Problemy do wspólnej pracy
Zadania oparte na współpracy zazwyczaj obejmują dwie różne postacie wykonujące tę samą pracę przez różny czas. Wyzwanie polega na ustaleniu, jak długo będą wykonywać daną pracę, jeśli będą pracować razem.
Przykładowy problem
Wyobraź sobie, że grasz w grę, w której walczysz ze smokiem. Paladyn może przeciąć smoka swoim mieczem w 30 sekund, podczas gdy Barbarzyńca może nawet zmiażdżyć go swoją maczugą w 20 sekund. Pytanie brzmi, ile czasu zajęłoby zabicie smoka, gdyby Barbarzyńca i Paladyn walczyli ze smokiem razem? Ile "wspólnej pracy" musieliby włożyć?
Rozwiązujemy ten problem, obliczając najpierw, jak bardzo każdy z nieustraszonych wojowników zranił smoka w ciągu jednej sekundy. Ponieważ paladyn zabija smoka w 30 sekund, w ciągu jednej sekundy odbiera smokowi jedną trzydziestą 1/30 życia. Jeśli smok miałby 180 życia, to aby Paladyn zabił go w trzydzieści sekund, musiałby odbierać mu 180 / 30 = 6 życia co sekundę (czyli jedną trzydziestą jego życia). Jednak 180 / 30 jest tym samym, co 180 · (1/30).
Barbarzyńca zabija go w 20 sekund, więc smok odbiera mu 1/20 życia co sekundę. Tak więc ten sam smok, który miałby 180 życia, miałby 180 / 20 = 9 życia odbierane co sekundę.
Paladyn odbiera smokowi 1/30 życia co sekundę, a barbarzyńca 1/20. Teraz pytamy, ile sekund zajmuje tym ludziom zabicie go razem? Możemy spojrzeć na to pojedynczo - ile żyć odebraliby smokowi w ciągu dwóch sekund?
$$ \frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{20}=\frac{10}{60}=\frac16 $$
Byłaby to jedna szósta jego życia. Dodajmy 1/30 + 1/20, ponieważ wojownicy walczą razem, i dodajmy to w sumie dwa razy, ponieważ walczą przez dwie sekundy. Widzimy, że możemy uogólnić to tak, że jeśli walczą przez x sekund, odbierają smokowi życie.
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} $$
życie. Teraz jest tylko jedna rzecz do zrobienia - smok umiera, gdy zabiorą mu wszystkie życia. Wszystkie życia są reprezentowane przez liczbę 1, ponieważ ułamek 1/30 reprezentuje jedną trzydziestą życia smoka - więc liczba 1 jest całkowitą liczbą żyć smoka. Więc po prostu ustawiamy poprzednie wyrażenie równe jeden:
$$ x\cdot\frac{1}{30}+x\cdot\frac{1}{20} = 1 $$
i szukamy rozwiązania. Mnożąc całe równanie przez 60, otrzymujemy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{30}+x\cdot\frac{60}{20} &=& 60\\ x\cdot\frac{6}{3}+x\cdot\frac{6}{2} &=& 60\\ 2x+3x &=& 60\\ 5x &=& 60\qquad/\cdot\frac15\\ x &=& 12 \end{eqnarray}$$
x = 12Oznacza to, że smok zostanie zabity w ciągu 12 sekund. Nie jest źle.
Możemy spróbować to sprawdzić, wprowadzając konkretne liczby. Mamy smoka z 180 życiami, a wynik mówi, że razem zabiją go w 12 sekund. Paladyn zabiera 6 żyć na sekundę, barbarzyńca 9. Oznacza to, że paladyn zabiera smokowi łącznie 12 · 6 = 72 życia w 12 sekund, a barbarzyńca 12 · 9 = 108 życia. Łącznie zabrali mu 72 + 108 = 180 żyć, co jest zgodne z zabraniem mu wszystkich żyć.
Sprawdź inne rozwiązane przykłady, aby współpracować:
Przykłady
- Tony bardzo chciałby kupić nowy telefon komórkowy. Zawarł umowę z mamą, która powiedziała mu, że będzie mu dawać kieszonkowe co tydzień, a po 60 tygodniach będzie miał wystarczająco dużo pieniędzy na upragniony telefon komórkowy. Ale Tony nie jest dzisiejszym chłopcem, więc poszedł też do swojego taty. Ten również obiecał mu pieniądze i powiedział, że po 30 tygodniach wystarczy mu nawet na nowy telefon komórkowy. Ile czasu w rzeczywistości zajmie Tony'emu zdobycie nowego telefonu komórkowego, jeśli co tydzień pobiera zasiłek zarówno od mamy, jak i taty?
