Dzielenie liczb

Dzielenie liczb jest procesem odwrotnym do mnożenia. Jednocześnie dzielenie jest dobrym źródłem humoru, ponieważ, jak wszyscy wiedzą, nie możemy dzielić przez zero, ponieważ spaliłoby to nasz notatnik.

Czym jest dzielenie liczb

Możemy myśleć o dzieleniu jako przykładzie dzielenia dużej całości na równej wielkości mniejsze części. Możemy mieć tatę, który musi pociąć deskę o długości 100 cm na pięć równych kawałków. Jak duży będzie każdy kawałek?

Możemy postąpić odwrotnie - jeśli zsumujemy długości wszystkich pięciu pociętych części, otrzymamy liczbę 100. Jaką liczbę to spełnia? Jest to liczba 20, ponieważ 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Możemy również użyć mnożenia zamiast dodawania. Możemy zapytać, jaka liczba pomnożona przez pięć daje 100? Ponownie jest to liczba 20, ponieważ 5 · 20 = 100.

Graficznie możemy to wyrazić jako podzielenie odcinka linii o długości 100 na pięć równych odcinków:

Jeśli chcemy podzielić liczbę 100 przez 5, sprawdzamy "ile razy liczba pięć mieści się w liczbie sto". Dzielenie zapisujemy z ukośnikiem: 100 / 5 lub z dwukropkiem: 100 : 5 Wynikiem dzielenia dwóch liczb jest iloraz. W naszych przykładach liczba 20 jest ilorazem liczb 100 i 5. Liczba po lewej stronie jest nazywana dzielnikiem, a liczba po prawej stronie jest nazywana ilorazem. Możemy również zapisać dzielenie za pomocą ułamka, zamiast 100 / 5 możemy napisać $\frac{100}{5}$. Podsumowanie nomenklatury:

$$ a : b = \frac{a}{b} = c $$

• a nazywa się dzielnikiem,
• b nazywany jest dzielnikiem,
• c nazywany jest ilorazem.

Definicja przez mnożenie

Najprostszym sposobem zdefiniowania ilorazu jest mnożenie. Dla przykładu, weźmy iloraz następujących liczb: 35 / 7 Jaki będzie wynik? Szukamy liczby, która po pomnożeniu przez 7 dałaby liczbę 35. Gdybyśmy dzielili 48 / 8, szukalibyśmy liczby, która po pomnożeniu przez 8 dałaby liczbę 48.

Wynikiem dzielenia przez 35 / 7 jest więc liczba 5, ponieważ 7 · 5 = 35. Wynikiem dzielenia przez 48 / 8 jest liczba 6, ponieważ 8 · 6 = 48.

Jeśli ogólnie podzielimy a / b, to wynikiem będzie liczba c, dla której zachodzi b · c = a.

Chociaż wszystkie przykłady zostały przedstawione na liczbach naturalnych, możemy dzielić dowolne inne liczby ze względu na definicję wykorzystującą mnożenie. Na przykład, możemy znaleźć iloraz −85,76 / 6,7 poprzez znalezienie liczby x, dla której zachodzi 6,7 · x = −85,76. Jest to prawdą dla x = −12,8.

Możemy podzielić zero przez inną liczbę

Możemy podzielić zero przez inną liczbę, jest to poprawne wyrażenie: 0 / 15 Zasadniczo mówimy, że chcemy podzielić zero na 15 równe części. Możemy sobie wyobrazić, że nie mamy ciasta i chcemy podzielić to ciasto, którego nie mamy, na 15 części - jak duże będą te części? Będą równe zero, ponieważ po prostu nie mamy żadnego ciasta. Alternatywnie, wyobraź sobie, że masz zero koron w portfelu i chcesz podzielić te zero koron między troje dzieci. Ile dostanie każde z dzieci? Nie dostaną nic, ponieważ ty nie masz nic. Dlatego 0 / 15 = 0.

Możemy podzielić zero przez inną liczbę, ale nie możemy podzielić innej liczby przez zero. To wyrażenie jest nieprawidłowe: 8 / 0.

Ale dlaczego nie możemy dzielić przez zero?

