Mnożenie

Mnożenie to podstawowa operacja na liczbach, z którą często się spotykamy.

Czym jest mnożenie

Operację mnożenia oznaczamy za pomocą kropki lub krzyżyka. Gdybyśmy chcieli zapisać trzy razy siedem, zapisalibyśmy to jako 3 · 7 lub 3 × 7. Czasami zamiast znaku krzyżyka używana jest zwykła litera x (iks): 3 x 7.

Mnożenie liczb naturalnych, tj. liczb 1, 2, 3, ..., możemy łatwo zamienić na dodawanie. Rozważmy na przykład 4 · 6 = ?, cztery razy sześć. W języku potocznym moglibyśmy to przetłumaczyć jako "idź do Franta cztery razy i spoliczkuj go sześć razy". Jaka byłaby całkowita liczba policzków? Za pierwszym razem spoliczkujemy go sześć razy, za drugim razem spoliczkujemy go, za trzecim razem spoliczkujemy go, a za czwartym razem spoliczkujemy go. Łączna liczba klapsów, które mu daliśmy to 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Aby nie musieć zawsze zapisywać takiej samej liczby do dodania, właśnie wprowadziliśmy mnożenie, więc jeśli chcemy dodać cztery szóstki, zamiast 6 + 6 + 6 + 6 możemy po prostu napisać 4 × 6.

Zauważ, że nie ma znaczenia, czy dodajemy cztery szóstki, czy sześć czwórek. Zawsze otrzymamy ten sam wynik.

$$ 4 \cdot 6 = 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 $$

Wynik mnożenia nazywamy iloczynem, więc mówimy "iloczyn 4 i 6 wynosi 24" lub "iloczyn 4 razy 6 wynosi 24". Liczby, które mnożymy, w tym przypadku liczby 4 i 6, nazywamy czynnikami.

Graficzna reprezentacja mnożenia

Graficznie możemy wyrazić mnożenie jako zawartość prostokąta. Pozostańmy przy przykładzie 4 · 6. Tworzymy prostokąt, którego jeden bok ma długość 4, a drugi długość 6. Prostokąt będzie wyglądał następująco:

Teraz policzymy zawartość tego prostokąta, co oznacza, że policzymy wszystkie kwadraty, które się w nim znajdują.

Widzimy, że jest ich 24. Dlaczego? Ponieważ ułożyliśmy sześć kwadratów jeden na drugim cztery razy, więc wynik jest ponownie sumą 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

Mnożenie przez zero

Jeśli pomnożymy dowolną liczbę przez zero, wynik ponownie wyniesie zero. Rozumowanie jest proste: jeśli będziemy trzymać się poprzednich przykładów, to tak jakbyśmy powiedzieli "nie podchodź do Fanty i nie policzkuj go sześć razy". Tym razem Franta będzie w porządku, bo choć ma dostać sześć klapsów, to nie ma ich dostać ani razu.

Można to pokazać graficznie. Obrazek przedstawiający iloczyn 5 · 0 wyglądałby następująco:

Ponieważ drugi czynnik wynosi zero, jeden bok prostokąta również wynosi zero, co sprawia, że prostokąt jest odcinkiem linii bez zawartości.

Priorytet mnożenia

Mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem i odejmowaniem. Oznacza to, że w przykładzie 2 + 3 · 4 najpierw obliczamy iloczyn 3 · 4 = 12, a następnie sumę. Tak więc po obliczeniu iloczynu mamy 2 + 12, a to równa się 14.

Jeśli najpierw obliczyłbyś sumę, otrzymałbyś inny wynik: 2 + 3 = 5, a następnie 5 · 4 = 20. Ten wynik jest błędny.

To samo dotyczy odejmowania, więc 10 − 8 · 2 + 7 byłoby liczone tak, jakby były nawiasy: 10 − (8 · 2) + 7 Zatem: 10 − 16 + 7 = 1.

Należy uważać na sztuczki, które często pojawiają się na Facebooku. Istnieją przykłady takie jak 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Wiele osób widzi mnożenie przez zero i od razu pisze, że wynikiem jest zero, ale to zły wynik. Ponieważ mnożenie ma pierwszeństwo, przykład ten jest równoważny 1 + 1 + (1 · 0) = ?.

Tutaj najpierw mnożymy nawiasy: 1 + 1 + 0 = ?, a teraz dodajemy je do siebie: 1 + 1 + 0 = 2 Prawidłowy wynik to 2, a nie 0.