Tony otrzymuje tygodniowo 1/60 ceny telefonu komórkowego od swojej mamy i tygodniowo 1/30 ceny telefonu komórkowego od swojego taty. Ustawmy równanie dokładnie tak samo, jak w poprzednim przypadku:
$$ x\cdot\frac{1}{60}+x\cdot\frac{1}{30} = 1 $$
Wyrażenie x · 1/60 + x · 1/30 mówi nam, jaką część ceny telefonu komórkowego Tony zaoszczędzi po x tygodniach. Ponieważ pytamy, kiedy będzie miał wystarczająco dużo na telefon komórkowy, ustawiamy to wyrażenie równe jeden. Gdyby chciał kupić trzy telefony komórkowe, liczba trzy byłaby po prawej stronie.
Rozwiązujemy równanie. Najpierw mnożymy je przez 60:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{60}{60}+x\cdot\frac{60}{30} &=& 60\\ x\cdot\frac{1}{1}+x\cdot\frac{2}{1} &=& 60\\ x+2x &=& 60\\ 3x &=& 60\qquad /\cdot\frac13\\ x &=& 20 \end{eqnarray}$$
Wynik jest taki, że Tony będzie miał nowy telefon komórkowy za 20 dni. Możemy to sprawdzić ponownie, zastępując rzeczywiste wartości: jeśli telefon komórkowy kosztuje 9000, co tydzień otrzymywałby od mamy 1/60 tej ceny, czyli 150 koron. Od taty otrzymywałby 1/30 tej ceny, czyli 300 koron. Cóż, ma całkiem hojnych rodziców. W ciągu 20 tygodni otrzymałby od mamy 20 · 150 = 3000 koron, a od taty 20 · 300 = 6000 koron. W sumie otrzymałby 3000 + 6000 = 9000 koron.
- Do basenu prowadzą trzy rury. Jedna napełnia basen w 100 minut, druga w 75 minut, a ostatnia w 50 minut. Ile czasu zajmie napełnienie basenu, jeśli wszystkie trzy rury zostaną napełnione?
Ponownie, ten przykład jest taki sam jak poprzednie, tylko zamiast dwóch aktorów pracujących razem, mamy trzech aktorów. Równanie będzie wyglądać następująco:
$$ x\cdot\frac{1}{100}+x\cdot\frac{1}{75}+x\cdot\frac{1}{50} = 1 $$
Mnożymy równanie przez 150 i dalej je modyfikujemy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{150}{100}+x\cdot\frac{150}{75}+x\cdot\frac{150}{50} &=& 150\\ x\cdot\frac{3}{2}+x\cdot\frac{2}{1}+x\cdot\frac{3}{1} &=& 150\\ \frac32x+2x+3x &=& 150\\ \frac32x+5x &=& 150\qquad /\cdot 2\\ 3x + 10x &=& 300\\ 13x &=& 300\qquad/\cdot\frac{1}{13}\\ x &=& \frac{300}{13} \end{eqnarray}$$
Nie otrzymamy z tego ładniejszego wyniku, basen napełni się w ciągu 300/13 minut, czyli około 23 minut.
- Firma kosząca skosi trawnik w dziesięć godzin. Firma Dynamite Violet Tearing Company skosi trawnik w sześć godzin. Ile godzin zajęłoby tym firmom skoszenie dwóch takich łąk, gdyby pracowały razem?
Ile skoszą obie firmy w ciągu x godzin? To klasyczne wyrażenie:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} $$
Ale ponieważ chcemy, aby skosiły dwie łąki, prawą stroną równania nie będzie 1, ale 2:
$$ x\cdot\frac{1}{6}+x\cdot\frac{1}{10} = 2 $$
Następnie obliczenia przebiegają w ten sam sposób. Mnożymy całe równanie przez 30 i dostosowujemy:
$$\begin{eqnarray} x\cdot\frac{30}{6}+x\cdot\frac{30}{10} = 60\\ x\cdot\frac{5}{1}+x\cdot\frac{3}{1} = 60\\ 5x+3x&=& 60\\ 8x&=& 60\qquad/ \cdot \frac18\\ x &=& \frac{60}{8}\\ x &=& \frac{15}{2}\\ x &=& 7{,}5 \end{eqnarray}$$
Dwie łąki zostałyby skoszone w siedem i pół godziny.
- Jedna kobieta urodzi dziecko w ciągu dziewięciu miesięcy. W ciągu ilu miesięcy dziewięć kobiet urodzi dziecko?