Co to jest równanie

Równanie jest jednym z podstawowych pojęć w matematyce i jednym ze środków, za pomocą których działa cała matematyka.

Przykład wprowadzający

Równanie ma lewą stronę, następnie znak równości i prawą stronę. Trywialne równanie może wyglądać następująco:

$$x=2$$

Po lewej stronie znajduje się zmienna x, po której następuje znak równości, a po prawej stronie znajduje się liczba 2. To równanie jest proste i mówi nam, że wartość zmiennej x jest równa dwa. Zmienna x zazwyczaj reprezentuje coś, czego szukamy. Może to być na przykład liczba guzików na koszuli lub pensja pracownika.

Jednak równanie w tej formie jest czymś, czego szukamy, a nie czymś, co znajduje się w przykładowej specyfikacji. W praktyce mamy do czynienia z bardziej skomplikowanymi równaniami, na przykład dowiadujemy się, ile łącznie zarabia pięciu pracowników, a naszym zadaniem jest dowiedzieć się, ile zarabia jeden pracownik (zakładając, że wszyscy zarabiają tyle samo).

Na przykład wiemy, że pięciu nauczycieli zarabia łącznie 120 000 koron miesięcznie. Ile zarabia jeden nauczyciel? Ustawmy równanie w następujący sposób: wynagrodzenie jednego nauczyciela oznaczymy jako x. W ten sposób otrzymamy równanie:

$$5x=120 000$$

To równanie jest matematycznym zapisem zadania "pięciu nauczycieli ma łączną pensję w wysokości 120 000". Naszym celem jest znalezienie pensji jednego nauczyciela, tj. znalezienie wartości x = ?. Przeskoczymy nieco do przodu i użyjemy równoważnego dostosowania równania i podzielimy równanie przez pięć. Jeśli pięciu nauczycieli otrzymuje wynagrodzenie 120 000, to jeden nauczyciel otrzymuje wynagrodzenie pięć razy mniejsze. W rezultacie mamy

$$x=120 000 / 5$$

a po podzieleniu przez

$$x=24 000.$$

Definicja równania

Aby zdefiniować pojęcie równania, musimy wiedzieć, czym jest funkcja. Jeśli znamy funkcje, możemy myśleć o równaniu jako o zapisie równości dwóch funkcji:

$$f(x)=g(x)$$

Jest to ogólny zapis równania z jedną niewiadomą. Po lewej stronie mamy funkcję f, a po prawej funkcję g. Naszym zadaniem jest znalezienie pierwiastków równania, które są wartościami x, dla których funkcje f i g mają tę samą wartość.

Chcemy więc znaleźć te konkretne wartości x, które nazwę x₁, dla których funkcje i mają tę samą wartość.

$$f(x_1)=g(x_1)$$

Weźmy równanie 2x = −4x + 6, aby nam pomóc. Wtedy f(x) = 2x i g(x) = −4x + 6 byłyby spełnione. Szukamy takich x, dla których funkcja f ma taką samą wartość jak funkcja g. Rozwiązując równanie za pomocą dopasowań równoważności, otrzymujemy:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 2x+4x&=&-4x+4x+6\\ 6x&=&6\\ x&=&1 \end{eqnarray}$$

Wynikiem równania jest wartość x = 1. Dla tej wartości obie funkcje powinny zwracać tę samą wartość. Jeśli wywołamy funkcję f z jedynką, otrzymamy

$$f(1)=2\cdot1=2$$

Funkcja f ma wartość dwa w punkcie dwa. A co z funkcją g? Wywołajmy ją z jedynką:

$$g(1)=-4\cdot1+6=-4+6=2$$

Widzimy, że ponownie otrzymujemy dwójkę. Zatem liczba jeden jest pierwiastkiem równania. Jest to również jedyny pierwiastek równania w dziedzinie liczb rzeczywistych. Jeśli wywołamy funkcję z inną wartością, otrzymamy inne wyniki. Na przykład, dla pięciu otrzymamy:

$$\begin{eqnarray} f(5)&=&2\cdot5=10\\ g(5)&=&-4\cdot5+6=-20+6=-14 \end{eqnarray}$$

Znaczenie graficzne

Rozwiązania równania mają ładne i oczywiste znaczenie graficzne. Dzieje się tak dlatego, że jeśli narysujemy wykresy funkcji występujących po lewej i prawej stronie równania, to wykresy te przetną się dokładnie w punktach, w których równanie ma rozwiązanie.

Wróćmy do równania 2x = −4x + 6. Funkcja po lewej stronie to f(x) = 2x, a funkcja po prawej stronie to g(x) = −4x + 6. Wiemy, że pierwiastkiem tego równania jest wartość x = 1. Zatem powinno być prawdą, że w punkcie drugim funkcje te przecinają się. Poniżej przedstawiono wykresy tych dwóch funkcji:

Widać, że proste przecinają się w jednym punkcie, a punkt ten ma współrzędne [1,2]. Pierwsza współrzędna to wartość x, pierwiastka równania. Druga wartość jest wartością y, wartością wynikową obu funkcji, jeśli nazwiemy je jedynką.