Nie możemy dzielić przez zero, ponieważ zabrania tego Jedenaste Przykazanie.

Istnieją jednak bardziej przekonujące powody. Na razie przyjrzymy się przypadkowi, w którym iloraz jest różny od zera - dzielenie ma postać a / 0, gdzie a ≠ 0. Wymienimy dwa powody:

1. Spróbujmy trzymać się analogii dzielenia całości na mniejsze, równej wielkości części. Mamy 15 najokrutniejszych Pokémonów. Teraz chcemy podzielić je między zero dzieci. Ile Pokémonów dostanie każde dziecko?

Eh????

Tak, dobrze przeczytałeś to zadanie i tak, nie ma ono sensu. Nie możemy zapytać, ile Pokémonów dostało każde dziecko, jeśli nie mamy żadnych dzieci, którym moglibyśmy dać Pokémony. Dlatego też dzielenie przez zero również nie ma sensu i dlatego mówimy, że termin x / 0 jest niezdefiniowany.

• Wprowadziliśmy dzielenie przez mnożenie. Kiedy próbujemy dzielić przez zero 15 / 0, szukamy jakiejś liczby x, dla której x · 0 = 15 zachodzi. Tylko cokolwiek razy zero jest zerem, nigdy nie znajdziemy x, dla którego to równanie ma sens.

A co z ułamkiem 0/0?

Jest on niezdefiniowany, podobnie jak x / 0. Powody:

Tym razem mamy zero najokrutniejszych Pokémonów do rozdzielenia między zero dzieci. Ponownie, jest to bezsensowne żądanie.

Zgodnie z definicją dzielenia, kiedy dzielimy 0 / 0, szukamy liczby x, do której odnosi się x · 0 = 0. Znaleźlibyśmy rozwiązanie, a dokładniej: każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem tego równania. Niezależnie od tego, czy zastąpimy 4, 1 lub π po x, równanie będzie spełnione. Oczywiście niedopuszczalne jest, aby wynikiem dzielenia był cały zbiór liczb rzeczywistych; to nie ma sensu.

Musielibyśmy wybrać jedną konkretną liczbę z całego zbioru i powiedzieć, że ta konkretna liczba jest wynikiem dzielenia 0 / 0. Ale którą? Czy powinna być równa jeden? Osiem? Zero? Minus jeden? A dlaczego tak jest? Spróbujmy przedstawić argumenty za zerem i za jedynką:

1. Wiemy, że jeśli mamy ułamek postaci x / x, to ułamek ten jest równy jeden. Na przykład, 7 / 7 = 1 lub 3 / 3 = 1. Stąd możemy wywnioskować, że 0 / 0 powinno być zdefiniowane tak, aby 0 / 0 = 1 było prawdziwe.

• Przyjrzyjmy się tej sekwencji na pewno poprawnych ułamków. W każdym z nich będziemy dzielić zero przez liczbę coraz bardziej zbliżoną do zera:

$$\begin{eqnarray} \frac{0}{1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}1} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}01} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}001} &=& 0\\ \frac{0}{0{,}0001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0{,}0000000001} &=& 0\\ &…&\\ \frac{0}{0} &=& 0?\\ \end{eqnarray}$$

Widzimy, że bez względu na to, jak blisko dzielimy przez liczbę bliską zeru, nadal otrzymujemy zero jako wynik ułamka. Z tego możemy wywnioskować, że 0 / 0 = 0.

Oba są ważnymi argumentami za tym, jak możemy zdefiniować proporcję 0 / 0. Który z nich jest lepszy? Ostatecznie, nawet gdybyśmy wybrali jeden z nich i uznali go za jedyny słuszny, nadal mielibyśmy do czynienia z konfliktem z innymi częściami matematyki.

Dlatego właśnie dzielenie przez zero lepiej pozostawić niezdefiniowane.

Ostatni argument przeciwko dzieleniu przez zero

Jeśli poprzednie argumenty nie były dla ciebie wystarczające, być może przekona cię poniższa dokumentacja fotograficzna przypadku, w którym ktoś faktycznie próbował podzielić przez zero: