Retrieved from

Zanim przejdziemy do dowodu, omówmy mnożenie nawiasów, ponieważ jest to bardzo związane z samym dowodem. Można nawet powiedzieć, że reproofing jest funkcją całkowicie przeciwną do mnożenia nawiasów.

Mnożenie nawiasów

Mnożenie nawiasów jest prostą operacją, którą zademonstrujemy na przykładzie: obliczmy wyrażenie 3 · (5 + 8). Mamy dwa sposoby postępowania. Możemy dodać wyrażenie w nawiasie i otrzymać 3 · 13, ponieważ 5 + 8 = 13.

Drugi sposób polega na pomnożeniu nawiasów. Oznacza to, że bierzemy liczbę przed nawiasem, czyli trójkę, i mnożymy przez nią dwie liczby w nawiasie. Znak plus w nawiasie pozostanie. Otrzymujemy więc:

$$ 3 \cdot (5 + 8) = (3 \cdot 5 + 3 \cdot 8) $$

Obie procedury prowadzą do tego samego wyniku: (3 · 5 + 3 · 8) = 15 + 24 = 39.

Dlaczego mnożenie przez nawiasy działa

Dlaczego możemy sobie pozwolić na tę procedurę, dlaczego mnożenie działa? Wyobraźmy sobie iloczyn jako rozszerzoną sumę. Na przykład, jeśli napiszemy 3 · 7, mówimy, że chcemy dodać liczbę siedem trzy razy, czyli 3 · 7 = 7 + 7 + 7.

W ten sam sposób możemy rozbić przykład z nawiasami: 3 · (5 + 8) jest tym samym, co (5 + 8) + (5 + 8) + (5 + 8). Ponieważ kolejność nie ma znaczenia w dodawaniu, możemy usunąć nawiasy i przesunąć piątki i ósemki obok siebie w następujący sposób: 5 + 5 + 5 + 8 + 8 + 8. I tutaj widzimy, że możemy przepisać to wyrażenie za pomocą mnożenia w następujący sposób: 3 · 5 + 3 · 8, co zrobiliśmy dla mnożenia.

Przykłady mnożenia

1. Mnożenie 5 · (4 + 7). Ponownie, wystarczy pomnożyć liczby w nawiasach przez pięć, aby otrzymać 5 · (4 + 7) = 5 · 4 + 5 · 7.

• Pomnóżmy 6 · (x + 4). Nie bójmy się i pomnóżmy ją przez sześć. Otrzymamy: 6 · (x + 4) = 6x + 6 · 4.
• Pomnóżmy x · (4 + 173). Teraz mamy niewiadomą przed nawiasem, więc pomnóżmy obie liczby wewnątrz nawiasu przez x. Otrzymamy x · (4 + 173) = 4x + 173x.
• Mnożymy przez: 4x · (2x + 7) Teraz mamy niewiadomą przed i wewnątrz nawiasu, ale mamy też bardziej złożone wyrażenie przed nawiasem. W porządku, ponownie mnożymy zawartość nawiasu przez 2x w następujący sposób: 4x · (2x + 7) = 4x · 2x + 4x · 7 = 8x² + 28x.

Proste wyliczenie

Wykrzyknik jest odwrotnością mnożenia nawiasu. Na przykład na początku mamy wyrażenie 10x + 5. Teraz, jeśli znajdziemy liczbę, przez którą możemy w jakiś rozsądny sposób podzielić dwa dodatki, możemy wybrać tę liczbę, że tak powiem. W naszym wyrażeniu będzie to liczba 5, ponieważ 10x / 5 = 2x i 5 / 5 = 1. Możemy zatem napisać, że

$$ 10x + 5 = 5 \cdot (2x + 1). $$

Gdy pomnożymy wstecz nawias 5 · (2x + 1), otrzymamy ponownie 10x + 5. Celem wykluczenia jest zwykle uproszczenie wyrażenia lub doprowadzenie go do postaci iloczynowej, abyśmy mogli skrócić jeden dodatek w ułamku.

Odejmowanie niewiadomej

Często sama niewiadoma jest odejmowana, nie musimy odejmować samej liczby. Jeśli więc mamy wyrażenie 3x² + 7x, możemy wyodrębnić x, tj. podzielić oba wyrażenia przez x, dodać nawiasy i pomnożyć nawiasy przez x. Otrzymamy 3x² + 7x = x · (3x + 7).

Zwykle staramy się wypisać jak najwięcej "rzeczy", więc gdybyśmy mieli wyrażenie 8x² + 12x, moglibyśmy wypisać tylko x i otrzymać 8x² + 12x = x · (8x + 12), ale widzimy, że moglibyśmy również wypisać liczbę 4 z nawiasów. Możemy to teraz dodatkowo zrobić i otrzymać: x · (4 · (2x + 3)) Możemy usunąć zewnętrzne nawiasy i otrzymać: 4x · (2x + 3).

Jednak taki sam wynik otrzymalibyśmy, gdybyśmy wyodrębnili wyrażenie 4x bezpośrednio z oryginalnego wyrażenia 8x² + 12x. Gdybyśmy mieli to rozbić, otrzymalibyśmy

$$ 8x^2 + 12x = 4x \cdot (8x^2 / 4x + 12x / 4x) = 4x \cdot (2x + 3). $$

Pisownia bardziej złożonych wyrażeń

Do tej pory, mamy tylko wyjście z wyrażeń, które zawierają dwa dodatki. Ale możemy również wyprowadzać z dłuższych wyrażeń. Na przykład, z 7x³ + 5x² + 2x możemy usunąć x i uzyskać x · (7x² + 5x + 2).

Ponadto, nie zawsze musimy zwracać tylko jakąś ładną liczbę, możemy zwracać dwukropki. Na przykład, z wyrażenia 6x + 7 możemy wyprowadzić 2, ale otrzymamy brzydki wynik, ponieważ musimy podzielić oba wyrażenia przez dwa. Dla 6x, otrzymujemy ładny wynik, ponieważ 6x / 2 = 3x, ale dla liczby 7, nie otrzymujemy ładnego wyniku: 7 / 2 = 3,5 Otrzymujemy wyrażenie wynikowe: 6x + 7 = 2 · (3x + 3,5).

Rozwiązane przykłady

• Jakoś wydrukować 25x + 45. Na pierwszy rzut oka widzimy, że możemy wydrukować liczbę 5, więc otrzymujemy 5 · (5x + 9).

• Upraszczanie ułamka

  $$ \frac{3x^2+7x}{x}. $$

  Pierwszą rzeczą, którą wypisujemy w liczniku ułamka jest x. Otrzymujemy więc x · (3x + 7). Teraz możemy skrócić x w całym ułamku.

  $$ \frac{3x^2+7x}{x} = \frac{x \cdot (3x + 7)}{x} = 3x + 7 $$

• W jakiś sposób wypisujemy −2x² − 8x. Tutaj po raz pierwszy mamy liczby ujemne. Nic nie szkodzi, podobnie jak w przypadku liczb dodatnich, możemy wypisać liczby ujemne. Możemy więc po prostu przejść do −2x. Otrzymamy

  $$ -2x^2-8x = -2x (x + 4). $$