Zatem rozwiązaniem równania są wszystkie punkty, w których przecinają się funkcje po lewej i prawej stronie. Często przekształcamy równania tak, aby równanie po prawej stronie wynosiło zero, tj. funkcja stała g(x) = 0. Następnie rozwiązujemy, gdy funkcja po lewej stronie przecina oś x. Możemy zmodyfikować poprzednie równanie 2x = −4x + 6 tak, aby prawa strona była równa zero w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} 2x&=&-4x+6\\ 6x&=&6\\ 6x-6&=&0 \end{eqnarray}$$

Jeśli narysujemy wykres funkcji po lewej stronie...

okazuje się, że wykres przecina oś x w punkcie 1. Widzimy, że nawet jeśli zmodyfikujemy równanie tak, aby po prawej stronie było zero, otrzymamy ten sam wynik - ponownie jeden.

Liczba rozwiązań równania

Z graficznej interpretacji równań możemy wywnioskować, ile różnych rozwiązań może mieć równanie. Możemy łatwo odpowiedzieć na pytania takie jak - czy każde równanie ma rozwiązanie? Czy równanie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie? Czy równanie może mieć nieskończenie wiele rozwiązań?

Brak rozwiązań

Zacznijmy w kolejności. Czy istnieje równanie, które nie ma rozwiązania? Sprowadzimy to do pytania - czy istnieją dwa wykresy funkcji, które nigdy się nie przecinają? Oczywiście, że istnieją. Jeśli pozostaniemy przy równaniach liniowych, które mają proste jako wykresy, to wystarczy wziąć linie, które są równoległe. Na przykład:

$$x+1=x+2$$

Na zdrowy rozsądek możemy wywnioskować, że x + 1 nigdy nie może być jednocześnie równe x + 2. Jeśli narysujemy wykres, otrzymamy:

Widzimy, że funkcje są liniami równoległymi i nigdy się nie przecinają. Zatem równanie, które ułożyliśmy, nie ma rozwiązania. Możemy zmodyfikować równanie w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} x+1&=&x+2\\ x-x&=&2-1\\ 0x&=&1\\ 0&\ne&1 \end{eqnarray}$$

Widzimy, że równanie naprawdę nie ma rozwiązania.

Możemy pomyśleć o wielu innych równaniach, które nie będą miały rozwiązania, na przykład równanie x² = x − 1. Wykresy dwóch funkcji nigdy się nie przecinają:

Więcej rozwiązań

Czy równanie może mieć więcej niż jedno rozwiązanie? (Ale wciąż mniej niż nieskończoność.) Ponownie, sprowadza się to do pytania - czy istnieją dwa wykresy funkcji, które mają skończoną liczbę przecięć, a liczba przecięć jest również większa niż dwa?

Z pewnością istnieją. W poprzednim rozdziale mieliśmy równanie z funkcją kwadratową i liniową jako ostatni przykład. Możemy zmodyfikować poprzedni wykres, przesuwając linię tak, aby przecinała wykres funkcji kwadratowej w dokładnie dwóch punktach. Wystarczy wziąć funkcję y = x zamiast y = x − 1.

Widzimy, że wykresy przecinają się w dwóch punktach. Możemy rozwiązać równanie w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} x^2&=&x\\ x^2-x&=&0\\ x\cdot(x-1)&=&0\\ x_1&=&0\\ x_2&=&1 \end{eqnarray}$$

Nieskończenie wiele rozwiązań

Czy istnieją równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań? To znaczy, czy istnieją dwa wykresy, które przecinają się w nieskończenie wielu punktach? Tak, istnieją. Wystarczy wziąć jakąś funkcję okresową i przepleść ją z linią prostą w jakiś wygodny sposób. Typową funkcją okresową jest sinus. Sinus ma zakres wartości przedziału <−1, 1> i powtarza się okresowo w tym zakresie.

Wystarczy więc wstawić sin(x) = a, gdzie a będzie z zakresu wartości. Konkretny przykład może wyglądać następująco: sin(x) = 0,5 Wykresy funkcji:

Widzimy, że na rysunku linia przecina sinus w kilku punktach. Sinus nadal faluje zarówno po prawej, jak i po lewej stronie, więc zarówno po prawej, jak i po lewej stronie linia nadal przecina sinus nieskończenie wiele razy.

Te same funkcje w równaniu

Czy może istnieć sytuacja, w której możemy zastąpić dowolną wartość z zakresu definicyjnego funkcji po x, a równanie będzie zachowane? Stanie się tak tylko wtedy, gdy dwie funkcje są takie same lub gdy możemy dopasować jedną funkcję do drugiej. Przykład:

$$2x+4=2\cdot(x+2)$$

Na pierwszy rzut oka mamy różne funkcje po każdej stronie, ale jeśli pomnożymy nawiasy po prawej stronie, otrzymamy te same funkcje:

$$2x+4=2x+4$$

Takie równanie ma zbiór rozwiązań równy definiującej dziedzinie funkcji, więc zbiór rozwiązań jest równy zbiorowi liczb rzeczywistych. Takie równanie można zmodyfikować do postaci 0 = 0.

$$\begin{eqnarray} 2x+4&=&2x+4 \qquad/-2x\\ 4&=&4 \qquad /-4\\ 0&=&0 \end{eqnarray}$$