✖

Mnożenie na papierze

Kapitoly: Mnożenie, Mnożenie na papierze, Mnożenie liczb ujemnych

Jak pomnożyć dwie liczby używając tylko ołówka i papieru.

Jak mnożyć na papierze

Zaczniemy od prostego przykładu, bardziej złożony przykład znajduje się na końcu artykułu. Na początku zakładamy, że mamy dwie liczby, które chcemy pomnożyć. Na razie będziemy pracować tylko z liczbami naturalnymi. Załóżmy, że chcemy pomnożyć liczby 13 · 72. Zapiszemy te liczby i dodamy pod nimi linię:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline \end{array} $$

Rozpoczynamy mnożenie ostatniej cyfry (w miejscu jedynek) w dolnej liczbie przez wszystkie cyfry w górnej liczbie. Zaczynamy ponownie od prawej strony, więc najpierw mnożymy 2 · 3 = 6. Wynik zapisujemy bezpośrednio pod cyfrą 2. Następnie mnożymy cyfrę 2 przez drugą cyfrę od prawej, więc mnożymy 2 · 1 = 2. Wynik zapisujemy bezpośrednio pod 7:

$$ \begin{array}{cr} &13\\ \cdot&72\\\hline &26 \end{array} $$

Przesuwając się o jedną cyfrę w lewo w dolnej liczbie, dochodzimy do cyfry 7 i wykonujemy tę samą procedurę. Ponieważ jednak przesunęliśmy się o rząd wielkości (siódemka reprezentuje dziesiątki, a dwójka jedynki), musimy również przesunąć się o rząd wielkości poniżej linii. W prawym dolnym rogu, poniżej szóstki, wpisujemy zero. Następnie postępujemy w ten sam sposób.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &&0 \end{array} $$

Mnożymy więc przez 7 · 3 = 21. Tutaj pojawia się zdrada - możemy dodać tylko jedną cyfrę, nie możemy napisać 21 - to dwie cyfry. Rozwiązujemy to, dzieląc liczbę na dwie cyfry: prawą, 1, zapisujemy na papierze, a lewą, 2, zapamiętujemy do następnej rundy. Tak więc: 1 zapisujemy na papierze, 2 zapamiętujemy. Zapisujemy ją obok zera.

$$ \begin{array}{cccc} &1&3\\ \cdot&7&2\\\hline &2&6&\\ &1&0 \end{array} $$

Następnie mnożymy cyfrę 7 przez cyfrę 1 w górnym numerze: 7 · 1 = 7 Teraz pojawia się nasza cyfra 2, którą zapamiętaliśmy: dodajemy ją do tego wyniku: 7 + 2 = 9 Zapisujemy tę liczbę po lewej stronie cyfry 1 w dolnym wierszu:

$$ \begin{array}{cccccc} &&1&3\\ \cdot&&7&2\\\hline &&2&6&\\ &9&1&0 \end{array} $$

Pozostaje ostatni krok: zsumowanie liczb poniżej linii.

$$ \begin{array}{cccccc} &&2&6&\\ +&9&1&0\\\hline &9&3&6 \end{array} $$

13 · 72Następnym krokiem jest zakończenie linii, co jest ostatnim krokiem: musimy dodać ostatnią linię do dolnej linii.

Dlaczego to działa

Możemy rozłożyć mnożenie na prostsze sumy i dodawanie w ten sposób: możemy napisać, że 13 · 72 jest tym samym, co 13 · 2 + 13 · 70. Można w tym dostrzec wyrzut, ale wystarczy prosty powód: jeśli dodam siedemdziesiąt razy liczbę trzynaście, to jest to to samo, co gdybym dodał siedemdziesiąt razy liczbę trzynaście, a następnie dodał jeszcze dwie trzynastki.

Opisana procedura nie daje nic poza tymi kolejnymi sumami. Jeśli zauważysz, przypisy podają nam liczby 26 i 910. A jednak 26 = 2 · 13 i 910 = 70 · 13.

Aby to naprawdę pasowało, musieliśmy dodać zero w drugim wierszu - ponieważ tak naprawdę liczyliśmy 7 · 13. Aby uzyskać iloczyn 70 · 13, musimy dodać kolejne zero do wyniku.

Bardziej skomplikowany przykład

Oblicz: 28 · 617 Pierwszą rzeczą, jaką robimy, jest zapisanie liczb pod spodem:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline \end{array} $$

W pierwszym kroku obliczamy: 7 · 8 = 56. Piszemy 6, 5 przechodzi dalej.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&&6 \end{array} $$

Następnie: 7 · 2 = 14, dodajemy 5 od ostatniego razu: 14 + 5 = 19. Wpiszmy 9, 1 następny.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &&9&6 \end{array} $$

Ponieważ nie pozostało nic do pomnożenia, dodajemy jeden:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6 \end{array} $$

Przechodzimy do drugiej linii. Dodajemy zero i mnożymy: 1 · 8 = 8, wpisujemy 8:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &&8&0 \end{array} $$

Następnie: 1 · 2 = 2, wpisujemy 2:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0 \end{array} $$

I przechodzimy do trzeciej linii. Przechodzimy o jeden wiersz wyżej, więc wpisujemy o jedno zero więcej niż poprzednio:

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &&0&0 \end{array} $$

I mnożymy: 6 · 8 = 48, 8 wpisujemy, 4 dalej.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ &8&0&0 \end{array} $$

Dalej: 6 · 2 = 12, dodajemy 4, więc otrzymujemy 12 + 4 = 16. 6 piszemy, 1 idzie dalej.

$$ \begin{array}{ccccc} &&2&8\\ \cdot&6&1&7\\\hline &1&9&6\\ &2&8&0\\ 6&8&0&0 \end{array} $$

Ponieważ nie pozostało już nic do pomnożenia, dodajemy jeden:

$$ \begin{array}{ccccc} &&&2&8\\ \cdot&&6&1&7\\\hline &&1&9&6\\ &&2&8&0\\ 1&6&8&0&0 \end{array} $$

Teraz sumujemy wszystkie trzy liczby poniżej linii:

$$ \begin{array}{cccccc} &&&1&9&6\\ &&&2&8&0\\ +&1&6&8&0&0\\\hline &1&7&2&7&6 \end{array} $$

Linki i zasoby