modyfikacji równania.

Z poprzednich przykładów: równanie 2x + 7 = 0 jest już w postaci podstawowej i prawdą jest, że a = 2 i b = 7. Drugie równanie, x − 2 = 74 nie jest w postaci podstawowej. Używamy równoważnego traktowania i dodajemy liczbę −74 do obu stron równania (lub odejmujemy liczbę 74 od obu stron). Otrzymujemy równanie x − 76 = 0. To równanie ma już postać podstawową i jest poprawne a = 1 i b = −76.

Przedostatnie równanie jest dalekie od postaci podstawowej, ale możemy je również zmodyfikować. Najpierw "wyprodukujemy" zero po prawej stronie. Dodamy wyrażenie 12x do równania, tym samym zerując prawą stronę, ponieważ (−12x)+12x = 0. Całe równanie będzie wyglądać tak:

$$(x+3)-(7x\cdot3)+12x=0$$

Teraz musimy tylko dodać nawiasy.

$$\begin{eqnarray} (x+3)-(7x\cdot3)+12x&=&0\\ x+3-21x+12x&=&0\\ -8x+3&=&0 \end{eqnarray}$$

To równanie liniowe jest w swojej podstawowej postaci i utrzymuje, że a = −8 i b = 3.

W ostatnim równaniu musimy pozbyć się ułamków, a także usunąć x², ponieważ nie może istnieć takie wyrażenie w równaniu liniowym. Możemy jednak po prostu zredukować ułamek $\frac{x^2}{x}$ do wyrażenia x. Otrzymamy równanie

$$\frac{x}{2}+\frac{3x}{72}=x\cdot\frac{45}{8}+x$$

Pozbywamy się ułamków, mnożąc całe równanie przez 72:

$$72\cdot\frac{x}{2}+72\cdot\frac{3x}{72}=72x\cdot\frac{45}{8}+72x$$

Obcięcie:

$$36x+3x=9x\cdot45+72x$$

Możemy przekształcić to równanie w równanie liniowe po prostu konwertując wszystkie wyrażenia na lewą stronę i dodając je:

$$-438x=0$$

Prawdą jest, że a = −438 i b = 0.

Jak rozwiązać równanie liniowe

Jeśli mamy równanie liniowe w postaci podstawowej, jest ono już łatwe do rozwiązania. Zilustrujmy to przykładem: 3x − 18 = 0 Od czego musimy odjąć liczbę 18, aby otrzymać zero? Cóż, ponownie od liczby 18. Aby więc wyrażenie 3x − 18 było równe zero, wyrażenie 3x musi być równe 18, a wtedy otrzymamy 18 − 18 = 0. Kiedy wyrażenie 3x będzie równe 18? Właśnie wtedy, gdy x = 6, ponieważ 3 · 6 = 18.

Jak wyprowadzić z tego ogólną procedurę? Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, to dowiedzieć się, jaki jest termin liniowy ax. Robimy to, przekształcając termin bezwzględny na prawą stronę równania, tj. dodając −b do równania. W ten sposób otrzymamy równanie w postaci ax + b − b = −b, które jest takie samo jak ax = −b. W przypadku poprzedniego przykładu dałoby to 3x + 18 − 18 = 18, które jest równe 3x = 18. Pamiętaj, że liczba b była równa b = −18, więc jeśli dodamy −b, dodamy −(−18), a to jest równe +18.

Równanie to ax = −b. Jak uzyskać x bezpośrednio? W przykładzie szukaliśmy takiej x, którą jeśli pomnożymy przez trzy, otrzymamy 18. Co właściwie zrobiliśmy? Podzieliliśmy przez 18/3 = 6. Wzięliśmy więc wyrażenie po prawej stronie (−b) i podzieliliśmy je przez a, w przykładzie przez trzy. Tak więc z ax = −b otrzymujemy

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Cała procedura zastosowana do pierwszego przykładu wygląda następująco:

$$\begin{eqnarray} 3x-18&=&0\quad/+18\\ 3x&=&18\quad/:3\\ x&=&6 \end{eqnarray}$$

Znaczenie geometryczne

Jeśli zmodyfikujemy równanie liniowe do jego podstawowej postaci, to po lewej stronie otrzymamy funkcję liniową. Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Ponieważ podstawowa postać równania liniowego wygląda następująco ax + b = 0, to rozwiązaniami tego równania są wszystkie punkty, w których linia (wykres funkcji liniowej) przecina oś x (która jest również wykresem funkcji f(x) = 0, czyli prawej strony).

