✖

Nierówności liniowe

Nierówności liniowe są rozwiązywane z podobnymi modyfikacjami, jak podczas obliczania zwykłego równania liniowego. Nierówność liniowa ma zwykle następującą postać: ax + b>0 (lub mniejsza niż, większa niż i mniejsza lub równa). Teraz wystarczy zmodyfikować nierówność do następującej postaci i mamy wynik: x>−b/a Oczywiście zakładamy, że a≠0.

Zwykła nierówność liniowa

Nierówność liniową można rozwiązać za pomocą równoważnych modyfikacji nierówności.

  • Prosty przykład może wyglądać następująco:

    $$ 3x + 9 > 3 $$

    Najpierw przenosimy wszystkie wyrażenia bez niewiadomej na prawą stronę. Dodajemy więc liczbę −9 w nierówności, aby otrzymać nierówność:

    $$\begin{eqnarray} 3x + 9 - 9 &>& 3 - 9\\ 3x &>& -6 \end{eqnarray}$$

    Następnie dzielimy całą nierówność przez trzy:

    $$\begin{eqnarray} 3x/3 &>& -6/3\\ x &>& -2 \end{eqnarray}$$

    To jest wynik całej nierówności. Nierówność ma rozwiązania dla wszystkich x > −2.

    Możemy również rozwiązać nierówność graficznie. Biorąc pod uwagę nierówność 3x + 9 > 3, rysujemy wykresy dwóch funkcji - lewej i prawej strony nierówności. Otrzymujemy funkcje f(x) = 3x + 9 i g(x) = 3. Ich wykresy wyglądają następująco:

    Wykresy funkcji f(x) = 3x + 9 i g(x) = 3

    Widzimy, że te wykresy przecinają się w punkcie x1, który ma x-współrzędną tylko −2. Widzimy również, że dla wszystkich x > x1, czyli dla wszystkich x przedziału (−2, ∞), czerwona funkcja 3x + 9 jest "powyżej" niebieskiej funkcji 3 (tutaj "powyżej" w sensie "ma większą y-współrzędną"). Co zgadza się z wynikiem, który właśnie obliczyliśmy.

  • Czasami przydaje się, jeśli mamy tam zbyt wiele minusów, pomnożenie całej nierówności minus jeden. W takim przypadku, oprócz wartości samej nierówności, należy również odwrócić znak - zrobić większe niż mniejsze niż i odwrotnie:

    $$\begin{eqnarray} -x&<&-10\quad /\cdot(-1)\\ x&>&10 \end{eqnarray}$$

    Ma to oczywiście zastosowanie za każdym razem, gdy mnożymy całą nierówność przez dowolną liczbę ujemną. Jeszcze jeden szybki przykład:

    $$\begin{eqnarray} -3x+8&<&2x-7\\ -5x&<&-15\qquad /\cdot \left(-\frac15\right)\\ x&>&3 \end{eqnarray}$$

    W pierwszym kroku normalnie dodajemy do nierówności −2x, więc przenosimy wszystkie wyrażenia ze zmienną na lewą stronę. Jednocześnie odejmujemy liczbę ósemkową, przenosząc stałe na prawą stronę. Następnie mnożymy całą nierówność $-\frac15$.

    Aby to zilustrować, zobacz graficzne rozwiązanie nierówności, w którym wykreślamy dwie funkcje f(x) = −3x + 8 i g(x) = 2x − 7.

    Wykresy funkcji f(x)=-3x+8 i g(x)=2x-7

    Widzimy, że czerwony wykres funkcji −3x + 8 znajduje się poniżej niebieskiego wykresu funkcji 2x − 7 za każdym razem, gdy x > 3.

Zmienna w mianowniku

Nierówności liniowe zawierające ułamki ze zmienną w mianowniku są rozwiązywane w nieco bardziej skomplikowany sposób. Przykładem jest nierówność:

$$ \frac{2}{x}+3>4 $$

Nie możemy pomnożyć nierówności przez niewiadomą w mianowniku, ponieważ nie znamy jej znaku. Wynika to z faktu, że jeśli wartość zmiennej byłaby ujemna, to musielibyśmy odwrócić znak nierówności. Dlatego nie możemy sobie pozwolić na pomnożenie nierówności przez zmienną w mianowniku. Nie byłoby to równoważne traktowanie nierówności.

Zaczynamy modyfikować nierówność, aby uzyskać jeden ułamek po lewej stronie i zero po prawej stronie. Najpierw dodajemy −4 do nierówności, co daje nam postać:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}+3>4\\ \frac{2}{x}-1>0 \end{eqnarray}$$

Teraz musimy przekształcić wyrażenie po lewej stronie w jeden ułamek. Mnożymy więc liczbę −1 przez ułamek $\frac{x}{x}$, co zamienia oba wyrażenia na wspólne mianowniki, a następnie dodajemy ułamki:

$$\begin{eqnarray} \frac{2}{x}-1&>&0\\ \frac{2}{x}-\frac{x}{x}&>&0\\ \frac{2-x}{x}&>&0\\ \end{eqnarray}$$

Teraz stajemy przed pytaniem - kiedy ułamek jest dodatni? Ułamek jest dodatni, jeśli zarówno licznik, jak i mianownik są dodatnie lub jeśli zarówno licznik, jak i mianownik są ujemne. Jeśli jeden z nich jest dodatni, a drugi ujemny, ułamek jest ujemny. Na przykład, jeśli mamy ułamek $\frac43$, to cały ułamek jest liczbą dodatnią. Jeśli mamy ułamek $\frac{-3}{4}$, to ułamek reprezentuje liczbę ujemną. Następnie ułamek $\frac{-3}{-4}$ ponownie reprezentuje liczbę dodatnią, ponieważ znak minus jest anulowany. Ogólnie możemy napisać:

$$\begin{eqnarray} \frac{kladné}{kladné}&=&kladné\\ \frac{kladné}{zaporné}&=&zaporné\\ \frac{zaporné}{kladné}&=&zaporné\\ \frac{zaporné}{zaporné}&=&kladné \end{eqnarray}$$

Będziemy więc musieli rozwiązać dwa zestawy nierówności. Zaczniemy od znalezienia sytuacji, w której zarówno licznik, jak i mianownik są dodatnie:

  1. Aby licznik i mianownik były dodatnie, obie nierówności muszą zachodzić jednocześnie:

    $$2-x>0\qquad\wedge\qquad x>0$$

    W przypadku pierwszej nierówności po prostu zamieniamy 2: na drugą stronę i mnożymy −1:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&>&0\\ -x&>&-2\\ x&<&2 \end{eqnarray}$$

    Mamy rozwiązanie pierwszej nierówności. Dla drugiej nierówności x > 0 nie ma nic więcej do rozwiązania. W tym momencie musimy wykonać przecięcie tych rozwiązań, ponieważ interesują nas przypadki, w których oba rozwiązania są ważne w tym samym czasie, tj. gdy licznik jest dodatni, a mianownik jest dodatni. Pierwsze rozwiązanie można zapisać jako przedział (−∞,2), drugie rozwiązanie można zapisać jako przedział (0,∞). Teraz tworzymy przecięcie tych przedziałów:

    $$\left(-\infty,2\right) \cap \left(0,\infty\right) = \left(0{,}2\right)$$

    Jest to kolejne rozwiązanie nierówności. Jeśli dodamy liczby z tego przedziału, nierówność będzie zachowana. Na przykład, jeśli zastąpimy x = 1, która jest liczbą z przedziału (0,2), po x, otrzymamy nierówność $\frac{2}{1}+3 > 4$, która jest równa 5 > 4. Teraz pozostaje zbadać przypadek, w którym zarówno licznik, jak i mianownik są ujemne.

  2. W przypadku, gdy zarówno licznik, jak i mianownik są ujemne, rozwiązujemy nierówności:

    $$2-x < 0\qquad\wedge\qquad x<0$$

    Ponownie, po prostu szybko rozwiązujemy nierówność 2 − x < 0:

    $$\begin{eqnarray} 2-x&<&0\\ -x&<&-2\\ x&>&2 \end{eqnarray}$$

    Drugie rozwiązanie to ponownie po prostu x < 0. Wpisujemy przedziały: (2,∞) i (−∞, 0) i wykonujemy przecięcie:

    $$ \left(2,\infty\right) \cap \left(-\infty, 0\right) = \emptyset $$

    Otrzymaliśmy zbiór pusty. Co to oznacza? Że ułamek $\frac{2-x}{x}$ nigdy nie może mieć ujemnego licznika i ujemnego mianownika.

Po prostu łączymy dwa poprzednie wyniki i otrzymujemy zbiór S:

$$S=\left(0{,}2\right)\cup\emptyset=\left(0{,}2\right)$$

Nierówność $\frac{2}{x}+3>4$ ma rozwiązania dla wszystkich x przedziału (0,2). Możemy narysować wykres przedstawiający funkcje $f(x)=\frac{2}{x}+3$ i g(x) = 4:

Wykreśl funkcje f(x)={frac{2}{x}+3 i g(x)=4.

Widzimy, że czerwony wykres funkcji $f(x)=\frac{2}{x}+3$ znajduje się nad niebieskim wykresem funkcji g(x) = 4 tylko w przedziale (0,2).