Trudność polega na tym, że jeśli masz prostszy kalkulator, wypluje on również wynik równy zero. Dlaczego? Ponieważ w prostych kalkulatorach nie wpisuje się całego wyrażenia, tylko po kolei, a kalkulator pracuje z wynikiem pośrednim. Jeśli wpiszesz 1 + 1 + 1 · 0 w takim kalkulatorze, kalkulator najpierw obliczy 1 + 1 = 2, następnie obliczy 2 + 1 = 3, ponieważ pamięta tylko wynik pośredni 2, a na końcu obliczy 3 · 0 = 0. Tak więc kalkulator faktycznie oblicza przykład (((1 + 1) + 1) · 0).

Niektóre kalkulatory radzą sobie z pierwszeństwem, niektóre pozwalają wprowadzić cały przykład w kawałku, a następnie obliczyć go poprawnie. Jeśli twój tego nie potrafi, pamiętaj o tym.

Możesz przeczytać osobny artykuł na temat pierwszeństwa mnożenia.

Trochę mnożenia

Do dalszego liczenia warto zapamiętać całą małą tabliczkę mnożenia, czyli wszystkie wielokrotności liczb mniejszych niż 11:

Najpierw małe mnożenie od jeden do pięć:

$$ \begin{array}{lllll} 1 \cdot 1 = 1&2 \cdot 1 = 2&3 \cdot 1 = 3&4 \cdot 1 = 4&5 \cdot 1 = 5 \\ 1 \cdot 2 = 2&2 \cdot 2 = 4&3 \cdot 2 = 6&4 \cdot 2 = 8&5 \cdot 2 = 10 \\ 1 \cdot 3 = 3&2 \cdot 3 = 6&3 \cdot 3 = 9&4 \cdot 3 = 12&5 \cdot 3 = 15 \\ 1 \cdot 4 = 4&2 \cdot 4 = 8&3 \cdot 4 = 12&4 \cdot 4 = 16&5 \cdot 4 = 20 \\ 1 \cdot 5 = 5&2 \cdot 5 = 10&3 \cdot 5 = 15&4 \cdot 5 = 20&5 \cdot 5 = 25 \\ 1 \cdot 6 = 6&2 \cdot 6 = 12&3 \cdot 6 = 18&4 \cdot 6 = 24&5 \cdot 6 = 30 \\ 1 \cdot 7 = 7&2 \cdot 7 = 14&3 \cdot 7 = 21&4 \cdot 7 = 28&5 \cdot 7 = 35 \\ 1 \cdot 8 = 8&2 \cdot 8 = 16&3 \cdot 8 = 24&4 \cdot 8 = 32&5 \cdot 8 = 40 \\ 1 \cdot 9 = 9&2 \cdot 9 = 18&3 \cdot 9 = 27&4 \cdot 9 = 36&5 \cdot 9 = 45 \\ 1 \cdot 10 = 10&2 \cdot 10 = 20&3 \cdot 10 = 30&4 \cdot 10 = 40&5 \cdot 10 = 50 \\ \end{array} $$

A teraz od sześciu do dziesięciu:

$$ \begin{array}{lllll} 6 \cdot 1 = 6&7 \cdot 1 = 7&8 \cdot 1 = 8&9 \cdot 1 = 9&10 \cdot 1 = 10 \\ 6 \cdot 2 = 12&7 \cdot 2 = 14&8 \cdot 2 = 16&9 \cdot 2 = 18&10 \cdot 2 = 20 \\ 6 \cdot 3 = 18&7 \cdot 3 = 21&8 \cdot 3 = 24&9 \cdot 3 = 27&10 \cdot 3 = 30 \\ 6 \cdot 4 = 24&7 \cdot 4 = 28&8 \cdot 4 = 32&9 \cdot 4 = 36&10 \cdot 4 = 40 \\ 6 \cdot 5 = 30&7 \cdot 5 = 35&8 \cdot 5 = 40&9 \cdot 5 = 45&10 \cdot 5 = 50 \\ 6 \cdot 6 = 36&7 \cdot 6 = 42&8 \cdot 6 = 48&9 \cdot 6 = 54&10 \cdot 6 = 60 \\ 6 \cdot 7 = 42&7 \cdot 7 = 49&8 \cdot 7 = 56&9 \cdot 7 = 63&10 \cdot 7 = 70 \\ 6 \cdot 8 = 48&7 \cdot 8 = 56&8 \cdot 8 = 64&9 \cdot 8 = 72&10 \cdot 8 = 80 \\ 6 \cdot 9 = 54&7 \cdot 9 = 63&8 \cdot 9 = 72&9 \cdot 9 = 81&10 \cdot 9 = 90 \\ 6 \cdot 10 = 60&7 \cdot 10 = 70&8 \cdot 10 = 80&9 \cdot 10 = 90&10 \cdot 10 = 100 \\ \end{array} $$