Na przykład, odkryliśmy, że rozwiązaniem funkcji 3x − 18 = 0 jest x = 6. Co to oznacza? Że wykres funkcji 3x − 18 przecina oś x w punkcie x = 6.

Spróbujmy graficznie rozwiązać równanie 5x + 2 = 2x − 7. Jak możemy to zrobić? Możemy zmodyfikować równanie do jego podstawowej postaci, tj. dodać −2x, aby uzyskać 3x + 2 = −7, a następnie dodać 7: 3x + 9 = 0. Wykreślmy teraz wykres funkcji liniowej y = 3x + 9 i zobaczmy, kiedy przecina ona oś x.

Drugi sposób polega na tym, aby w ogóle nie modyfikować równania, ale narysować wykresy funkcji po obu stronach równania. Oznacza to, że wykreślamy wykresy funkcji f(x) = 5x + 2 i g(x) = 2x − 7.

Te dwie proste przecinają się w jednym punkcie, oznaczonym jako A. Jaka jest A x -współrzędna tego punktu? Ponownie, x = −3. Zatem graficznym rozwiązaniem równania 5x + 2 = 2x − 7 jest x-współrzędna punktu przecięcia wykresów funkcji po lewej i prawej stronie.

Rozwiązane przykłady

Przykładpierwszy: Spróbujmy rozwiązać równanie 7x − 14 = 0. Sytuacja jest prosta, równanie ma postać podstawową, więc po prostu stosujemy procedurę:

$$\begin{eqnarray} 7x-14&=&0\quad/+14\\ 7x&=&14\quad/:7\\ x&=&2 \end{eqnarray}$$

Przykład drugi: Rozwiąż równanie 2x + 10 = 0. Równanie jest ponownie w swojej podstawowej postaci, musisz tylko uważać, aby b było dodatnie, więc po dostosowaniu otrzymasz liczbę ujemną po prawej stronie:

$$\begin{eqnarray} 2x+10&=&0\quad/-10\\ 2x&=&-10\quad/:2\\ x&=&-5 \end{eqnarray}$$

Trzeci przykład: rozwiąż równanie 15 − 3x = 0. Równanie ma prawie podstawową postać, musimy tylko przenieść niewiadomą x na pierwsze miejsce. Następnie mamy postać równania −3x + 15 = 0. Ponownie zauważ, że tutaj mamy minus przed wyrażeniem liniowym, którego wcześniej nie było. Ale poprawki będą dokładnie takie same:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/:(-3)\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Możemy również rozwiązać ten przykład w nieco inny, dłuższy sposób. Zamiast dzielić równanie bezpośrednio przez −3, możemy najpierw pomnożyć równanie przez −1, pozbywając się dwóch znaków minus. Następnie możemy podzielić równanie przez trzy:

$$\begin{eqnarray} -3x+15&=&0\quad/-15\\ -3x&=&-15\quad/\cdot(-1)\\ 3x&=&15\quad/:3\\ x&=&5 \end{eqnarray}$$

Przykład 4: Rozwiązanie równania liniowego

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

To równanie jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ mamy ułamki. Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest pozbycie się ułamków. Najlepiej jest pomnożyć całe równanie przez najmniejszą wspólną wielokrotność wszystkich mianowników. Mamy dwa mianowniki, 4 i 2. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 4. Jeśli nie masz ochoty na matematykę, możesz pomnożyć całe równanie przez wielokrotność wszystkich mianowników, tj. 4 · 2 = 8, ale nie jest to zalecane podejście, ponieważ utrudnisz sobie życie o jeden krok. Jeśli pomnożymy równanie przez cztery, pozbędziemy się ułamków, upraszczając je jeden po drugim:

$$\begin{eqnarray} 3+\frac{x}{4}&=&\frac{x}{2}\quad/\cdot4\\ 4\cdot3+4\cdot\frac{x}{4}&=&4\cdot\frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}&=&\frac{4x}{2}\\ 12+x&=&2x \end{eqnarray}$$

Teraz przekształcamy równanie do jego podstawowej postaci: x − 12 = 0 i z tego równania możemy już zobaczyć, że x = 12.