Nierówności liniowe z wartością bezwzględną

Nieco więcej zabawy jest z nierównościami, które zawierają wartość bezwzględną. Wynika to z faktu, że należy obliczyć osobno, gdy wyrażenie w wartości bezwzględnej jest dodatnie, a zatem znak się nie zmienia, oraz gdy wyrażenie jest ujemne, a znak się zmienia - zasadniczo tworząc dwie nierówności w jednej. Prosty przykład:

$$\left|x + 5\right| < 12$$

Przede wszystkim musimy określić punkt zerowy, który jest liczbą, która sprawia, że całe wyrażenie jest równe zeru w wartości bezwzględnej i służy do określenia przedziałów, w których znak się zmienia i w których się nie zmienia. Pierwszą rzeczą, którą robimy, jest rozwiązanie równania

$$x+5=0$$

Widzimy, że wynikiem jest x = −5. Wynik ten dzieli wartość x na dwa przedziały. Jeden, w którym funkcja x + 5 przyjmie wartości dodatnie i jeden, w którym przyjmie wartości ujemne. Otrzymujemy więc liczby ujemne w przedziale (−∞, −5) i liczby dodatnie lub nieujemne w przedziale <−5, ∞). Aby to zilustrować, pierwsza linia to liczba z pierwszego przedziału, a druga z drugiego:

$$\begin{eqnarray} -8+5&=&-3\\ 13+5&=&18 \end{eqnarray}$$

Co nam to mówi? Jeśli po x wstawimy wartość większą niż minus pięć, to wartość bezwzględna nie zmieni wyniku, ponieważ x − 5 będzie liczbą dodatnią. I odwrotnie, jeśli wartość x jest mniejsza niż minus pięć, to wynik x − 5 będzie ujemny, a wartość bezwzględna zmieni go na dodatni. Dlatego musimy rozróżnić te dwa przykłady w nierówności.

Dlatego najpierw obliczamy wynik, jeśli weźmiemy x z przedziału <−5, ∞). W tym momencie nie zmieniamy znaku, ponieważ po prostu usuwamy wartość bezwzględną.

$$\begin{eqnarray} x+5&<&12\\ x&<&7\\ x&\in&\left(-\infty, 7\right) \end{eqnarray}$$

Mamy już prawie pierwsze rozwiązanie. W rzeczywistości nadal musimy wykonać przecięcie z przedziałem, z którego obecnie pobieramy x. Poruszamy się w przedziale <−5, ∞), więc wynikiem tej nierówności liniowej nie może być na przykład x = −15, ponieważ nie należy on do naszego przedziału. Musimy więc dokonać przecięcia:

$$\left<-5, \infty\right)\cap(-\infty, 7)=\left<-5{,}7\right)$$

To jest pierwszy wynik. Teraz musimy obliczyć wynik w przypadku, gdy weźmiemy x z przedziału (−∞, −5). W tym przedziale wartość bezwzględna zmienia znak. Jeśli chcemy usunąć wartość bezwzględną z nierówności, musimy sami zaaranżować zmianę znaku, tj. pomnożyć wyrażenie pod wartością bezwzględną przez −1, zmieniając w ten sposób znak wyrażenia. Tak więc przepisujemy to w następujący sposób:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ -(x+5)&<&12\\ -x-5&<&12 \end{eqnarray}$$

Dodajemy 5 do nierówności:

$$-x<17$$

i mnożymy przez −1:

$$x>-17$$

W ten sposób otrzymujemy wynik:

$$x\in(-17,\infty)$$

Ale ponownie, jak poprzednio, wybieramy wartość x z przedziału (−∞, −5), więc nadal musimy wykonać przecięcie tego przedziału z naszym wynikiem:

$$(-17,\infty)\cap(-\infty, -5)=(-17,-5)$$

Teraz mamy oba wyniki, które po prostu łączymy:

$$x\in\left<-5{,}7\right)\cup(-17,-5)=(-17{,}7)$$

Aby to sprawdzić, możemy spojrzeć na wykresy tych funkcji:

wykresy funkcji

Jeszcze kilka słów o tym, kiedy używać przedziału domkniętego i otwartego. Jeśli mamy ostrą nierówność, tj. x>0, używamy przedziału otwartego, ponieważ x nie może być równe zero. Jeśli nie mamy ostrej nierówności x≥0, używamy przedziału zamkniętego, ponieważ x może być równe zero. Na przykład, jeśli podepniemy x = 7, który nie jest "ściśle" zawarty w rozwiązaniu nierówności, którą właśnie rozwiązaliśmy, otrzymamy:

$$\begin{eqnarray} \left|x+5\right|&<&12\\ (7+5)&<&12\\ 12&<&12 \end{eqnarray}$$

Nierówność nie zachodzi, 12 nie jest mniejsze od 12.