Piąty przykład / problem słowny: Miejmy dwóch braci, Tomasza i Jindrę. Jindra poszedł do pracy zaraz po ukończeniu szkoły średniej, podczas gdy Tomasz poszedł do college'u, gdzie studiował w sumie przez pięć lat. Jindra otrzymywał pensję w wysokości 25 000 CZK miesięcznie. Chociaż Tomáš ukończył rekreologię ze specjalizacją w leżakowaniu, udało mu się zdobyć pracę w administracji państwowej, gdzie otrzymywał 35 000 CZK miesięcznie. W sumie, ile czasu zajmie Tomášowi zarobienie takiej samej kwoty jak Jindra? Tzn. wyjaśniając: w ciągu pięciu lat Jindra zarobił 5 · 12 · 25 000 koron, podczas gdy Tomas po pięciu latach nie ma nic. Za ile miesięcy ta wartość będzie taka sama?

Na podstawie problemu możemy ułożyć równanie liniowe w następujący sposób: zmienna x będzie reprezentować liczbę miesięcy, których szukamy, gdzie x = 0 oznacza zero miesięcy od ukończenia studiów przez Tomasa.

Pierwszą rzeczą, jaką zrobimy, jest skonstruowanie funkcji określającej dochód Tomasa jako funkcję liczby miesięcy. Na przykład, jeśli interesuje nas dochód Tomáša po sześciu miesiącach, po prostu obliczamy, że 35 000 · 6 = 210 000 koron. Ogólnie możemy napisać, że po x miesiącach Tomas zarobił łącznie 35 000 · x koron.

W przypadku Jindry byłoby podobnie: 25 000 · x, ale musimy dodać kwotę, którą zarobił, gdy Tomas studiował. Tomas studiował przez pięć lat, więc Jindra zarobił 5 · 12 · 25 000 koron podczas studiów. Cała recepta dla Tomasa wynosiłaby: 5 · 12 · 25 000 + 25 000 · x.

Wstawiamy te funkcje do równania, ponieważ interesuje nas, dla których x te zarobki są równe:

$$ 5 \cdot 12 \cdot 25 000 + 25 000 \cdot x = 35 000 \cdot x $$

Po prostu modyfikujemy równanie, przenosząc wszystkie x na jedną stronę równania:

$$ 10000x = 5 \cdot 12 \cdot 25 000 $$

I wreszcie, po prostu dzielimy 10 000:

$$ x = 5 \cdot 12 \cdot 2{,}5 = 150 $$

Za 150 miesięcy obaj będą mieli tyle samo pieniędzy. Jindra zarobił ładne 5 · 12 · 25 000 = 1 500 000 koron w czasie, gdy Tomasz był studentem, plus w ciągu następnych 150 miesięcy zarobił 25 000 · 150 = 3 750 000, w sumie 1 500 000 + 3 750 000 = 5 250 000 koron. Tomas pracował tylko przez te 150 miesięcy i zarobił w tym czasie 35 000 · 150 = 5 250 000 koron. Widzimy, że tak naprawdę zarobił tyle samo po pięciu latach nauki i kolejnych 150 miesiącach.

Inne przykłady

Oblicz następujące równanie liniowe:

$$2\cdot(x - 7) = 6$$

Najpierw mnożymy nawiasy:

$$2x-14=6$$

Teraz zachowujemy wyrażenie z niewiadomą po lewej stronie i przenosimy wszystko inne na prawą stronę:

$$2x=20$$

i na koniec dzielimy przez dwa.

$$x=10$$

Obliczanie równania

$$3\cdot(3 - x) + 5\cdot(x - 2) = 0$$

Ponownie, najpierw pomnóż nawiasy:

$$9-3x+5x-10=0$$

Dodajemy to, co można dodać i przenosimy zmienne na lewą stronę, a resztę na prawą:

$$\begin{eqnarray} 9-3x+5x-10&=&0\\ 2x-1&=&0\\ 2x&=&1 \end{eqnarray}$$

Na koniec podziel całe równanie przez dwa:

$$x=\frac12$$